基于相關性小波奇異熵的滾動軸承故障特征提取

劉 霞 孫美巖 薛海峰 龐永貴

(1.東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318；2.中國石油集團測井有限公司，西安 710021； 3.大慶物探一公司，黑龍江 大慶 163357)

根據傳感器測得的振動信號對機械故障進行診斷，是機械故障診斷中一種常用的有效方法。其中的核心技術是通過分析、處理振動信號用以提取機械故障信號的特征。常用的故障特征提取方法是短時傅里葉變換及Wigner-Ville分布等。短時傅里葉變換是應用最基本的時頻分析方法，同時也是一種時窗大小和形狀都固定不變的分析方法。Wigner-Ville分布有很多優點，如對稱性及重構性等，但也存在交叉干擾項的問題，此問題構成了時頻特征模糊不清的現象，同時也受噪聲的影響。為了解決以上問題并更有效地提取故障信號的特征，筆者提出了相關性小波奇異熵的算法，將小波變換、相關性、奇異值分解和信息熵理論有效地結合在一起。首先，由于軸承振動信號具有非線性、非平穩的性質[1]，而小波分析被稱為信號的顯微鏡，適合分析非平穩信號；其次，由于信號的小波變換在各尺度間具有較強的相關性，而噪聲的小波變換在各尺度卻沒有明顯的相關性，因此引入相關計算，以去除噪聲對有效信號的影響；當軸承出現不同的故障時，故障信號的奇異值也會發生相應的變化，再對相關計算后的系數進行奇異值分解；最后，利用信息熵進行計算，信息熵是對不規則復雜程度的度量。以熵值作為故障特征向量輸入到概率神經網絡里進行故障識別。

1.1 小波變換

(1)

則稱ψ(t)為一個小波函數或母小波。將母小波ψ(t)經過伸縮和平移后生成：

(2)

稱其為一個小波序列。其中，a為尺度因子，b為平移因子。

(3)

相應的離散小波函數為：

(4)

設有離散采樣序列x(n),n=1,2，…，N，如果以x(n)表示在尺度j=0時刻的近似值，a0=x(n)，則x(n)小波變換由下式確定：

(5)

其中，H和G分別為高通濾波器和低通濾波器，aj和bj分別為信號尺度的近似系數和細節系數。故障振動信號x(n)經過尺度1,2,…,j層分解，最終分解為d1,d2,…,dj,aj，它們包含了信號從高頻到低頻不同頻帶的信息。

1.2 相關性理論

根據信號與噪聲的小波變換在各個尺度下不同的傳播特性，引入相關計算，以去除噪聲對信號的影響。介紹一下相關系數，其定義為：

Cor(j,k)=Wf(j,k)·Wf(j+1,k)

(6)

Wf(j,k)={aj(k),dj(k)}

(7)

式中Cor(j,k)——分解尺度j上k點的相關系數；

Wf(j,k)——尺度j上k點的小波系數。

對相關系數進行規范化處理以便使小波系數和相關系數能夠具有對比性。

1.3 奇異值分解原理

當軸承出現不同的故障時，振動信號中的頻率分布會發生變化，信號的奇異值也會發生相應的變化[3～5]。同時，矩陣奇異值還具有比例不變性和旋轉不變性。為了檢驗軸承故障的類型，在小波分解的基礎上，計算各個尺度上奇異值的改變。首先對規范化以后的相關系數進行相空間重構。

設j層上相關計算后的信號為Dj={dj(k)}。將Dj中dj(1),dj(2),…,dj(n)作為相空間的第一個矢量，然后右移1步即可得到第二個矢量，依次類推，可以構造出一個(N-n+1)×n維矩陣A，一般說來，A多采用Hankel矩陣形式：

(8)

對相空間重構的信號A進行奇異值分解。設A是m×n維的正交矩陣，SVD可以把矩陣A分解成3部分：

A=UΛVT

(9)

其中，U是m×m維的正交矩陣，V是n×n維的正交矩陣，Λ=diag(α1,α2,…,αN)為對角矩陣，r為矩陣A的秩。U和V矩陣分別稱為左奇異矩陣和右奇異矩陣，α1，α2，…，αN為矩陣A的奇異值，且呈遞減順序，即α1≥α2≥…≥αN≥0，并且每個奇異值的重要性是不同的。

1.4 相關性小波奇異熵

信息熵是信源輸出信息不確定性的定量評價指標，也是表征信源總體特征的一個量。信息熵對于調制信號的內在信息具有很好的刻畫能力，應用比較廣泛。因此可以將信息熵應用于對軸承故障信號的特征提取[6]。

(10)

其中，pi=αi/α，α為所有奇異值之和，即α=α1+α2+…+αN。

1.5 相關性小波奇異熵特征提取算法

相關性小波奇異熵特征提取算法的步驟如下：

a. 對軸承故障信號進行小波分解；

b. 根據相關公式對各尺度小波分解系數進行計算和規范化處理；

c. 利用式(8)對每層相關計算后的系數進行相空間重構；

d. 對每層相空間重構的矩陣A進行奇異值分解；

e. 根據式(10)計算故障信號的相對性小波奇異熵；

f. 將熵值作為特征向量對滾動軸承進行特征提取。

2 改進算法的性能分析

2.1 容噪能力分析

當滾動軸承出現不同故障時,振動信號會出現調制現象,具體現象為在共振頻率周圍存在邊頻帶,邊帶間隔就是調制頻率,也是軸承故障特征頻率。為此，建立滾動軸承仿真信號為：

x(k)=e-at×sin2fckT

(11)

(12)

