夯實基礎 厚積薄發(fā)

華建鋒

【緣起與思考】三角形的面積一課是繼學習了平行四邊形的面積之后的又一節(jié)幾何概念課。三角形的面積計算公式及方法對于學生來說不是完全空白的，有相當一部分學生已經(jīng)知道三角形的面積公式，但是真正理解公式的卻鳳毛麟角。

課前我在班內(nèi)做過一個調(diào)查，我班學生31人：已經(jīng)知道三角形面積計算公式的有9人，對三角形面積公式有一定理解的只有3人;對課中所述的三個三角形，會進行面積計算的學生分別有29、23、23人;標有底和高的等腰三角形，能夠利用學過的知識來證明“三角形的面積=底×高÷2”這個結(jié)論（答案）是正確的，有24人（因為當時沒有可供學生操作的材料，所以學生只想到一種方法“沿底邊上的高剪開，通過旋轉(zhuǎn)拼成一個長方形”，其他方法沒有想到。這應該是學生一種真實思維水平的反映）。

這節(jié)課是通過復習平行四邊形面積計算公式而引入的。教學中先出示三角形的面積公式，讓學生明白知道了公式不是最終目的，更為重要的是知道公式是怎么來的，怎樣證明這個公式是正確的，即本節(jié)課的價值定位不是“公式應用”，而是三角形面積的“公式推導”。所以本節(jié)課教學的重點不是讓學生會進行三角形面積的計算，而是使學生理解并掌握三角形面積計算公式的推導過程，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗并滲透轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生合作、積極動腦思考的良好學習習慣，特別是發(fā)展學生的空間觀念和思維能力。

至此，本課有三點引發(fā)了我的思考。

思考1：如何把握新知的附著點，突出三角形面積計算公式的本質(zhì)及其知識結(jié)構(gòu)的連貫性和延伸性？

小學生學習三角形面積計算公式，形成抽象的數(shù)學概念并發(fā)展空間觀念，絕不是一次完成的，而是要經(jīng)歷復雜的認識過程。教學中要讓學生在自己原有認知的基礎上，通過有效空間想象的支撐，從而揭示數(shù)學概念的本質(zhì)屬性進而發(fā)展空間觀念。

教學中要充分考慮知識的形成線索和學生的認知線索，以突出知識結(jié)構(gòu)的連貫性和延伸性。從數(shù)學本質(zhì)來看，三角形面積計算公式是平行四邊形面積公式的特殊形式，當平行四邊形的其中一條底長度逐漸變短直至變?yōu)?時，平行四邊形就成了三角形;三角形面積公式的探究過程，主要是通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，讓學生去體悟三角形面積公式的習得過程，在建構(gòu)概念的過程中獲得數(shù)學思想方法和數(shù)學活動經(jīng)驗的積累。

思考2：推導三角形面積計算公式的“兩種策略”孰輕孰重還是兩者兼顧？

推導三角形的面積計算公式不外乎是兩種基本策略：一種是“剪拼法”，即將一個三角形沿中位線剪切并通過旋轉(zhuǎn)拼成一個平行四邊形（如圖1所示），或者沿高線中點并垂直于高剪開后旋轉(zhuǎn)拼成一個長方形（如圖3所示）;另一種是“拼組法”，即將兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。對于以上兩種策略，在教學中肯定只能側(cè)重一種，將另一種作為補充，以豐富學生對概念的建構(gòu)。那么到底選擇哪一種呢？我認為當以拼組法為重，原因有二：其一，學生對三角形剪拼成平行四邊形知識儲備還不足，因為中位線的概念尚未建立;其二，之前學習平行四邊形的面積采用的是割補法，沿平行四邊形的高剪開后將兩部分拼成一個長方形，從而推導出平行四邊形的面積計算公式，之后將要學習推導梯形面積計算公式，既可以將一個梯形剪成一個三角形和一個平行四邊形，又可以將一個梯形剪拼成一個三角形或平行四邊形，還可以用兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形。誠然，“拼組法”應當成為本節(jié)課的教學重點。（圖4-圖7）

