地震波模擬的透明邊界條件的透明度分析

付小波+原健龍+韓超+范欣然+余嘉順

摘要：通過對波動方程有限差分正演模擬的透明邊界條件的透明度的研究分析，認識到不同介質模型和不同頻率成分都對透明邊界條件的透明度有影響，其中空氣介質模型的透明度最差，巖石介質模型的透明度最好，水介質模型透明邊界條件的效果介于空氣和巖石之間。透明邊界條件在低頻時的透明度比高頻時好，在頻率大于40Hz時 ，透明度呈線性減弱趨勢。

關鍵詞： 波動方程；有限差分；透明邊界條件；透明度

1 引 言

地震波波動方程數值模擬[1-4]是地震勘探方法中的一項重要手段。在真實世界中，勘探地震波一旦被激發之后，就會在介質空間向外不斷地傳播出去。如果我們可以將無限的介質空間全部裝進計算機中進行模擬，就可以完整的模擬地震波在整個空間的傳播過程，但是，計算機資源無法滿足我們這一要求，所以我們只能將感興趣的有限的介質空間區域在計算機上進行模擬計算，人為地限定在一個有限的區域內進行數值模擬計算，因此在四周人為地界定造成了邊界，這個邊界叫做計算邊界（或稱人工邊界）[5]。因為它的存在，波傳播到計算邊界時必然會產生反射波，這些來自各個計算邊界的人為反射嚴重干擾了波在介質中傳播，因此，我們需要設法消除或者是削弱邊界反射。

Reynolds[6]在1978年通過對波動方程的分解得到了透明邊界（Transparent Boundary）條件，可以有效的削弱由于計算邊界引起的邊界反射。所謂透明邊界，可以比喻為一塊玻璃，當有一束光照射時，光線會穿透過去而不產生明顯的反射，因此我們稱這塊玻璃是透明的。但是事實上，這樣理想的完全透明的玻璃是不存在的，光束照射到玻璃上是必然有部分能量被反射反射回來的，差別僅在于發射的強弱而已。透明度好的玻璃，其反射回來的光線能量較低，而透明度差的玻璃，其反射或能量耗散則較高。同理，在地震波數值模擬使用透明邊界條件來消除因計算邊界引起的邊界反射時，也會產生一部分反射地震波，不能全部穿透過邊界，因此波動方程模擬的透明邊界的好壞，也可以借用玻璃的透明度概念來刻畫。即邊界條件對邊界反射衰減效率較高的時候，我們稱之為透明度較高，反之，就是透明度較低。顯然，我們希望采用的邊界條件的透明度越高越好。所以，透明邊界的透明度是一個值得我們進行深入研究的課題。

2 模擬方法與邊界條件

2.1 波動方程的差分方程建立

在油氣地震勘探中，常常接收并使用的是地震P波資料，因此，常常使用聲波方程來替代地震波方程，即用聲波在介質中來描述地震波在介質中的傳播過程。為此，我們研究二維介質模型空間 以及時間區間 中傳播。在此空間上聲波的傳播速度為 。因此，在此空間的聲波的傳播方程[7]為：

（1）

上式中：

為波場振幅值；

。

其中， 為 Dirichlet函數，即： 其它情況為0， 為地震子波函數。

有限差分法數值模擬的基本思想理論：就是以差分方程替代微分方程。因此，有限差分法的重點就是將微分方程改寫成差分方程。因此需要對聲波方程（1）建立差分格式方程。將上述空間按照 做等間距剖分，以及時間用 做等間距剖分。分別對（1）式中的時間導數和空間導數做Taylor展開，可以得到關于時間導數做二階中心差分和空間導數做四階中心差分。

經過整理后可以得到，關于聲波方程（1）式的差分方程如下：

（2）

其中： 表示在第k時刻時，網格點（ i ， j）的波場振幅值。

2.2 邊界條件

本文在進行數值計算模擬時，為了消除或削弱因計算邊界而引起的邊界反射，所采用的邊界條件是Reynolds[6]在1978年通過對聲波方程分解得到的透明邊界條件，如下各式：

上邊界條件為：

（3）

下邊界條件為：

（4）

左邊界條件為：

（5）

右邊界條件為：

（6）

以上各式中： 。

同樣，對上式中的各偏導數對應的做Taylor展開，可以得到對應的差分格式方程為：

上邊界的差分格式：

（7）

下邊界的差分格式：

（8）

左邊界的差分格式：

（9）

右邊界的差分格式：

（10）

2.3 數值實驗

以上兩個小節給出了聲波方程和透明邊界條件的差分格式，下面我們將模擬一個，大小為1024m×1024m，波傳播速度v= 3000m/s的均勻介質模型。模擬時的空間采樣間隔為 ，時間采樣間隔為 ，使用的子波震源函數為：

（11）

上式中： 為子波主頻， 為延遲因子， 為衰減因子。

實驗時，我們取： ， ， 。

模擬計算的波場快照如下圖1所示：

圖1 均勻模型不同時刻的波場快照

Fig.1Snapshot of wave field in inhomogeneous model in different time.

