滬深300的EWMA最優衰減因子

摘 要：度量金融風險的VaR方法自從20世紀90年代初產生以來被廣泛地應用于度量各種金融工具的風險。1994年，摩根集團在網上公布了其內部使用的全面估計金融風險的技術文件，其核心技術就是VaR方法。摩根集團通過公布每日更新的480種金融工具的VaR，使得金融從業人員很容易計算各種資產組合的風險值。但是這480種金融工具中卻不包括中國的金融工具。對我國滬深300股票進行實證分析，計算其最優衰減因子，從而可為計算我國股市風險值提供方法和依據。

關鍵詞：滬深300；EWMA；最優衰減因子

中圖分類號：F830.91 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）32-0173-02

1995年，具有200多年歷史的英國巴林銀行宣布破產，只因為其在新加坡的交易員里克·尼森持有的日經225指數期貨合約多頭損失了約14億美元，而該銀行的股權資本只有6.15億美元。因此，在當前金融市場上，無論是企業還是個人都需要進行嚴格的風險管理。度量金融風險的VaR方法自從20世紀90年代初產生以來被廣泛地應用于度量各種金融工具的風險。1994年，摩根集團在網上公布了其內部使用的全面估計金融風險的技術文件，其核心技術就是VaR方法。摩根集團通過公布每日更新的480種金融工具的VaR，使得金融從業人員很容易計算各種資產組合的風險值。但是這480種金融工具中卻不包括中國的金融工具。

2005年4月8日，由上海證券交易所和深圳證券交易所聯合編制的滬深300指數開始發布。滬深300指數樣本是從上海、深圳證券市場中選取的300只A股股票，其中滬市179只，深市121只。滬深300涵蓋了滬深市場六成左右的市值，具有良好的市場代表性。我們通過方法計算滬深300的最優衰減因子，可以為計算中國金融工具的VaR值提供方法和依據。

一、研究方法

（一）基本原理

記為{rt}某金融工具的價格收益率序列，在隨機游動假說下，{rt}服從獨立的正態分布。

（1）

在研究每天的收益率時，可假設μ=0。對給定的置信水平C，對應的標準正態分布的分位點為T（由標準正態分布表查表可得），所以有

VaE（相對）=-TσtW （2）

當資產組合包含兩種以上資產時，還需要計算資產之間的相關系數，具體可參閱其他文獻。在（2）式中，W是投資組合的頭寸，是一已知量，T是由置信水平c確定的量，因此在估計VaR的方差協方差法中，關鍵的問題就是如何估計收益率分布的標準差σt。

（二）指數加權平均移動法

由（1）式，我們可以考慮用rt的歷史觀測值來估計σt，（3）式就是用長度為T的歷史數據估計t：

（3）

這種估計標準差的方法叫做簡單移動平均法（SAM），其特點是對每個觀測值給予相等的權重，估計值顯著依賴于數據長度T的選取。

對SMA法的改進方法叫做指數加權移動平均法（EWMA），也就是說：

（4）

這種方法的特點是對每個觀測值給予不同的權重，離估計值越近的數據權重越大，越遠的數據權重越小。（4）式中λ（0<λ<1）叫做衰減因子，其取值大小決定了相關樣本的權重和有效樣本的長度。

用EWMA法估計收益率的標準差還有一個顯著的特點，就是可以將方差的估計公式寫成迭代形式，這將有利于應用計算機處理龐大的數據。為此，我們顯示地記σ2

t+1/t為已知t時刻以前（包括t時刻）的收益，估計t+1時刻的收益方差，由 （4）式進行以下推導，得到迭代形式：

（5）

（三）估計精度的確定

因為的取值范圍為：0<λ<1，故r2

t-i的權重（1-λ）λi→0（當i→∞）時，所以（4）式可以用有限樣本長度來近似。為此，定義容忍度LK：

[] （6）

在容忍度LK下，應用EWMA法估計標準差公式為：

[] （7）

由于

[]