圖1 圖2 圖3

圖1、2、3的三角形面積=平行四邊形（或長方形）面積。

（1）三角形面積=底×（高÷2）=底×高÷2;

（2）三角形面積=（底÷2）×高=底×高÷2;

（3）三角形面積=底×（高÷2）=底×高÷2。

歸納得出：三角形面積=底×高÷2。

圖4 圖5 圖6 圖7

平行四邊形面積=底×高 ? 三角形面積=底×高÷2

思考3：研究三角形面積計算公式的本質(zhì)內(nèi)涵在關(guān)注基本活動經(jīng)驗時，是否需要把握操作的遞進關(guān)系？

小學生學習的是“經(jīng)驗幾何”，揭示幾何模型需要學生在豐富的感性積累和具備了相當抽象思維能力的基礎上才能逐步完成。本課學習的目的不再是為那些顯性的“陳述性知識（什么是三角形面積）和程序性知識（三角形面積=底×高÷2）”而學習，而更關(guān)注學生運用已有的知識自主建構(gòu)的策略性知識（三角形面積和已有圖形面積之間的聯(lián)系并如何建立聯(lián)系）的體悟和感受。

平面圖形面積計算公式推導往往內(nèi)容相近且思想方法相同。就平行四邊形面積計算而言，主要是喚醒學生先前的操作活動經(jīng)驗（尤其是剪拼）并突出轉(zhuǎn)化的基本數(shù)學思想方法;三角形面積計算，主要是把平行四邊形面積公式推導中的經(jīng)驗進行推廣并讓學生經(jīng)歷不同層次的剪拼活動（主要是拼組），并突出歸納推理的思維過程;梯形面積計算，可以強調(diào)從多角度探究平面圖形的面積（既可以是剪切也可以是拼組），積累基本操作活動經(jīng)驗，并突出轉(zhuǎn)化方法的多樣化。總之，教師必須深入挖掘教材體系的縱橫聯(lián)系，以期學生在基本活動經(jīng)驗的積累方面獲得更多的體驗和感受。

【教學實踐心路】

環(huán)節(jié)一：復習引入，初步建構(gòu)三角形面積計算方法

1.回顧平行四邊形面積公式推導過程。

（1）平行四邊形的面積是怎樣計算的？（板書：平行四邊形的面積=底×高）

（2）平行四邊形的面積計算公式我們是怎樣推導出來的？

生：將平行四邊形剪拼成長方形……（課件演示剪拼過程）

（3）你為什么要把平行四邊形變成長方形？實際上我們是應用了數(shù)學上的一種什么思想？（板書：轉(zhuǎn)化）

（4）轉(zhuǎn)化之前的平行四邊形和轉(zhuǎn)化之后的長方形有什么聯(lián)系？什么變了？什么沒有變？

2.師：看到這個平行四邊形，老師想到了與這個平行四邊形有關(guān)的幾個三角形，同學們能猜出老師心里想的三角形的樣子長什么模樣嗎？哪位同學上來指給大家看一看？endprint

