數(shù)學(xué)教學(xué)要突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

彭永新

“新課標(biāo)”開篇即說：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”[ ]。這句話點出了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。我們知道，數(shù)學(xué)知識作為客觀事物在數(shù)與形方面的特征與聯(lián)系在人腦中的能動反映，反映的是一類對象在數(shù)與形方面的內(nèi)在的、固有的屬性，不僅表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、法則、公式等抽象的言語信息，還表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想方法等策略性知識。但是在實際教學(xué)中，一些老師往往囧于具體教學(xué)內(nèi)容的表面現(xiàn)象，看不清楚數(shù)學(xué)概念背后蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)的本源，教學(xué)實踐中不能準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)主流，甚至輕視數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，致使數(shù)學(xué)本質(zhì)被“形式化”、“片面化”乃至“虛幻化”。下面選取幾個教學(xué)案例做簡單分析。

一、概念教學(xué)不能止于“形似”——數(shù)學(xué)本質(zhì)“形式化”

案例1：某教師在教學(xué)線段、射線、直線之間的關(guān)系時，先出示一條線段，然后邊擦端點邊告訴學(xué)生“擦掉線段的一個端點，就變成了射線；再擦掉射線的一個端點，就變成了直線”。

分析：關(guān)于直線、線段、射線三者關(guān)系的描述，蘇教版四上P16頁有如下描述：把線段的一端無限延長，就得到一條射線；把線段的兩端都無限延長，就得到一條直線。這兩句話揭示了直線、射線與線段三者之間聯(lián)系與區(qū)別：線段是直線的一部分，它有兩個端點，可以度量，而直線和射線都是無限長的，射線只有一個端點，而直線沒有端點。因此，“擦去線段的一個端點”，而不作延長的標(biāo)示，它依然是一條線段，因為“擦去”一個端點，必然會產(chǎn)生新的端點。同理，只“擦去射線的一個端點”，也依然是一條射線。這一道理是如此的淺顯，為什么這位老師要告訴學(xué)生“擦掉線段的一個端點，就變成了射線；再擦掉射線的一個端點，就變成了直線”呢？原因是這位教師淺顯地理解“習(xí)慣上教材有意識地把射線的一個端點或線段的兩個端點放大，使在線上隱形的抽象的點顯性化、形象化”的真實用意。比如，畫一條射線，只需在一端用一短豎線或者一個紅點標(biāo)示（教材上基本上是這樣標(biāo)示的），如果是線段，需要在兩端都如此標(biāo)示。如此來看，“擦去一個端點”，其視覺效果正好符合射線的“標(biāo)示”模式。顯然，這種做法迎合的只是一種數(shù)學(xué)概念外在的“形似”，而或略了直線和射線的本質(zhì)特點“無限長”。這樣的教學(xué)有可能使學(xué)生產(chǎn)生錯誤的理解：“直線就是線段去掉兩個點，射線就是線段去掉一個點，從而誤解了直線、線段、射線的本質(zhì)屬性。”我們的教學(xué)決不能將本質(zhì)當(dāng)做淺顯的形式，失去了數(shù)學(xué)的“真”，這樣的教學(xué)后果是可怕的。

二、概念教學(xué)該怎樣走向深刻——數(shù)學(xué)本質(zhì)“片面化”

案例2：一位教師教學(xué)倍的認(rèn)識。先出示：●表示紅花，你能知道紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍嗎？先猜一猜，藍(lán)花可能有幾朵，紅花的朵數(shù)就是藍(lán)花的幾倍？

學(xué)生有的說：2朵，有的說可能3朵，4朵，也有人說可能5朵，或者8朵……

師：大家的猜想有沒有道理呢？這樣吧，請你們在練習(xí)紙上用○表示藍(lán)花先畫一畫，再圈一圈，看看紅花的朵數(shù)是你畫的藍(lán)花的幾倍？

數(shù)分鐘后，教師展示藍(lán)花分別是2朵、3朵、4朵和6朵四種情況（圖略），并逐一讓學(xué)生說出紅花的朵數(shù)各是藍(lán)花的幾倍。

師：剛才有人說藍(lán)花可以是5朵，或者8朵，你們覺得可以嗎？

生：不可以！……

分析：很顯然，這段設(shè)計十分精巧。先猜一猜，紅花的朵數(shù)就是藍(lán)花的幾倍，藍(lán)花可能有幾朵。然后老師借助畫、圈兩個動作，讓學(xué)生自主探索出藍(lán)花的朵數(shù)可以是2朵、3朵、4朵、6朵。在聽課的當(dāng)中，我非常期待執(zhí)教者能關(guān)注一下學(xué)生前面的5朵、8朵這兩種猜想的現(xiàn)實性，但遺憾的是，教師將5朵、8朵這樣的情況主動回避了。為什么回避？執(zhí)教者的解釋是二年級學(xué)生對“倍”的認(rèn)識僅限于整數(shù)范圍。因為只學(xué)了整數(shù)，所以倍的認(rèn)識就只限于整數(shù)嗎？