可將式（6）推導為

[] （8）

這樣，我們就得到了衰減因子λ、有效數據長度K和容忍度LK三者之間的關系。

（四）最優衰減因子的算法

風險矩陣對N個時間序列生成波動率和相關性預測，這需要N個方差預測和N（N-1）/2個協方差預測。由于這些參數組成了一個協方差矩陣，對每個方差和協方差預測的最佳衰減因子并不是相互獨立的。當N=2時，我們的協方差矩陣為2x2，共有3個衰減因子：λ1，λ2，λ3。理論上，選擇與其相應的協方差矩陣一致的最優衰減因子是可能的，但實際上這一目標對復雜的大型協方差矩陣難以實現。因此，有必要對最優衰減因子λ做出一些結構性的限制。風險矩陣對整個協方差矩陣僅使用一個最優衰減因子，這一衰減因子是由N個時間序列的個體方差估計確定的。

1.均方根誤差準則

在早一個周期預測出的，對在時間t+1時，回報rt+1的方差估計，定義為，即在早一個周期對平方回報的期望值。一般地說來，這些結論對在時間t+j，j≥1做出的任何預測都是成立的。現在如果將方差預測誤差定義為，則會得到預測誤差的期望為0。基于這一關系，我們希望選擇最優的λ使得平均誤差平方最小。將此應用于日方差預測，這會使下式給出的日均方根預測誤差（RMSE）最小化。

（9）

在這里，方差的預測值寫作的顯示函數，其中T為考慮的預測區間長度。在實際上，是通過尋找對應于不同λ值的最小RMSE值來得到最優的衰減因子，也就是說，尋求產生最佳預測（即使預測度量最小化）的衰減因子。此外風險矩陣并不評價協方差預測的精確性。

2.個體方差估計的加權

風險矩陣具有N個時間序列，而且對每個序列都有一個與之關聯的、使方差預測的均方根誤差最小化的最優衰減因子。我們需要對日數據組，由N個時間序列計算出一個綜合的最優衰減因子。令i表示第i個最優衰減因子，并讓i（i=1，2，…，N）表示風險矩陣數據中的時間序列數；讓τi表示與i相關聯的第i個均方根誤差（RMSE），即τi是第i個時間序列的最小RMSE值。可以如下推導出一個綜合的最優衰減因子：

（1）求所有N個最小RMSE，的和：

（2）定義相對誤差度量：

（3）定義權重：

這里

（4）最優衰減因子定義為：

（10）

也就是說，由風險矩陣采用的最優衰減因子是個體最優衰減因子的加權平均，其權重是個體預測精度的一種度量。將這一方法運用到日收益率序列，并求得日數據組的最優衰減因子。

二、最優衰減因子的計算

我們選取的樣本為滬深300成分股股票收盤指數，樣本時間為2012.12.28—2013.12.13，共計250天。對于我們選取的樣本長度，由公式8可知：當λ取值為0.85—0.95時，容忍度小于0.001%。根據摩根技術文件的經驗，λ的取值應在0.84—0.99之間。我們利用Matlab軟件，使用柵格法計算每個風險因子的最小RMSE值以及相應的λ取值；然后，按照2.4.2中的方法計算各個λ值權重；最后，加權得出對于中國金融市場的日頻最優衰減因子。得出如下結果：λ=0.9400。由EWMA方法可知λ越小，有效數據長度或市場的記憶長度K越短，即市場具有更大的波動性。通過與國際市場的比較，我們可以發現我國股票市場的波動性是比較大的，這與我們計算的國內股票市場最優衰減因子為0.94，小于國外股票市場最優衰減因子這一結果相符合。

結語

本文運用EWMA方法估計收益率方差和RMSE最小化準則確定最優衰減因子，通過計算滬深300成份股股票，得出我國滬深300股票市場的日頻最優衰減因子為0.9400，為進一步計算我國股票市場風險值提供了幫助。

但是，我們僅采用了1年（250天）的歷史數據，可能因樣本數據不足導致精確度的欠缺。此外，從當前文獻可知，不同國家的不同金融工具的衰減因子是有差異的，說明在不同的國家、不同的經濟文化背景下對不同的金融產品，其市場記憶長度是有差異的。而對于我們采用的指數加權移動平均法（EWMA），是由正態分布的方差極大似然估計得到的，需要注意到只有當收益率序列服從條件正態分布時，EWMA估計才是最優的。希望將來能有更加科學有效的手段方法來估計最優衰減因子。

參考文獻：

[1] J.P Morgan.RiskMetrics Technology Document-Fourth Edition[M]，1996.

[2] 劉廣麗.基于EWMA方法的VaR估計[D].昆明：昆明理工大學，2007.