學生匯報后課件出示與原來平行四邊形等底等高的等腰三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

師（指圖講述）：現(xiàn)在你知道三角形的面積計算方法嗎？

生1：三角形的面積=底×高÷2。（板書：三角形的面積=底×高÷2）

師：這一節(jié)課老師就和大家一起來研究三角形的面積。（揭示課題）三角形的面積與哪些因素有關(guān)？

生2：與底和高有關(guān)。

師：你能選擇其中一個三角形來證明三角形面積可以用“底×高÷2”來計算嗎？

生3：我選擇了等腰三角形沿底邊上的高剪開，然后拼成一個長方形，長方形的底是原來三角形底的一半，長方形的寬等于原來三角形的高，所以三角形的面積=底×高÷2。

師（追問）：除了剪拼成長方形還能拼成其他圖形嗎？

生3：還可以拼成一個平行四邊形。

師：你能剪拼給大家看一看嗎？（如圖8）

圖8

師：其他的三角形也能這樣剪拼嗎？（學生一時答不上來）為什么等腰三角形剪拼能成功，而一般三角形剪拼卻不一定成功？

生4：等腰三角形沿高剪開以后是兩個完全一樣的直角三角形，而一般三角形沿高剪開以后是兩個不一樣的三角形。

【設計意圖：三角形面積與等底等高的平行四邊形面積有關(guān)，所以本課從復習平行四邊形面積引入，以喚醒學生的認知基礎。另外等腰三角形（屬于常態(tài)標準材料）沿高剪開以后是兩個完全一樣的直角三角形，而一般三角形沿高剪開以后是兩個不一樣的三角形。體會：要能剪成兩個完全一樣的三角形才能用剪拼進行轉(zhuǎn)化，否則不能轉(zhuǎn)化。同時也讓學生體會到兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。這一點也就是三角形面積公式推導中為什么使用拼組的方法更具普適性的原因所在。在平行四邊形的面積一課中，學生已經(jīng)初步體驗了運用化歸思想方法來解決問題的方法和策略，即通過剪拼將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。因而在學習三角形面積時應該首先想到的轉(zhuǎn)化方法是剪拼。但事實上三角形的面積公式推導通過剪拼來轉(zhuǎn)化并不是最理想的方法，教材中也是利用拼組的方法——用兩個完全一樣的三角形拼組成一個平行四邊形，相對來說解釋和理解都相對容易，但是拼組的方法不一定就能如教師預設和期望的那樣能順利地在課堂教學中展現(xiàn)出來。所以課堂教學中還是要從學習的常規(guī)思維基礎出發(fā)，即剪拼的方法出發(fā)，為后續(xù)教學所用。】

環(huán)節(jié)二：解構(gòu)三角形面積計算方法

1.學習探究：老師給你提供一些學習材料（信封中有完全一樣的銳角三角形、完全一樣的直角三角形、完全一樣的鈍角三角形，還有等底不等高的三角形、等高不等底的三角形等），利用這些材料想辦法驗證三角形的面積計算公式，并把自己的想法在小組內(nèi)交流。

2.學生操作，教師巡視指導。

3.匯報交流。

師：同學們，你們都研究出什么了嗎？誰愿意與大家分享一下你們研究的成果？請停下手中的操作，聽一聽其他同學所想的和你的一樣嗎？

預設1：（根據(jù)學生的匯報依次在黑板上貼上圖片）

預設2：（若學生在拼的時候沒有強調(diào)兩個完全一樣的三角形來拼，則教師作如下引導）

師：同學們真的很會動腦筋，不過老師聽了你們的想法之后，也想試一試。請看，老師這也有兩個三角形（出示兩個不一樣的三角形），該如何來拼呢？

師：為什么同學們選取的兩個三角形能拼成平行四邊形（長方形）？而老師選取的兩個三角形卻不能拼成平行四邊形（長方形）呢？

師：原來同學們是選取兩個完全一樣的三角形來拼的，那怎么證明這兩個三角形就是完全一樣的三角形呢？

生：把兩個三角形重疊在一起進行比較。（重疊法）

4.總結(jié)操作成果

師：通過實驗，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

引導學生得出：只要是兩個完全一樣的三角形都能拼成一個平行四邊形。

師：誰能說說，每個三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積有什么關(guān)系？

生：拼成的平行四邊形是三角形面積的二倍。每個三角形的面積是拼成的平行四邊形的面積的一半。

5.歸納公式

師：同學們，我們以上的探索過程就是數(shù)學家們曾經(jīng)走過的歷程，這一過程中用了數(shù)學的哪一種思想方法？這些方法實際上都是把今天所要研究的不會求面積的三角形先轉(zhuǎn)化成什么圖形？