從圖1中（a），（b），（c）和（d）分別是在50 ms，100 ms，150 ms和250 ms的波場快照。從圖中可以清晰的看到波場從50ms傳播到150ms波場以圓向外傳播，到達250ms時刻時波場已經傳播到邊界，這時波場有一部分波穿透邊界條件沒有反彈回來，而剩下一部分被反彈。

3 模擬計算

從圖1可以看到，當波傳播到模型邊界時，很明顯有反射的存在，也就是透明邊界條件下的模型邊界的地震波有明顯的反射，這也就正如在前言中講的“透明邊界”，實際上并不能真正的做到完全透明，當地震波傳播到邊界時，還有一部分反射，而這個反射波有多大，又與什么因素有關？即透明邊界的透明度及其影響因素。這正是本節需要研究討論的。endprint

為了更好的說明透明邊界的透明度，筆者打算從以下兩個方面研究討論，一方面是模型不同介質對透明度的影響；另一方面是不同頻率下的波對透明度的影響。

3.1 介質對透明度的影響

為了說明對于不同介質模型對透明邊界條件透明度的影響，因此筆者選用了三種介質模型，對透明邊界的透明度的研究討論，三種介質分別是：空氣、水和巖石。為了保證模擬實驗的可靠性，在實驗時除了波在不同介質中的傳播速度不一樣以外，其他參數均一樣。數值模擬計算是在模型大小為1024m×1024m的空間中進行，其中在空氣中的聲波速度為v=340m/s，水中的聲波速度為v=1500m/s，在巖石中的波傳播速度為v=4500m/s，模擬時采用的空間采樣間隔為 ，時間采樣間隔為 ，選用的震源子波函數為（11）式，子波主頻 ，震源坐標位置為（160m，512 m）。

使用上述有限差分數值模擬法，以上三種介質模型的模擬快照結果，如下圖2所示。

圖2不同介質模型的波場快照

Fig.2 Snapshot of wave field in the different medium model.

從圖2中能夠很清楚的看到，當地震波傳播到邊界時有一部分波穿過透明邊界，但是明顯的還有一部分反射波。而且反射波相對直達波的強弱是不一樣的，也就是說不同介質的模型的透明度是不一樣的。從反射波的能量來看，很顯然空氣介質下透明邊界條件的透明度是最差的，透明邊界條件的透明度最好的是在巖石介質模型時，而水介質條件下的透明邊界條件的透明度介于空氣和巖石之間。表明在本實驗的速度變化范圍之內，波速越高，邊界條件的透明度也好。

3.2 頻率對透明度的影響

從上一節我們看到，在不同的介質的模型條件下的透明邊界條件的透明度是不一樣的。而在這一節將討論不同頻率對透明邊界條件透明度的影響。

為了更好的說明實驗結果，采用的模型是上一節中的介質模型中的水介質（如下圖3中（A）所示），模型空間大小為1024m×1024m，波傳播速度為v=1500m/s，模擬時采用的空間采樣間隔、時間采樣間隔以及所選用的震源子波函數均與3.1節所采用的一樣，其中S1點為震源，其坐標位置為 ，模擬時間長度250 ms。數值模擬實驗時采用的頻率從5Hz到150Hz，每隔5Hz取一個頻率值進行實驗，總共31次實驗。

圖3 水介質模型

Fig.3 Water medium for the model.

要想得到透明邊界條件的透明度，我們只能夠通過反射波來得到透明邊界條件的透明度。因此，要想得到不同頻率對透明邊界條件的透明度的影響，那就需要先得到一個純反射波。我們在進行的31次數值實驗的時候，記錄下了源點的震動情況，此時得到的記錄既含有反射波，又含有反射波。因此為了得到一個純反射波記錄，我們需要剔除直達波。實際上要剔除直達波只需要用含有反射波和直達波的記錄減去對應的直達波就可以了。因此我們為了得到一個只含有直達波的記錄，做了另外一組數值模擬實驗，實驗使用的模型及參數和上面的參數一樣，只是將震源點放在了模型S2 點（如圖3中（B）所示），這樣保證了在模擬的250 ms內，反射波不能到達記錄點，此時得到的記錄就只含有直達波，用既含有反射波又含有直達波的記錄減去只含有直達波的記錄就得到了一個純反射波。具體處理方法如圖4所示。

圖4 a為只含有直達波，b為即含有直達波又含有反射波，c為a-b只含有反射波

Fig.4 ‘a contains direction and reflection wave， ‘b is the only contain direction waveand ‘c is the ‘a-‘b and only reflection wave.