倍的本質(zhì)是“比”，即兩個量之間不僅僅是整數(shù)倍的關(guān)系，也可以是分率關(guān)系，關(guān)鍵是確定比的標(biāo)準(zhǔn)，將被比量看做一個單位，通過比較量有幾個或幾分之幾個這樣的單位來確定兩者之間的倍比關(guān)系。學(xué)生出現(xiàn)的5朵、8朵的猜想，不僅不能被排除在倍的認(rèn)識討論之外，相反是教學(xué)走向深刻的一個契機。這個案例的分析說明，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，我們需要有一個長遠(yuǎn)的目光。我們的教學(xué)不能只是見木而不見林，人為地割斷知識間的聯(lián)系，這很容易使學(xué)生陷入思維的泥沼。

三、數(shù)學(xué)文化的根基在哪里——數(shù)學(xué)本質(zhì)“虛幻化”

案例3：一位老師執(zhí)教圓的周長一課。課前先引導(dǎo)學(xué)生觀看微課：也就是通過電腦演示圓的周長分別與它的外接正方形周長和內(nèi)接正六邊形周長比較，得出圓的周長比它的直徑的三倍多一些，又比它的直徑的四倍小一些。

接著教學(xué)中讓學(xué)生分組用滾圓法或者繞圓法開展測量活動，并計算出周長與直徑的比值（要求保留兩位小數(shù)），巧合的是學(xué)生大多測量的結(jié)果接近3.14。

然后教師讓學(xué)生交流前面微課的體會，引出古今中外關(guān)于圓周率的研究歷史，從周三徑一到祖沖之的歷史貢獻等等。

分析：很顯然，執(zhí)教者的意圖是通過微課的形式充分展示了圓周率的歷史文化，突出了數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，而對操作測量活動的安排一帶而過。對這樣的安排，一些老師認(rèn)為是可行的有深度的教學(xué)嘗試。但筆者認(rèn)為，如果沒有測量法的實踐感受，學(xué)生怎會產(chǎn)生深刻的“麻煩”體驗，缺少了體驗的文化滲透，充其量只是一場走秀而已。因此，筆者這里不僅需要從課堂上的實際情況做真實的測量活動，相反應(yīng)該讓學(xué)生從取一位小數(shù)、到兩位小數(shù)、再三位小數(shù)、甚至四位小數(shù)的近似值結(jié)果，從中實際感受到測量法求圓周率的誤差把握的不易，在此基礎(chǔ)上再借機進行古代數(shù)學(xué)家們進行計算圓周率的方法探求，這不僅僅是一種科學(xué)精神的教育，更重要的是數(shù)學(xué)思想的滲透。從這節(jié)課的探討來看，筆者以為我們對數(shù)學(xué)本質(zhì)核心的理解關(guān)鍵取決于教師具有怎樣的教學(xué)境界。

從上面三個案例的分析來看，一線教師在概念教學(xué)時之所以出現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)形式化、片面化、虛幻化，筆者認(rèn)為一個重要的原因是教師們尚不能從微觀出發(fā)來認(rèn)識和把握處理數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。所謂微觀，即從小的方面、局部方面去研究，這種研究方法，叫做微觀方法。在微觀上，數(shù)學(xué)本質(zhì)是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義。對此，章建躍、張翼等人提出，數(shù)學(xué)本質(zhì)不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識上，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)精神里，還體現(xiàn)在抽象、嚴(yán)密、簡潔等特點上。北京教育學(xué)院劉加霞教授則將數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵歸結(jié)為以下五個層面：一是對基本數(shù)學(xué)概念的理解；二是對數(shù)學(xué)思想方法的把握；三是對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟；四是對數(shù)學(xué)美的鑒賞；五是對數(shù)學(xué)精神（理性精神與探究精神）的追求。這些論述，對我們的教學(xué)實踐具有一定的指導(dǎo)意義。

【作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星海小學(xué) 江蘇】