師：請同學們觀察黑板上的轉(zhuǎn)化過程，無論什么樣的三角形，只要是兩個完全一樣的三角形，都可以拼成一個平行四邊形，誰能說說，每個三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積有什么關(guān)系？三角形的底和高與平行四邊形的底和高有什么關(guān)系？現(xiàn)在，你能得到三角形面積的計算公式嗎？（根據(jù)學生回答板書：三角形的面積=底×高÷2）

師：底×高表示什么？為什么要除以2？

師：如果用S表示三角形面積，用a和h分別表示三角形的底和高，你能用字母寫出三角形的面積公式嗎？（結(jié)合學生回答板書：S=ah÷2）

【設計意圖：本環(huán)節(jié)不僅使學生找到了新舊知識的連接點與轉(zhuǎn)化方式，而且使學生正確掌握操作方法，形成操作技能，從學生的已有經(jīng)驗和知識背景出發(fā)引出新課學習的重點。

數(shù)學課程標準下的教材編寫有兩條線：一條是明線即數(shù)學基礎知識和基本技能，是有形的線索;另一條是暗線即數(shù)學思想方法，是無形的線索。這樣編排教材的目的是為了突出數(shù)學思想方法的教學?；瘹w思想是小學數(shù)學最重要、最基本的思想之一。轉(zhuǎn)化與化歸是把未知的問題轉(zhuǎn)化為在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至簡單的問題。轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學學習中無處不在，教學中要不斷培養(yǎng)和訓練學生自覺的轉(zhuǎn)化意識，長期訓練將有利于強化學生在解決數(shù)學問題中的應變能力，提高學生的思維能力和技能、技巧。數(shù)學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。簡單地說，解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題。endprint

教學數(shù)學思想方法不像教學數(shù)學知識那樣能在短期內(nèi)初見成效，它必須經(jīng)歷一個長期的認識過程，才能被學生所體悟、理解和自覺運用?；瘹w思想是解決數(shù)學問題常用的思想方法。任何數(shù)學問題的解決過程，都是一個未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，是一個等價轉(zhuǎn)化的過程?；瘹w是基本而典型的數(shù)學思想，是數(shù)學思想的靈魂和精髓。

本環(huán)節(jié)就是以“化歸”思想為理論武器，實現(xiàn)了長方形、正方形、平行四邊形、三角形的面積計算公式間的同化，從而構(gòu)建和完善了學生的認知結(jié)構(gòu)。后續(xù)的學習中還將和梯形、圓形面積計算公式進行同化，幫助學生建立完整的平面圖形求面積公式。

經(jīng)過長期的強化訓練和學生的感悟，學生也就自覺地養(yǎng)成了運用“化歸”思想去探究、解決實際問題的思維品質(zhì)，把數(shù)學知識的學習與數(shù)學思想方法的學習有機融合。本課教學的目的不是讓學生掌握三角形的面積計算公式，而是讓學生在學會了數(shù)學知識的同時能深刻領會其知識背后的思想方法，同時促進學生數(shù)學知識的學習。】

環(huán)節(jié)三：二次建構(gòu)與拓展三角形面積計算方法

師：你們知道嗎？今天我們一起動手推導、驗證出來的三角形的面積計算公式，很早以前，我們的祖先就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，熱愛數(shù)學的人們不停地思考，還研究出了其他的方法，我們一起來看一看。（多媒體演示“割補法”）先作底邊上的高和中位線，沿高的一半旋轉(zhuǎn)180度拼成一個平行四邊形。

師：你看懂了嗎？能解釋給大家聽聽嗎？

師：我國古代數(shù)學家固然偉大，但是老師覺得你們也很了不起！咱們不也找到三角形面積的計算方法了嗎？把熱烈的掌聲送給咱們自己！

【設計意圖：經(jīng)驗，并非總是親歷所得。對數(shù)學活動經(jīng)驗的獲得，一般有兩種途徑，一種是基本活動經(jīng)驗由學生親歷所得，它是獲得數(shù)學活動經(jīng)驗的重要方式，但不是唯一方式;另一種是基本活動經(jīng)驗，是指學生間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗。以上教學過程中適時運用現(xiàn)代教育技術(shù)，給學生提供和創(chuàng)造像“觀察性經(jīng)驗”一類的替代性經(jīng)驗，讓學生在觀察、模仿、想象這些替代性經(jīng)驗中獲得類似于親臨其境的實實在在的經(jīng)歷和體驗，促進學生獲得廣泛的豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗?！?/p>