圖4是在頻率 情況下，得到的記錄。其中圖4中a是既含有反射波又含有直達波的記錄，b是只含有直達波的記錄，用a減去b就得到了圖4中的c只含有反射波的記錄。我們將從圖4中的c反射波，提取出不同頻率下的反射波的最大值，最終可以得到31次實驗的反射波的最大值，繪成曲線如下圖5所示。

圖5不同頻率成分對透明度影響

Fig.5 Effect of different frequency component of transparency.

從圖5可以看到，不同頻率對透明邊界條件的透明度是有一定影響。從曲線上看，在低頻時透明度相對更好，當頻率增大時，透明度很明顯的相對降低。當頻率大于40Hz透明度呈線性減弱的趨勢。

4 結 論

本文通過對波動方程有限差分法正演模擬時所采用的透明邊界條件的透明度分析討論，得到如下結論：（1）透明邊界條件對人工邊界能起到較好的吸收效果；（2）不同介質的模型對透明邊界條件的透明度有一定的影響，實驗采用三種介質模型模擬，結果得到：聲波在空氣中傳播時透明邊界條件的透明度最差，在巖石中傳播時透明邊界條件的透明度最好，在水中傳播的透明度介于空氣和水之間；（3）不同頻率成分對透明邊界條件的透明度有一定影響，從實驗結果曲線來看，低頻時透明度相對更好，當頻率增大時，透明度很顯然相對降低。當頻率大于40Hz透明度呈線性減弱趨勢。然而，從實驗結果來看，在進行數值實驗時需要選擇好模擬參數，以求得更好的模擬結果。

參考文獻

[1] 佘德平.波場數值模擬技術[J].勘探地球物理進展.2004；27（1）.

[2] 李信富，李小凡，張美根.地震波數值模擬方法研究綜述[J].防災減災工程學報.2007.05：241-248.

[3] 裴正林，牟永光.地震波傳播數值模擬[J].地球物理學進展.2004.

[4] 常旭，劉伊克.地震正反演與成像[M].北京：華文出版社.2001.

[5] 江玉樂，雷宛等.地球物理數據處理教程[M].北京：地質出版社.2006.

[6]Reynolds.A.C.Boundaryconditionsforthenumericalsolutionofwavepropagationproblems [J].Geophysics.1978；43（6）.

[7] 田力，余嘉順，唐紅.封閉空間聲場的計算機仿真初步研究[J].計算機科學，2003.endprint

為了更好的說明透明邊界的透明度，筆者打算從以下兩個方面研究討論，一方面是模型不同介質對透明度的影響；另一方面是不同頻率下的波對透明度的影響。

3.1 介質對透明度的影響

為了說明對于不同介質模型對透明邊界條件透明度的影響，因此筆者選用了三種介質模型，對透明邊界的透明度的研究討論，三種介質分別是：空氣、水和巖石。為了保證模擬實驗的可靠性，在實驗時除了波在不同介質中的傳播速度不一樣以外，其他參數均一樣。數值模擬計算是在模型大小為1024m×1024m的空間中進行，其中在空氣中的聲波速度為v=340m/s，水中的聲波速度為v=1500m/s，在巖石中的波傳播速度為v=4500m/s，模擬時采用的空間采樣間隔為 ，時間采樣間隔為 ，選用的震源子波函數為（11）式，子波主頻 ，震源坐標位置為（160m，512 m）。

使用上述有限差分數值模擬法，以上三種介質模型的模擬快照結果，如下圖2所示。

圖2不同介質模型的波場快照

Fig.2 Snapshot of wave field in the different medium model.