式中fc——載波頻率；

fm——調制頻率；

T——采樣時間；

α——指數頻率。

當α=800，fm=100Hz，fc=5000Hz，T=1/25000s，信號長度為8 192點時，信噪比為3dB，原信號和加噪信號如圖1所示。選擇db5小波對其進行十二層小波分解，對原信號和加噪信號計算相關性小波奇異熵，其中第十一層和第十二層的熵值相等，具體數據見表1。

圖1 原始信號和加噪信號波形

信號第一層第二層第三層第四層第五層第六層第七層第八層第九層第十層第十一/十二層原始信號4．35144．43874．21573．79383．04452．39241．68871．28601．08720．72750．4055加噪信號4．31584．44514．21823．77632．97922．36161．69641．27701．07650．76300．4171

通過仿真研究可以看出，加噪前后的相關性小波奇異熵沒有明顯的變化，說明該方法能夠很好地消除噪聲對信號的影響，更好地判斷信號的局部分布狀況，因此相關性小波奇異熵可以應用于軸承故障信號的特征提取。

2.2 穩定性分析

通過對實際的軸承測量，對故障信號的穩定性進行分析。實驗用的軸承為圓柱滾子軸承N205，軸承參數為：轉速1 200r/min，頻率40Hz，采樣數8 192點。故障類型為滾動軸承的內圈故障、外圈故障和滾珠故障，其軸承故障信號如圖2所示。對軸承的4種故障信號各做40次實驗，然后為每種故障信號的40組數據進行相關性小波奇異熵計算，得到部分熵值見表2。

圖2 軸承故障信號

軸承狀態第一層第二層第三層第四層第五層第六層第七層第八層第九層第十層第十一層正常軸承4．27824．49694．35194．10913．35212．68461．78731．19030．78830．52730．3141正常軸承4．27604．50484．36264．10933．44862．72561．77391．19110．77860．46870．3095正常軸承4．27464．50244．37244．06233．36862．58541．76751．22930．79360．49290．3534內圈故障3．90364．39084．47544．43354．10163．28492．22751．35760．81660．50440．3166內圈故障3．91784．39584．46284．39654．10383．07972．13531．36650．79890．50320．3248內圈故障3．91694．39164．46074．38054．10293．19332．12501．33500．81950．54650．3286外圈故障4．59744．53924．07303．63223．20362．54761．79661．18640．77960．50770．2994外圈故障4．58144．51583．99013．59403．29092．52341．79371．18710．80360．50420．3195外圈故障4．59264．55054．10913．65193．19982．56611．75811．18600．79130．52050．2966滾珠故障4．04254．40054．44434．30623．63902．68201．87961．26340．79770．52200．3230滾珠故障4．06594．42234．44334．38123．71062．69131．87711．22970．79770．52080．3228滾珠故障4．06794．40614．41424．37023．71502．68011．95921．22040．82930．56440．3593

從表2中的相關性小波奇異熵值可以看出，內圈故障、外圈故障、滾珠故障和正常軸承的奇異熵值處于不同的數值范圍內，有明顯的區分度。每種軸承故障信號相關性小波奇異熵沒有明顯的變化，說明該方法所得的特征矢量相對比較穩定。

3 基于概率神經網絡的故障分類

概率神經網絡(Probabilistic Neural Networks，PNN)是吸收了徑向基函數網絡和經典的概率密度估計的優點發展而來的一種前饋型神經網絡。其理論依據是葉斯最小風險準則，概率神經網絡是一種徑向神經網絡，適合于模式分類。由于概率神經網路模型具有非線性分類能力，可以將故障樣本空間映射到故障模式空間中，因此可形成一個具有較強容錯能力、結構自適應能力的網絡系統，從而提高故障特征提取的準確率。

PNN由輸入層、模式層、求和層和輸出層4部分組成。其中訓練樣本的值送給輸入層，將特征向量傳送給網絡，其神經元個數和樣本向量的維數是一樣的。模式層計算來自輸入的故障信號的特征向量與訓練樣本中各個類型的匹配關系，模式層神經元的數目等于各個類型所有的訓練樣本數，該層每個模式部分的輸出如下：

(13)

其中，W為從第一層到第二層的連接權值，等于輸入向量的轉置；δ為平滑因子，在分類中起著非常重要的作用。

第三層是求和層，是將屬于某種類型的概率累計，按式(13)計算，可以得到故障模式的估計概率密度函數。求和層單元的輸出與各類基于內核的概率密度的估計成比例，通過輸出層即最后一層的歸一化處理，能夠得到各種類型的概率估計。網絡的輸出層決策由簡單的閾值辨別器組成，輸出層神經元是一種具有競爭能力的神經元，每個神經元分別對應于一種故障模式，神經元的個數相當于訓練樣本數據的類型個數。

在組建神經網絡模型中，選用的特征向量都必須能夠正確反映樣本信號的特征信息。本實驗共采集了160個樣本數據，每種類型40個，其中20個作為訓練樣本，20個作為測試樣本。利用相關性小波奇異熵計算，將熵值作為特征向量輸入到概率神經網絡中進行分類，分類結果見表3。

表3 概率神經網絡分類結果

4 結束語

隨著現代化工業自動化程度的日益提高，故障診斷被廣泛地應用在機械設備中，而特征提取是故障診斷的重要部分。筆者提出了將小波變換、相關性、奇異值分解和信息熵理論結合在一起，用于對滾動軸承故障信號進行特征提取。通過實驗測試表明，該方法具有良好的容噪能力和穩定性，能夠準確地提取故障信號的特征。同時，利用概率神經網絡對滾動軸承故障信號進行分類，該方法簡單、識別率高。但是由于實驗室采集到的軸承運動狀態比較簡單，而且故障較為明顯。因此，對于復雜的運行環境下對滾動軸承故障信號的特征提取還有待進一步研究。

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