基于拓撲優化的橋梁結構選型

玉海瓏，李 偉

（天津城建設計院有限公司，天津市 300121）

1 拓撲優化的概念

一座選型優秀的橋梁應該是結構合理，傳力明確，富于力感，給人一種穩定的感覺。在一些常見的結構中，為了節省材料，通常會去除對整體受力貢獻很小的部分，例如路燈桿的柱腳加勁板（見圖1），通常不是矩形，而是對矩形鋼板外側角進行倒角處理，這樣即節省了材料用量，同時也讓整個構造顯得更具穩定性?？偨Y眾多頗具力感與穩定性的建筑可以發現，構件的體量及線性在受力不同的部位是有著細致的區分的，以圣地亞哥·卡拉特拉瓦設計的密爾沃基美術館為例，正式這種細致的區分賦予了建筑強大的張力，見圖2。多余的用料會破壞結構整體的力感，羅伯特·馬亞爾在設計薩爾基納山谷橋（見圖3）的過程中就是通過對石膏模型的研究，去除了實腹拱橋中對承受荷載貢獻較小且破壞橋梁整體力感的冗余部分，該橋的設計得到了眾多橋梁設計師的廣泛認可，被評為世界最美橋梁第一名[1]。

圖1 柱腳加勁板

圖2 密爾沃基美術館局部

圖3 薩爾基納山谷橋

同時，一座選型優秀的橋梁還應當具有很好的整體性和連續性。橋梁結構的連續性主要表現在構件交接處線型“漸變”的體形特征上。當結構構件處突然變換方向時，會出現應力集中現象，從視覺上也會破壞橋梁造型的連續性。從力學及美學的觀點看，構件的交接以光滑曲線的過渡是比較理想的，此時應力分布更加均勻，力流通過更加順暢。例如20世紀世界最美橋梁排名第4名的德國克希漢姆跨線橋（見圖4，施萊希設計），梁體采用和彎矩圖一致的流線造型，橋梁力感十足，在整體性和連續性方面堪稱典范。

圖4 德國克希漢姆跨線橋

可以發現，材料的優化使用，和造型的力感營造在一定程度上是相得益彰的，因為材料的優化使得力流傳遞途徑得以凸顯，這種材料的優化使用方式稱作拓撲優化，其目的就是在單獨荷載或多個荷載的作用下，尋求對材料的最佳使用方式，即造型的優化[2]。

2 拓撲優化方法的適用條件

在現有橋梁結構中這種通過造型優化來凸顯力感的案例并不是非常多，因為體現力流傳遞的流線造型通常會帶來設計施工難度的加大，所以在常規橋梁的設計中通常會簡化處理，例如小跨徑的板梁、小箱梁等預制結構通常都采用等截面設計，保證荷載作用最強的截面滿足受力及使用要求即可。

對于跨徑較大，并一定景觀要求的橋梁，在設計中使用拓撲優化可以提升景觀效果、優化結構受力、有效節省材料，圖5所示斜腿剛構橋，主梁采用了等截面的設計方式，與德國克希漢姆跨線橋相比，設計施工難度有所降低，但明顯造成了材料的浪費和造型的呆板。

圖5 某斜腿剛構橋

對于大跨徑的拱橋、懸索橋和斜拉橋，由于主梁高度相對橋梁跨徑較小，且主梁受力較為均勻，不適宜用拓撲優化方法進行處理，在拱肋、主塔及局部構造的選型過程中可采用拓撲優化方法。

3 拓撲優化的原理

根據圣維南原理，分布于彈性體上一小塊面積或體積內的荷載所引起的物體中的應力，在離荷載作用區稍遠的地方，基本上只同荷載的合力和合力矩有關，荷載的具體分布只影響荷載作用區附近的應力分布。

而國內在進行結構設計或彈性階段分析時，為了簡化計算模型，通常會引入平截面假定和胡克定律，認為垂直于桿件軸線的各平截面（即桿的橫截面）在桿件受拉伸、壓縮或純彎曲而變形后仍然為平面，并且同變形后的桿件軸線垂直且固體材料受力之后，材料中的應力與應變（單位變形量）之間成線性關系。如圖6所示，引入兩大假定后，可拓撲優化的區域就被忽略掉了，這樣設計出的結構體現出的力流傳遞和實際情況有一定的出入，所以不論從材料用量和力感營造上都是較差的[3]。

圖6 圣維南原理與平截面假定

美國的AASHTO規范已經將這一問題考慮到設計中，引入了D區構件的概念，認為鋼筋混凝土D區構件是一類截面應變不符合平截面假定的構件，其受力比較復雜，梁截面理論已不再適用。在鋼筋混凝土結構的設計中，D區的配筋是需要優化設計的。通過這種方法，節省了鋼筋材料的用量，而在施工復雜性（主要是模板制作安裝）和混凝土材料優化的博弈中還是選擇了前者。但是D區設計理念對實現橋梁結構拓撲優化還是具有一定的指導意義[4]。

有限元法是一種相對比較成熟的分析方法，假想的把一連續體分割成數目有限的小體（單元），彼此間只在數目有限的指定點（節點）相互連結，組成一個單元的集合體以代替原來的連續體，再在節點上引進等效力以代替實際作用于單元上的外力。選擇一個簡單的函數來近似地表示位移分量的分布規律，建立位移和節點力之間的關系。

有限元法的實質是：把有無限個自由度的連續體，理想化為只有有限個自由度的單元集合體，使問題簡化為適合于數值解法的結構型問題。

從理論上講，拓撲優化尋求的是最小挖空率下最小化結構變形能，并以此為目標函數。程序對每個單元賦予一個內部偽密度，偽密度為0表示該處材料將被去掉，偽密度為1表示該處材料將被保留。如圖7所示，通過數值解法可得到桿件的受力情況，繼而可得到區域的偽密度，達到優化目標的桿件將會被去掉，最終得到優化后的結構外形。

圖7 采用有限元法對結構進行離散

4 案例分析

根據拓撲優化原理，可采用有限元分析軟件Ansys進行拓撲優化分析，主要分為以下步驟：定義拓撲優化問題；選擇單元類型和材料屬性；建立模型，并制定優化和不優化的區域；定義和控制荷載工況；定義和控制優化過程；查看結果。

以某雙支點橋墩為例進行拓撲優化分析，命令流結構如下：

圖8（a）為僅考慮支座豎向力的單工況下材料優化20%的結果，和圣維南原理所述吻合；圖8（b）為同時考慮墩頂雙向水平力的三工況下材料優化40%的結果，通過該圖，在沒有進行其他分析計算的情況下，也可以了解墩高較高、水平力作用相對較強的情況下橋墩的設計思路。如圖9所示中安康漢江橋斜撐體量較豎直橋墩體量小，但對于提升結構整體穩定性的作用卻更大，在橋梁的整體造型中也更具力感。

圖8 雙支點橋墩拓撲優化結果

9 安康漢江橋

[1]江蘇省交通規劃設計院有限公司.橋梁概念設計[M].北京:人民交通出版社出版,2010.

[2]項海帆.橋梁概念設計[M].北京:人民交通出版社出版,2011.

[3]陳艾榮,盛勇,錢鋒.橋梁造型[M].北京:人民交通出版社,2005.

[4]AASHTO LRFD Bridge Design Specifications[M].The American Association of State Highway and Transportation Officials,2004.