從圖2中能夠很清楚的看到，當地震波傳播到邊界時有一部分波穿過透明邊界，但是明顯的還有一部分反射波。而且反射波相對直達波的強弱是不一樣的，也就是說不同介質的模型的透明度是不一樣的。從反射波的能量來看，很顯然空氣介質下透明邊界條件的透明度是最差的，透明邊界條件的透明度最好的是在巖石介質模型時，而水介質條件下的透明邊界條件的透明度介于空氣和巖石之間。表明在本實驗的速度變化范圍之內，波速越高，邊界條件的透明度也好。

3.2 頻率對透明度的影響

從上一節我們看到，在不同的介質的模型條件下的透明邊界條件的透明度是不一樣的。而在這一節將討論不同頻率對透明邊界條件透明度的影響。

為了更好的說明實驗結果，采用的模型是上一節中的介質模型中的水介質（如下圖3中（A）所示），模型空間大小為1024m×1024m，波傳播速度為v=1500m/s，模擬時采用的空間采樣間隔、時間采樣間隔以及所選用的震源子波函數均與3.1節所采用的一樣，其中S1點為震源，其坐標位置為 ，模擬時間長度250 ms。數值模擬實驗時采用的頻率從5Hz到150Hz，每隔5Hz取一個頻率值進行實驗，總共31次實驗。

圖3 水介質模型

Fig.3 Water medium for the model.

要想得到透明邊界條件的透明度，我們只能夠通過反射波來得到透明邊界條件的透明度。因此，要想得到不同頻率對透明邊界條件的透明度的影響，那就需要先得到一個純反射波。我們在進行的31次數值實驗的時候，記錄下了源點的震動情況，此時得到的記錄既含有反射波，又含有反射波。因此為了得到一個純反射波記錄，我們需要剔除直達波。實際上要剔除直達波只需要用含有反射波和直達波的記錄減去對應的直達波就可以了。因此我們為了得到一個只含有直達波的記錄，做了另外一組數值模擬實驗，實驗使用的模型及參數和上面的參數一樣，只是將震源點放在了模型S2 點（如圖3中（B）所示），這樣保證了在模擬的250 ms內，反射波不能到達記錄點，此時得到的記錄就只含有直達波，用既含有反射波又含有直達波的記錄減去只含有直達波的記錄就得到了一個純反射波。具體處理方法如圖4所示。

圖4 a為只含有直達波，b為即含有直達波又含有反射波，c為a-b只含有反射波

Fig.4 ‘a contains direction and reflection wave， ‘b is the only contain direction waveand ‘c is the ‘a-‘b and only reflection wave.

圖4是在頻率 情況下，得到的記錄。其中圖4中a是既含有反射波又含有直達波的記錄，b是只含有直達波的記錄，用a減去b就得到了圖4中的c只含有反射波的記錄。我們將從圖4中的c反射波，提取出不同頻率下的反射波的最大值，最終可以得到31次實驗的反射波的最大值，繪成曲線如下圖5所示。

圖5不同頻率成分對透明度影響

Fig.5 Effect of different frequency component of transparency.

從圖5可以看到，不同頻率對透明邊界條件的透明度是有一定影響。從曲線上看，在低頻時透明度相對更好，當頻率增大時，透明度很明顯的相對降低。當頻率大于40Hz透明度呈線性減弱的趨勢。

4 結 論

本文通過對波動方程有限差分法正演模擬時所采用的透明邊界條件的透明度分析討論，得到如下結論：（1）透明邊界條件對人工邊界能起到較好的吸收效果；（2）不同介質的模型對透明邊界條件的透明度有一定的影響，實驗采用三種介質模型模擬，結果得到：聲波在空氣中傳播時透明邊界條件的透明度最差，在巖石中傳播時透明邊界條件的透明度最好，在水中傳播的透明度介于空氣和水之間；（3）不同頻率成分對透明邊界條件的透明度有一定影響，從實驗結果曲線來看，低頻時透明度相對更好，當頻率增大時，透明度很顯然相對降低。當頻率大于40Hz透明度呈線性減弱趨勢。然而，從實驗結果來看，在進行數值實驗時需要選擇好模擬參數，以求得更好的模擬結果。

參考文獻

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[7] 田力，余嘉順，唐紅.封閉空間聲場的計算機仿真初步研究[J].計算機科學，2003.endprint

為了更好的說明透明邊界的透明度，筆者打算從以下兩個方面研究討論，一方面是模型不同介質對透明度的影響；另一方面是不同頻率下的波對透明度的影響。

3.1 介質對透明度的影響

為了說明對于不同介質模型對透明邊界條件透明度的影響，因此筆者選用了三種介質模型，對透明邊界的透明度的研究討論，三種介質分別是：空氣、水和巖石。為了保證模擬實驗的可靠性，在實驗時除了波在不同介質中的傳播速度不一樣以外，其他參數均一樣。數值模擬計算是在模型大小為1024m×1024m的空間中進行，其中在空氣中的聲波速度為v=340m/s，水中的聲波速度為v=1500m/s，在巖石中的波傳播速度為v=4500m/s，模擬時采用的空間采樣間隔為 ，時間采樣間隔為 ，選用的震源子波函數為（11）式，子波主頻 ，震源坐標位置為（160m，512 m）。

使用上述有限差分數值模擬法，以上三種介質模型的模擬快照結果，如下圖2所示。

圖2不同介質模型的波場快照

Fig.2 Snapshot of wave field in the different medium model.