環(huán)節(jié)四：重構(gòu)與提升三角形面積計算方法和意義

師：這一節(jié)課同學們通過探究推導出了三角形的面積計算公式，課后可以繼續(xù)探究，看看還能探究出哪些方法？下面我們就用相關(guān)知識解決一些實際問題。

計算下面三角形的面積：

（1）計算三角形的面積你需要知道哪些條件？

（2）出示相關(guān)數(shù)據(jù)：分別計算出它們的面積是多少平方厘米。

（3）交流：計算出三角形的面積后還有問題要提嗎？

若學生沒有問題，則教師提問：

（1）45×16表示什么意思？能在你所說的圖形上指一指嗎？

（2）老師也想了一個平行四邊形，是這樣的（課件演示），可以嗎？

（3）為什么計算這個三角形的面積還要除以2呢？

（4）求第二個三角形的面積時，如果要以5厘米為底，那么它的高在哪里呢？你會求嗎？

【設計意圖：本環(huán)節(jié)遵循“前有鋪墊、中有突破、后有提升”的教學原則，融例題和知識教學為一體，例題教學的目的不是為了公式的應用，而是要挖掘知識背后更深層次的知識，引導學生從“三角形面積是兩個完全一樣的三角形所拼成的平行四邊形面積的一半”中解構(gòu)出來，并重新建構(gòu)：三角形面積是“等底等高平行四邊形面積的一半”。至此學生所建構(gòu)的三角形面積計算公式才是豐滿的?！?/p>

【教后思考】

思考1：怎樣避免數(shù)學思想方法教學在同一水平上徘徊？

數(shù)學知識總是有它固有的結(jié)構(gòu)和邏輯體系的，平面圖形面積計算公式的建構(gòu)從某種意義上來說是同源的，也是一脈相承的;在教學中應該關(guān)注其發(fā)展性、延伸性和傳承性。教師在進行教學設計時，要進行教學前端分析即教學起點分析，它應包含兩個層面：教材層面——數(shù)學知識及知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系;學生層面——學生原認知基礎。

三角形面積計算是在學生已經(jīng)掌握平行四邊形面積計算并認識三角形特征的基礎上進行教學的，所以，必須以平行四邊形的面積計算以及三角形的底和高相對應的知識為基礎，使“三角形面積計算”這一新知識納入學生原有的知識體系中，運用遷移和轉(zhuǎn)化的思考方法，通過“動手操作，合作探究”等教學活動，使學生切實理解和掌握三角形面積計算公式，同時加深平面圖形之間內(nèi)在聯(lián)系的認識，為后面推導梯形的面積公式做好鋪墊。

本課教學過程中運用了先立后破、由破再立的策略。立——等腰三角形的剪拼，發(fā)現(xiàn)等腰三角形沿高剪開可以拼成長方形或平行四邊形，得出等腰三角形可以通過剪拼來實現(xiàn)轉(zhuǎn)化;破——不是所有的三角形都能進行剪拼，讓學生進行一般三角形（非標準常態(tài)材料，如銳角三角形和鈍角三角形）剪拼實驗，發(fā)現(xiàn)一般三角形沿高剪開難以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化;再立——任何兩個完全一樣的三角形都能拼成平行四邊形。進而將等腰三角形和一般三角形進行對比，找到將一般三角形進行轉(zhuǎn)化的另一種方法——拼組。至此，學生在矛盾沖突的過程中掌握了知識，發(fā)展了空間觀念，完善了對化歸思想的認識?？傊當?shù)學思想的積淀要逐級遞進、螺旋上升。

