基于多工況混合模型的故障監控方法研究

高俊峰 周凌柯

(南京理工大學自動化學院，南京 210094)

近年來，以PCA為代表的多元統計過程性能監控和故障診斷技術在化工過程中得到了成功應用[1，2]。但此類方法假定過程變量服從正態分布，且來自單一的穩定工況。對于多工況過程，目前的監測方法大多采用多模型方法[3～6]。Hwang D H和Han C H提出了一種基于多層聚類的超級PCA模型來解決多工況下化工過程的實時監測問題[3]。Lane S等提出一種通用子空間模型來監控多工況半間歇過程[4]。Zhao S J等為多工況過程監測開發了多PCA/PLS模型[5,6]。這些方法的共同點是通過聚類或經驗來劃分工況，工況數的選擇和工況界定較多地依賴于過程知識。為減輕監測方法對過程知識的依賴，近年來高斯混合模型(Gaussian Mixture Model，GMM)被應用到多工況過程監測中來。GMM的參數一般使用EM(Expectation Maximization)算法迭代估計，然而常規EM算法必須事先給定混合模型的分量數目，且在參數估計過程中不能自動調整。但在實際工業過程中，過程工況數經常是無法預知的，因此，近幾年許多學者采用的方法是針對不同的分量數目多次運行EM算法，計算量較大。Ma J等指出未知分量數目的高斯混合模型建模問題等價于最大化貝葉斯陰陽協調函數，并從理論上分析和證明了BYY協調函數用于選取高斯分量數目的有效性[7]。

為了解決多工況故障監控中存在的問題，筆者建立了一個多工況混合模型。該模型首先采用常規EM算法估計各工況的GMM參數，然后采用BYY算法根據所估計出的GMM參數來判斷工況數。迭代進行上述過程，直到GMM參數和工況數都收斂為止。混合模型建立后，通過在其每個分量中建立PCA模型，建立了一個多工況故障監控模型。該監控模型通過貝葉斯方法對被監控樣本實施自動工況劃分。

1.1 EM算法

假設x∈Rm是一個取自多工況過程的m維樣本，那么其在有限GMM下的概率密度函數可表示為：

(1)

其中K是包含在GMM中高斯分量的個數。將混合模型所有的參數合并到向量Θ={α1,m1,Σ1,…,αK,mK,ΣK}，其中mi、Σi代表第i個高斯分量的均值向量和協方差矩陣，αi表示其在混合模型中的權重。混合概率p(x|Θ)本質上是所有高斯分量的加權概率和。權重αi可以理解為任意樣本數據來自于第i個高斯分量的先驗概率。各高斯分量的概率密度方程可以表示為：

(2)

假定Θ中的模型參數都是常量且沒有任何的先驗知識，那么給定樣本數據集X={x1,x2,…,xN}，混合模型參數Θ通常可通過最大化似然方程L(Θ)求出：

(3)

然而，當事先并不知道X中樣本數據所屬的高斯分量時，式(3)所定義的方法就會失效，而EM算法則可以通過迭代估計的方法解決上述混合模型參數估計問題[8]。

給定混合高斯分量數K和Θ的初值Θ0，EM算法通過不斷重復E-step和M-step迭代估計Θ，直至Θ單調收斂到其最優估計值。

E-step，給定Θ(t)，計算完全數據下的log似然函數的期望：

(4)

M-step，通過最大化似然函數Q(Θ|Θ(t))求取Θ(t+1)：

(5)

1.2 BYY算法

如上所述，在用EM算法迭代估計混合模型參數Θ時，必須事先給定混合模型的高斯分量數K。然而，在沒有任何先驗知識的情況下，K很難被準確地給出。為了解決這個問題，筆者在EM收斂之后，采用BYY算法估計工況數[7]。若所估計的工況數收斂，則混合模型參數估計停止。否則，以采用BYY算法估計出的混合工況數為條件重新執行EM算法。估計混合工況數的BYY協調函數定義如下：

(6)

1.3 基于MPMM的多工況過程監控模型

在用MPMM建立起GMM后，混合高斯分量數即為工況數，各個高斯分量對應各個穩定工況的分布特性。為了在所建立GMM的基礎上引入PCA算法，建立多工況過程監測模型，需要對訓練樣本數據進行工況劃分。對于訓練樣本數據xn，其所屬工況為：

(7)

所有訓練樣本數據工況劃分結束后，與傳統PCA相似，對于每一監控樣本x，定義兩個監控統計量T2和SPE：

T2=xPΛkPTxT

SPE=‖(I-PPT)x‖2

(8)

(9)

其中，k是主元個數，N是訓練樣本數。g和h的計算式為：

hg=mean(SPE)

2g2h=var(SPE)

(10)

過程監測時，需要為每個新監測樣本xn找到其所屬工況。筆者把xn屬于各個高斯分量的后驗概率作為相應的隸屬度。計算方法為：

(11)

2 仿真研究

TE過程是由Downs J J和Vogel E F于1993年提出的一個實驗平臺，它被廣泛應用于評估和比較過程監測方法的有效性[9]。其流程如圖1所示[10]，該過程有12個操作變量和41個測量變量。在41個測量變量中，前22個是連續變量，另外19個是離散變量。本節選取16個連續變量用于過程故障監測。

圖1 TE過程流程

在建立MPMM時，讓TE過程仿真運行70h，采樣間隔為0.01h，產生一個由兩個穩定工況構成的訓練樣本數據集。這兩個穩定工況是在仿真過程中改變TE過程的反應器壓力和反應器液位水平得到的。在仿真開始時，反應器壓力和液位水平為其初始值(2 800kPa和65%)，此時TE過程處于工況1；在仿真進行到10.033h時，降低反應器壓力至2 705kPa，液位水平保持不變，TE過程進入工況2。取各穩定工況1 000個數據點，構成一個由2 000個數據點組成的訓練樣本數據集，然后采用MPMM對此訓練樣本數據集建模，所建模型中各高斯分量在混合模型中所占比重分別為0.508 3和0.491 7，與實際值一致。因此，所建模型很好地描述了3個工況下訓練樣本數據的分布特性。

為了驗證MPMM監控復雜工業過程的有效性，筆者將其分別對正常和階躍擾動兩種工業過程進行監測。正常過程測試樣本數據集由3個工況正常運行條件下的采樣數據構成，每個工況300個樣本點。階躍擾動測試樣本數據集通過向工況1中引入階躍變化的故障2產生。故障引入的位置在第100個樣本點處，共有1 000個樣本點。故障2通過改變組分B的含量產生。

圖2 正常數據集的仿真結果

圖3 階躍擾動故障2監控結果

圖2、3所示仿真結果表明，筆者所提方法MPMM的多工況過程監控性能遠優于傳統PCA，而且監控延時較小。說明MPMM可以有效且準確地監控多工況工業過程。

3 結束語

基于BYY算法和PCA數據降維技術，建立了一個多工況混合模型。該模型克服了采用常規EM算法建立混合模型時必須事先給出混合工況數的限制，極大地提高了模型的適用范圍。模型建立后，通過在混合模型每個分量中構建PCA模型，建立了一個多工況故障監控模型。最后的仿真研究證明了MPMM在多工況過程監測中的有效性。

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