從圖2中能夠很清楚的看到，當地震波傳播到邊界時有一部分波穿過透明邊界，但是明顯的還有一部分反射波。而且反射波相對直達波的強弱是不一樣的，也就是說不同介質的模型的透明度是不一樣的。從反射波的能量來看，很顯然空氣介質下透明邊界條件的透明度是最差的，透明邊界條件的透明度最好的是在巖石介質模型時，而水介質條件下的透明邊界條件的透明度介于空氣和巖石之間。表明在本實驗的速度變化范圍之內，波速越高，邊界條件的透明度也好。

3.2 頻率對透明度的影響

從上一節我們看到，在不同的介質的模型條件下的透明邊界條件的透明度是不一樣的。而在這一節將討論不同頻率對透明邊界條件透明度的影響。

為了更好的說明實驗結果，采用的模型是上一節中的介質模型中的水介質（如下圖3中（A）所示），模型空間大小為1024m×1024m，波傳播速度為v=1500m/s，模擬時采用的空間采樣間隔、時間采樣間隔以及所選用的震源子波函數均與3.1節所采用的一樣，其中S1點為震源，其坐標位置為 ，模擬時間長度250 ms。數值模擬實驗時采用的頻率從5Hz到150Hz，每隔5Hz取一個頻率值進行實驗，總共31次實驗。

圖3 水介質模型

Fig.3 Water medium for the model.

要想得到透明邊界條件的透明度，我們只能夠通過反射波來得到透明邊界條件的透明度。因此，要想得到不同頻率對透明邊界條件的透明度的影響，那就需要先得到一個純反射波。我們在進行的31次數值實驗的時候，記錄下了源點的震動情況，此時得到的記錄既含有反射波，又含有反射波。因此為了得到一個純反射波記錄，我們需要剔除直達波。實際上要剔除直達波只需要用含有反射波和直達波的記錄減去對應的直達波就可以了。因此我們為了得到一個只含有直達波的記錄，做了另外一組數值模擬實驗，實驗使用的模型及參數和上面的參數一樣，只是將震源點放在了模型S2 點（如圖3中（B）所示），這樣保證了在模擬的250 ms內，反射波不能到達記錄點，此時得到的記錄就只含有直達波，用既含有反射波又含有直達波的記錄減去只含有直達波的記錄就得到了一個純反射波。具體處理方法如圖4所示。

圖4 a為只含有直達波，b為即含有直達波又含有反射波，c為a-b只含有反射波

Fig.4 ‘a contains direction and reflection wave， ‘b is the only contain direction waveand ‘c is the ‘a-‘b and only reflection wave.

圖4是在頻率 情況下，得到的記錄。其中圖4中a是既含有反射波又含有直達波的記錄，b是只含有直達波的記錄，用a減去b就得到了圖4中的c只含有反射波的記錄。我們將從圖4中的c反射波，提取出不同頻率下的反射波的最大值，最終可以得到31次實驗的反射波的最大值，繪成曲線如下圖5所示。

圖5不同頻率成分對透明度影響

Fig.5 Effect of different frequency component of transparency.

從圖5可以看到，不同頻率對透明邊界條件的透明度是有一定影響。從曲線上看，在低頻時透明度相對更好，當頻率增大時，透明度很明顯的相對降低。當頻率大于40Hz透明度呈線性減弱的趨勢。

4 結 論

本文通過對波動方程有限差分法正演模擬時所采用的透明邊界條件的透明度分析討論，得到如下結論：（1）透明邊界條件對人工邊界能起到較好的吸收效果；（2）不同介質的模型對透明邊界條件的透明度有一定的影響，實驗采用三種介質模型模擬，結果得到：聲波在空氣中傳播時透明邊界條件的透明度最差，在巖石中傳播時透明邊界條件的透明度最好，在水中傳播的透明度介于空氣和水之間；（3）不同頻率成分對透明邊界條件的透明度有一定影響，從實驗結果曲線來看，低頻時透明度相對更好，當頻率增大時，透明度很顯然相對降低。當頻率大于40Hz透明度呈線性減弱趨勢。然而，從實驗結果來看，在進行數值實驗時需要選擇好模擬參數，以求得更好的模擬結果。

參考文獻

[1] 佘德平.波場數值模擬技術[J].勘探地球物理進展.2004；27（1）.

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[6]Reynolds.A.C.Boundaryconditionsforthenumericalsolutionofwavepropagationproblems [J].Geophysics.1978；43（6）.

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