一種改進的經驗模態分解算法與測井信號去噪

高丙坤 崔行悅 張 莉 孫靈川

(1.東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶163318；2.北京郵電大學信息與通信工程學院，北京 100876)

經驗模態(EMD)分解信號處理方法不需要先驗信息，能夠依據信號的自身特性，自適應地提取信號的固有模態函數，能夠把信號進行平穩化處理，適用于非線性、非平穩性信號。該方法打破了常規的以線性和平穩性為基礎的傅里葉變換及小波變換等傳統時頻域分析方法，開辟了信號處理與分析的新途徑。由于經驗模態分解過程存在端點效應，導致虛假分量的產生和邊界信號的失真，為此筆者對端點效應進行了抑制，并將改進后的經驗模態分解算法應用于核磁共振油氣井探測回波信號處理中，有效地濾除了噪聲信號。

構造原始信號x(t)為：

x(t)=2sin(20πt)+50sin(50πt)

(1)

對信號進行EMD分解后，得出各固有模態分量(imf)和殘余分量(res)如圖1所示。

圖1 信號EMD分解

從圖1可以看出，第一個imf分量包含了原始信號x(t)的25Hz正弦信號，第二個imf分量包含了原始信號x(t)的10Hz的正弦信號，但在實際分解后出現了不應該存在的第三個imf分量，即原始信號經過EMD分解后產生了虛假分量。此外，第一個imf分量邊界附近出現了嚴重失真，從而導致在第二個imf分量的邊界也產生了這種失真，即第一個imf分量端點處的失真污染了后面分解出的固有模態函數，這種現象稱之為端點效應。

端點效應是由于EMD分解過程中采用了三次樣條插值函數進行上下包絡的擬合造成的。由于在運用三次樣條函數的過程中，不能確保原始信號的兩端點就是信號的極值點，在端點附近沒有能約束極值點的信息，導致擬合出的包絡線與原始信號的實際包絡線偏離。在原始信號的高頻分量中，由于其極值點距離較近，端點效應僅僅局限在信號端點附近很小的范圍內，因此影響較小；但是在低頻分量中，由于信號的極值點間距較大，導致端點效應很容易影響到信號的內部。

2 EMD分解后的Hilbert變換

為了根據瞬時頻率的定義計算出瞬時頻率，從而進行時頻域分析，需要對分解出的每一個imf分量進行Hilbert變換。由于分解出的殘余分量res為單調函數或者常數，故在做Hilbert變換時舍去殘余分量，則原始信號為：

(2)

因此，對于任意的imf分量ck(t)，其Hilbert變換為：

(3)

其中，信號的幅值信息為:

信號的相位信息為：

故：

ck(t)=Re(ak(t)ejφk(t))

由于瞬時頻率為：

對上式兩邊取積分，得：

因此，原始信號可以表示為：

(4)

這就是Hilbert譜形式。對式(1)做HHT譜分析，其結果如圖2所示，可以看到兩條近似平行的直線，代表著頻率的聚集程度，同時也可以清楚地看到端點效應引起的邊緣失真。

圖2 Hilbert譜分析

3 EMD分解端點效應的改進

端點效應的總體原因是在原始信號進行三次樣條采樣時缺少了一個能夠約束端點處的條件，即沒有使用某種條件去判斷端點是否是極值點。為了消除這種端點問題帶來的EMD分解失真問題，出現了基于神經網絡的數據延拓法[1]、鏡像閉合延拓法[2]及基于AR模型的時間序列線性預測方法[3]等，這些方法通過補充數據來抑制端點效應。采用適應延長邊界特征點的辦法對包絡線進行擬合，然后再截取有效長度能夠抑制端點效應，但會增加計算量。為此，在邊界局部特征延拓法[4]的基礎上，通過判斷原始信號的端點能否作為極值點插入到新的上下包絡中，來抑制端點效應。實施步驟為：

a. 求出信號所有的極值點。

b. 設信號的采樣長度為Δt，該信號有M個極大值和N個極小值，則極大值對應的時間序列為Tmax(1)，Tmax(2),…,Tmax(M),每一個時間點對應的函數值為Xmax(1),Xmax(2),…,Xmax(M)；極小值對應的時間序列為Tmin(1)，Tmin(2),…,Tmin(N)，每一個時間點對應的函數值為Xmin(1),Xmin(2),…,Xmin(N)，則新的端點處的極值點平均幅值為Xmax=(Xmax(1)+Xmax(2)+Xmax(3)+Xmax(4))/4和Xmin=(Xmin(1)+Xmin(2)+Xmin(3)+Xmin(4))/4，平均時間間隔為Tmax=(Tmax(5)-Tmax(1))/4和Tmin=(Tmin(5)-Tmin(1))/4。

c. 計算出平均幅值和平均時間間隔后，放入原信號端點的兩側。

e. 對添加后的信號進行擬合，得出原始信號的上下包絡線。

對式(1)經過端點處理后的信號Hilbert時頻譜如圖3所示，端點效應得到了有效抑制，體現了更好的時頻聚集性，更加準確地描述了信號頻率在時間軸上的變化特征。

圖3 經過端點處理的Hilbert譜

4 改進端點效應的EMD方法在測井信號去噪中的應用

利用核磁共振技術對油氣探井測試時得到的回波信號含有大量噪聲，其Hilbert譜如圖4所示，導致所測得的原始信號不能準確反映井下油氣信息特征。采用改進的EMD分解去噪后Hilbert譜如圖5所示，保留下來的是低頻中的有用信號和少量的噪聲，為油氣勘探和開發提供了有效數據。

圖4 測井回波信號Hilbert譜

圖5 測井信號經改進的EMD處理后的Hilbert譜

5 結束語

基于邊界局部特征延拓法，通過判斷原始信號的端點能否作為極值點插入到新的上下包絡中，有效抑制了EMD分解方法中的端點效應。將改進的EMD分解算法應用于核磁共振油氣井探測回波信號處理中，通過Hilbert譜分析可知，高頻噪聲被有效濾除。

[1] 鄧擁軍，王偉，錢成春，等．EMD方法及Hilbert變換中邊界問題的處理[J]．科學通報，2001,46(3)：257～263．

[2] 黃大吉，趙進平，蘇紀蘭．希爾伯特-黃變換的端點延拓[J]．海洋學報(中文版)，2003,25(1)：1～11．

[3] 張郁山，梁建文，胡聿賢．應用自回歸模型處理EMD方法中的邊界問題[J]．自然科學進展，2003，13(10)：48～53．

[4] 林麗，周霆，余輪．EMD算法中邊界效應處理技術[J]．計算機工程，2009，35(23)：265～268．