初中數學中相輔相成的合情推理和演繹推理

李治青

【中圖分類號】G636.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）6-0188-02

美國數學教育家波利亞寫了一本書，名字叫《數學與猜想》，實際上它英文的原意翻譯過來，直譯的話，就是合情推理。在這本書的序當中說了這樣一段話，"無論是以后你是把數學作為自己職業的人，還是不把數學作為自己未來職業的人，他都要學好這兩種推理：一個是演繹推理，一個是合情推理。因為這二者對他未來的生活都非常重要 "。

推理是人們思維活動的過程，是根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。在日常生活和科學研究中經常使用兩種推理--合情推理和演繹推理

在以往的數學教學中，我們十分強調推理的嚴謹性，過多的重視了演繹推理，而忽視了生動活潑的合情推理。不可否認，演繹推理仍是初中數學考察的重點。同時，我們也應該看到，數學史上的"三大猜想"對后人帶來的影響。事實上，數學發展史中的每一個重要的發現，除演繹推理外，合情推理也起重要作用，它的實質是"發現"。因此，課堂教學中，教師除了發展演繹推理，還應該根據教材內容對學生進行合情推理能力的培養。它不僅能夠提高課堂教學質量，更重要的是有助于學生創新意識的培養和創新能力的提高。

新《數學課程標準》中指明：學生通過義務教育階段的數學學習，"經歷觀察、實驗、猜想、證明等活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力。"并指出在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。數學需要演繹推理，也需要合情推理。

一、下面，我結合人教版24、1、4《圓周角》這一節課，對于圓周角定理的探索和證明，闡述合情推理和演繹推理的相輔相成。

首先，出示探究題（如下圖），可由學生動手進行測量，再由具體數據猜想規律，小組交流，總結發現結論。

具體操作，可以一部分學生測量教材圖片，另一部分自己畫圖形測量。要集思廣益，相信集體的智慧。小組內分工，各種情況都有體現，多多益善。在這個過程中，就體現了從具體問題出發--觀察、猜想、比較、聯想--歸納、類比--提出猜想。

這就是合情推理的過程，它從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。它為我們提供了證明的思路和方向。

從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這就是演繹推理。演繹推理是由一般到特殊的推理。

前面通過第一步的合情推理，我們可以發現，同弧所對的圓周角的度數沒有變化，并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半。為了進一步研究發現的結論，如下圖，在☉O任取一個圓周角∠BAC，將圓對折，使折痕經過圓心O和∠BAC的頂點A，由于點A的位置的取法可能不同，這時折痕可能會：（1）在圓周角的一條邊上。（2）在圓周角的內部。（3）在圓周角的外部。

第一種情況圓心O在∠BAC的一條邊上

∵OA=OC ∴∠A=∠C

∵∠BOC=∠A+∠C ∴∠A=1/2∠BOC

對于第（2）（3）種情況，可利用（1）的結果證明（此處證明過程省略），通過此處的證明，就得到了圓周角定理以及推論。（此處證明還涉及分類討論的數學思想）

這就是演繹推理的過程，從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算，從而得到一般性結論。

在人教版初中教材中，體現合情推理和演繹推理相輔相成的例子還有很多，比如：勾股定理的證明，三角形內角和定理的證明，角平分線性質定理的發現和證明。

二、課堂上如何處理好合情推理和演繹推理相輔相成的關系

1、課堂上多讓學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理和初步的演繹推理證明能力。也就是說，教師"既教證明，又教猜想"。 在過程中感悟數學基本思想，積累數學活動經驗。切忌，教師的一言堂，過度操練演繹推理。如：學習角平分線的性質時，就應留出時間讓學生折紙，發現性質、再進行證明。

2、善于對教材內容進行加工，特別是教材以外的活動，例如：實際生活的實例，小游戲等。設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力。

3、適當引導學生探索同一命題不同思路與方法，進行比較和討論，激發學生對數學證明的興趣，發展學生思維的廣闊性和靈活性，從而訓練學生的演繹推理能力。

合情推理幫我們獲得一些猜想，獲得一些對結論的一種認識，而演繹推理幫我們來進一步驗證它的真假，二者是相輔相成的，不能偏廢，因此在現在的課程里面，我們始終把推理能力作為一個核心概念提出來。就數學而言，演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程。但數學結論、證明思路等的發現，主要靠合情推理。因此，我們不僅要學會證明，也要學會猜想。

總之，數學教學中，注重"探索發現"和"演繹證明"的有機結合，有利于實現"增強（學生）發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力"的課程總目標。在以后的教學中，多體現合情推理和演繹推理的相結合，讓學生在探究活動中掌握這種思想，為以后的教學奠定堅實的基礎。