利用基本初等函數巧解兩道高考壓軸題

胡積謀

【中圖分類號】G633.66 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）6-0254-02

即將迎來新一年的高考，備考考生的復習正如火如荼地進行，有序而又充實。這一階段的學習任務主要以歸納、總結、提升為主，因此適當引導學生注意一題多解與巧解尤為重要，這有利于培養學生思維的廣闊性，對學生數學思維的靈活性、敏捷性的培養也是有好處的。以下以2012、2013福建文科數學壓軸題22題這兩道高考題為例，講解如何利用基本函數的性質與圖像解決實際問題，讓學生感受到正難則反，化繁為簡，數形結合，多思少算的解題真諦！

例1 【2012福建高考文科數學試題22題】：已知函數，且在 上的最大值為.

（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；

（Ⅱ）判斷函數f（x）在（0，π）內的零點個數，并加以證明.

解析：

（Ⅰ）過程略，答案；

（Ⅱ）要判斷函數f（x）在（0，π）內的零點個數，即判斷關于x的方程xsinx-=0在（0，π）內根的個數，等價變形為sinx=，即只需判斷兩基本初等函數h（x）=sinx與t（x）=的圖象在（0，π）內的交點個數，

又由函數y=sinx與y= 性質與圖象知內有兩個交點.

例2【2013福建高考文科數學試題22題】：已知函數為自然對數的底數）.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；

（Ⅱ）求函數f（x）的極值；

（Ⅲ）當a=1的值時，若直線與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值.

（Ⅰ）（Ⅱ）略；

（Ⅲ）直線與曲線y=f（x）沒有公共點，等價于關于x的方程在R上沒有實數解，即關于X的方程：在R上沒有實數解.

只需判斷兩基本初等函數 與 的圖象在 上沒有交點.

① 當k>1時，函數h（x）=（k-1）x為一次函數且在R上單調遞增，當x趨于+∞時，h（x）趨于+∞，為指數函數且在R上單調遞減，由基本初等函數的性質與圖象知h（x）與t（x）在R上有交點，這與函數h（x）與t（x）的圖象在R上沒有交點矛盾，故k>1不合題意，

② 當k=1時.函數h（x）=0為常數函數，其圖象即為x軸，因為指數函數，其圖象在x軸上方，與x軸無交點，滿足題意綜合知k的最大值為1.