[3] 王繼偉.滬深300指數的VaR研究[D].開封：河南大學，2008.

[4] 劉軼芳，遲國泰，余方平，孫韶紅，王玉剛.基于garch-ewma的期貨價格預測模型[J].哈爾濱工業大學學報，2006，（1）.

[責任編輯 杜 娟]

1.均方根誤差準則

在早一個周期預測出的，對在時間t+1時，回報rt+1的方差估計，定義為，即在早一個周期對平方回報的期望值。一般地說來，這些結論對在時間t+j，j≥1做出的任何預測都是成立的。現在如果將方差預測誤差定義為，則會得到預測誤差的期望為0。基于這一關系，我們希望選擇最優的λ使得平均誤差平方最小。將此應用于日方差預測，這會使下式給出的日均方根預測誤差（RMSE）最小化。

（9）

在這里，方差的預測值寫作的顯示函數，其中T為考慮的預測區間長度。在實際上，是通過尋找對應于不同λ值的最小RMSE值來得到最優的衰減因子，也就是說，尋求產生最佳預測（即使預測度量最小化）的衰減因子。此外風險矩陣并不評價協方差預測的精確性。

2.個體方差估計的加權

風險矩陣具有N個時間序列，而且對每個序列都有一個與之關聯的、使方差預測的均方根誤差最小化的最優衰減因子。我們需要對日數據組，由N個時間序列計算出一個綜合的最優衰減因子。令i表示第i個最優衰減因子，并讓i（i=1，2，…，N）表示風險矩陣數據中的時間序列數；讓τi表示與i相關聯的第i個均方根誤差（RMSE），即τi是第i個時間序列的最小RMSE值。可以如下推導出一個綜合的最優衰減因子：

（1）求所有N個最小RMSE，的和：

（2）定義相對誤差度量：

（3）定義權重：

這里

（4）最優衰減因子定義為：

（10）

也就是說，由風險矩陣采用的最優衰減因子是個體最優衰減因子的加權平均，其權重是個體預測精度的一種度量。將這一方法運用到日收益率序列，并求得日數據組的最優衰減因子。

二、最優衰減因子的計算

我們選取的樣本為滬深300成分股股票收盤指數，樣本時間為2012.12.28—2013.12.13，共計250天。對于我們選取的樣本長度，由公式8可知：當λ取值為0.85—0.95時，容忍度小于0.001%。根據摩根技術文件的經驗，λ的取值應在0.84—0.99之間。我們利用Matlab軟件，使用柵格法計算每個風險因子的最小RMSE值以及相應的λ取值；然后，按照2.4.2中的方法計算各個λ值權重；最后，加權得出對于中國金融市場的日頻最優衰減因子。得出如下結果：λ=0.9400。由EWMA方法可知λ越小，有效數據長度或市場的記憶長度K越短，即市場具有更大的波動性。通過與國際市場的比較，我們可以發現我國股票市場的波動性是比較大的，這與我們計算的國內股票市場最優衰減因子為0.94，小于國外股票市場最優衰減因子這一結果相符合。

結語

本文運用EWMA方法估計收益率方差和RMSE最小化準則確定最優衰減因子，通過計算滬深300成份股股票，得出我國滬深300股票市場的日頻最優衰減因子為0.9400，為進一步計算我國股票市場風險值提供了幫助。

但是，我們僅采用了1年（250天）的歷史數據，可能因樣本數據不足導致精確度的欠缺。此外，從當前文獻可知，不同國家的不同金融工具的衰減因子是有差異的，說明在不同的國家、不同的經濟文化背景下對不同的金融產品，其市場記憶長度是有差異的。而對于我們采用的指數加權移動平均法（EWMA），是由正態分布的方差極大似然估計得到的，需要注意到只有當收益率序列服從條件正態分布時，EWMA估計才是最優的。希望將來能有更加科學有效的手段方法來估計最優衰減因子。

參考文獻：

[1] J.P Morgan.RiskMetrics Technology Document-Fourth Edition[M]，1996.

[2] 劉廣麗.基于EWMA方法的VaR估計[D].昆明：昆明理工大學，2007.

[3] 王繼偉.滬深300指數的VaR研究[D].開封：河南大學，2008.