思考2：學生是重復操作還是層層深入？

數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志。數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學學習活動過程中逐步積累的。課程標準明確指出：教學“圖形與幾何”應該幫助學生建立空間觀念，讓學生經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步培養(yǎng)學生的幾何直觀與推理能力。

希爾伯特說：幾何圖形是一種數(shù)學符號，是直觀空間幫助記憶的符號，幾何思維與算術(shù)思維是一致的，數(shù)、形不能割裂。在知識建構(gòu)階段更多地采用實物操作，操作要到位，不能流于形式，讓操作與思維聯(lián)系起來，讓操作成為培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的源泉。讓新知識在學生操作中產(chǎn)生，技能在操作中熟練，方法在操作中創(chuàng)生，創(chuàng)新意識在操作中萌發(fā)。在知識解構(gòu)、重構(gòu)階段更多地采用表象操作和思維操作，讓學生在回憶、想象、分析、綜合等一系列的思維活動中，進行智慧火花的碰撞，特別是讓學生在借助口頭語言表達自己想法的同時，能夠?qū)⒈硐蟮恼?、加工、歸納的思維過程進行綜合，完成從感性到理性的完整認識，同時提升思維水平。總之，從圖形觀察到空間想象，動態(tài)研究幾何與圖形將會引發(fā)學生更深入的數(shù)學思考。

思考3：對知識的理解是停留在工具性理解層面還是要強化關(guān)系性理解？

對數(shù)學知識的理解有兩種模式：一種是“工具性理解”，還有一種是“關(guān)系性理解”。工具性理解是對數(shù)學知識、數(shù)學對象的表層理解，是對一個規(guī)則及所指定的每一個步驟是什么的理解，“只知其然，不知其所以然”，“只管公式，不管理由”，“只知道做什么，不知道為什么要這樣做”;關(guān)系性理解是對數(shù)學知識、數(shù)學對象的本質(zhì)的理解和把握，還需加上符號意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認識，獲得符號指代物意義的途徑及規(guī)則本身有效的邏輯依據(jù)等，“不僅知道要做什么，而且知道理由”，“不僅知其然而且知其所以然”。關(guān)系性理解的學習不僅可以激發(fā)學生的認知內(nèi)驅(qū)力，同時也能有效地引領學生探索未知的數(shù)學關(guān)系，形成完整的知識結(jié)構(gòu)。本課教學中事先向?qū)W生交代三角形的面積計算公式，然后引導學生從“三角形面積是兩個完全一樣的三角形所拼成的平行四邊形面積的一半”中解構(gòu)出來，并重新建構(gòu)為三角形面積是“等底等高平行四邊形面積的一半”。沿著“建構(gòu)——解構(gòu)——重構(gòu)”的路徑幫助學生形成完整的知識結(jié)構(gòu)，并把學生對三角形面積計算公式從工具性理解引向縱深的關(guān)系性理解。

思考4：練習設計是要關(guān)注技能訓練還是更多地突出思維提升？

練習設計不求華麗但求內(nèi)涵豐富，在練習中要更加突出空間想象的思維訓練，包括同一思維水平的橫向運用、縱向運用。皮亞杰指出：學生獲得數(shù)學知識需要經(jīng)歷從具體操作到表象操作，再到形式操作的過程。本節(jié)課教師沒有安排過多的單一的技能操練，而是設計了一組前后相生的問題：第一層基本練習，旨在鞏固、熟練公式;第二層設計實踐應用，使學生對三角形面積和等底等高平行四邊形的面積之間的關(guān)系加深理解;第三個層次，主要訓練學生思維的靈活性與逆向思維能力，掌握怎樣選擇底和高，已知面積怎樣求高。在這組練習中教師不只關(guān)注答案是什么，更要關(guān)注運用，如果教學中過多關(guān)注技能而對思維操作訓練沒有進行深加工，學生很難在課外再進行深入體驗，而技能的訓練還可以在課外和后續(xù)學習中進一步得以落實。

（責編 金 鈴）endprint