[4] 劉軼芳，遲國泰，余方平，孫韶紅，王玉剛.基于garch-ewma的期貨價格預測模型[J].哈爾濱工業大學學報，2006，（1）.

[責任編輯 杜 娟]

1.均方根誤差準則

在早一個周期預測出的，對在時間t+1時，回報rt+1的方差估計，定義為，即在早一個周期對平方回報的期望值。一般地說來，這些結論對在時間t+j，j≥1做出的任何預測都是成立的。現在如果將方差預測誤差定義為，則會得到預測誤差的期望為0。基于這一關系，我們希望選擇最優的λ使得平均誤差平方最小。將此應用于日方差預測，這會使下式給出的日均方根預測誤差（RMSE）最小化。

（9）

在這里，方差的預測值寫作的顯示函數，其中T為考慮的預測區間長度。在實際上，是通過尋找對應于不同λ值的最小RMSE值來得到最優的衰減因子，也就是說，尋求產生最佳預測（即使預測度量最小化）的衰減因子。此外風險矩陣并不評價協方差預測的精確性。

2.個體方差估計的加權

風險矩陣具有N個時間序列，而且對每個序列都有一個與之關聯的、使方差預測的均方根誤差最小化的最優衰減因子。我們需要對日數據組，由N個時間序列計算出一個綜合的最優衰減因子。令i表示第i個最優衰減因子，并讓i（i=1，2，…，N）表示風險矩陣數據中的時間序列數；讓τi表示與i相關聯的第i個均方根誤差（RMSE），即τi是第i個時間序列的最小RMSE值。可以如下推導出一個綜合的最優衰減因子：

（1）求所有N個最小RMSE，的和：

（2）定義相對誤差度量：

（3）定義權重：

這里

（4）最優衰減因子定義為：

（10）

也就是說，由風險矩陣采用的最優衰減因子是個體最優衰減因子的加權平均，其權重是個體預測精度的一種度量。將這一方法運用到日收益率序列，并求得日數據組的最優衰減因子。

二、最優衰減因子的計算

我們選取的樣本為滬深300成分股股票收盤指數，樣本時間為2012.12.28—2013.12.13，共計250天。對于我們選取的樣本長度，由公式8可知：當λ取值為0.85—0.95時，容忍度小于0.001%。根據摩根技術文件的經驗，λ的取值應在0.84—0.99之間。我們利用Matlab軟件，使用柵格法計算每個風險因子的最小RMSE值以及相應的λ取值；然后，按照2.4.2中的方法計算各個λ值權重；最后，加權得出對于中國金融市場的日頻最優衰減因子。得出如下結果：λ=0.9400。由EWMA方法可知λ越小，有效數據長度或市場的記憶長度K越短，即市場具有更大的波動性。通過與國際市場的比較，我們可以發現我國股票市場的波動性是比較大的，這與我們計算的國內股票市場最優衰減因子為0.94，小于國外股票市場最優衰減因子這一結果相符合。

結語

本文運用EWMA方法估計收益率方差和RMSE最小化準則確定最優衰減因子，通過計算滬深300成份股股票，得出我國滬深300股票市場的日頻最優衰減因子為0.9400，為進一步計算我國股票市場風險值提供了幫助。

但是，我們僅采用了1年（250天）的歷史數據，可能因樣本數據不足導致精確度的欠缺。此外，從當前文獻可知，不同國家的不同金融工具的衰減因子是有差異的，說明在不同的國家、不同的經濟文化背景下對不同的金融產品，其市場記憶長度是有差異的。而對于我們采用的指數加權移動平均法（EWMA），是由正態分布的方差極大似然估計得到的，需要注意到只有當收益率序列服從條件正態分布時，EWMA估計才是最優的。希望將來能有更加科學有效的手段方法來估計最優衰減因子。

參考文獻：

[1] J.P Morgan.RiskMetrics Technology Document-Fourth Edition[M]，1996.

[2] 劉廣麗.基于EWMA方法的VaR估計[D].昆明：昆明理工大學，2007.

[3] 王繼偉.滬深300指數的VaR研究[D].開封：河南大學，2008.

[4] 劉軼芳，遲國泰，余方平，孫韶紅，王玉剛.基于garch-ewma的期貨價格預測模型[J].哈爾濱工業大學學報，2006，（1）.

[責任編輯 杜 娟]