小車吊重系統(tǒng)動力學(xué)模型與仿真

王銀安

（上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院，中國上海201306）

0 引言

橋式起重機(jī)廣泛應(yīng)用于碼頭、電廠等各個領(lǐng)域，是一種重要的裝卸作業(yè)機(jī)械。然而起重機(jī)在作業(yè)過程中會受到風(fēng) 力、摩擦力等外界因素以及小車加減速的影響，會引起的吊重的擺動。吊重防搖控制系統(tǒng)是現(xiàn)代起重機(jī)的重要組成部分。一個好的防搖控制系統(tǒng)對提高工作生產(chǎn)效率和減少安全生產(chǎn)隱患具有重大意義[2]。

起重機(jī)在工作時，電機(jī)牽引小車在橋架軌道上運(yùn)動，小車和吊重之間通過柔性鋼絲繩進(jìn)行連接，并隨小車的運(yùn)動而運(yùn)動，可類似看作單擺運(yùn)動。由于單擺運(yùn)動本身就是一個非線性系統(tǒng)，再加上固定點(diǎn)不斷的加減速，這就使系統(tǒng)變得更加復(fù)雜，難以獲得精確的數(shù)學(xué)模型。本文以實(shí)用性和準(zhǔn)確性為出發(fā)點(diǎn)，并根據(jù)起重機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過分析力學(xué)中的拉格朗日方程來建立小車-吊重系統(tǒng)的簡化動力學(xué)模型，該模型能很好的反應(yīng)小車-吊重系統(tǒng)的動力學(xué)特征，同時該模型易于分析及計算機(jī)仿真，便于工程應(yīng)用。

1 小車-吊重系統(tǒng)簡化模型建立

1.1 幾何模型與簡化

實(shí)際起重機(jī)模型系統(tǒng)比較復(fù)雜，為了分析其運(yùn)動特性，可以對其作如下假設(shè)和簡化處理：只考慮小車吊重的橫向擺動且擺角較小；鋼絲繩的質(zhì)量以及長度變化可以忽略不計；不計空氣阻力、風(fēng)力以及小車和軌道之間的摩擦力[3]。

圖1為簡化的小車吊重系統(tǒng)幾何模型，小車質(zhì)量為M，吊重質(zhì)量為m，小車和吊重的坐標(biāo)分別為(xM,yM)和（xm，ym）,l為鋼絲繩長，以力F方向?yàn)閤軸正向，垂直地面向下為y軸正向，建立直角坐標(biāo)系，擺角為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。

圖1 小車-吊重系統(tǒng)幾何模型

1.2 基于拉格朗日的動力學(xué)建模

拉格朗日方程[1]是從能量的觀點(diǎn)建立起來的運(yùn)動方程，在建立系統(tǒng)運(yùn)動方程時，只需分析系統(tǒng)的動能和廣義力，因此可以大大簡化建模過程。拉格朗日方程為：

其中，L為拉格朗日算子，T為系統(tǒng)的動能函數(shù)，V為系統(tǒng)的勢能函數(shù)，qi為系統(tǒng)廣義變量，fi為系統(tǒng)廣義外力。

如圖1，小車和吊重的水平和垂直位移分量表示為：

小車和吊重的速度分量為:

系統(tǒng)的動能為：

設(shè)初始位置繩長為h，則系統(tǒng)的勢能為：

系統(tǒng)的拉格朗日算子為：

在q（t）=0（t）廣義坐標(biāo)下，由于不計空氣阻力和風(fēng)力，并且忽略鋼絲繩與小車連接處的摩擦力，故Fθ=0。于是：精簡化，系統(tǒng)的拉格朗日方程為：

1.3 操作點(diǎn)附近的線性方程

考慮到實(shí)際情況，在小車水平運(yùn)動過程中，可以忽略垂直方向的繩長變化，即假定；在操作點(diǎn) θ=0 附近，θ 只有很小的變化，可以假定 sinθ=θ，cosθ=1。 故式（11）的非線性方程可簡化為：

2 小車-吊重系統(tǒng)動態(tài)仿真

2.1 伺服電機(jī)的啟動特性

本文伺服系統(tǒng)通過位置指令對電機(jī)進(jìn)行控制，該指令設(shè)定電機(jī)啟動由零轉(zhuǎn)速達(dá)到設(shè)定轉(zhuǎn)速為直線加減速的方式。伺服驅(qū)動器的時間常數(shù)設(shè)定為3ms，伺服電機(jī)的啟動特性[4]如下圖2所示：

圖2 伺服電機(jī)啟動特性

鑒于伺服電機(jī)的快速響應(yīng)特性，我們可以把電機(jī)的啟動過程看作理想系統(tǒng)，把伺服電機(jī)看作慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：

2.2 仿真方法和仿真結(jié)果

本文采用MATLAB中的Simulink模塊進(jìn)行建模[5]，實(shí)現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)的仿真與分析。動態(tài)仿真的目的是分析小車加速度和吊重繩長對擺角的影響規(guī)律，因此分別按不同的小車速度和繩長組合起來進(jìn)行小車-吊重系統(tǒng)的動態(tài)仿真。

1）繩長對吊重擺角的影響。在給定速度V=0.2m/s情況下，設(shè)吊重繩長分別為 L=0.2m，0.3m，0.4m，進(jìn)行動態(tài)仿真。 根據(jù)仿真結(jié)果繪制的吊重擺角曲線如圖3所示：

圖3 繩長與吊重擺角的關(guān)系

由圖3知：當(dāng)電機(jī)啟動時，小車處于加速狀態(tài)，吊重擺動滯后，具有較大的負(fù)擺角，當(dāng)給定速度信號降為零時，小車處于減速狀態(tài)，吊重以較大的擺角向前運(yùn)動。當(dāng)小車勻速運(yùn)動或運(yùn)動后處于靜止?fàn)顟B(tài)時，小車作自由振動。吊重擺角的大小受繩長的影響相對較小，而吊重擺陣的頻率隨繩長L的增加而減小。

2）小車設(shè)定速度對吊重擺角的影響。由伺服電機(jī)的啟動特性知，小車設(shè)定速度越大，電機(jī)啟動時小車加速度越大。給定繩長L=0.4m，設(shè)小車設(shè)定速度分別為 0.1m/s，0.2m/s，0.3m/s，進(jìn)行動態(tài)仿真。 吊重擺陣角度曲線如圖4所示：

圖4 小車設(shè)定速度與擺角關(guān)系曲線

由仿真結(jié)果知：吊重擺動角度大小受小車加速度影響較大，并隨小車加速度的增加而增大，而吊重擺動頻率受小車加速度的影響相對較小。

3 結(jié)論

建立小車-吊重系統(tǒng)的動力學(xué)模型對吊重防搖擺控制方法的研究具有重大的意義。本文通過對小車-吊重系統(tǒng)動力學(xué)模型進(jìn)行計算機(jī)動態(tài)仿真，研究吊重繩長、小車加（減）速度和吊重擺動角度的關(guān)系，根據(jù)仿真結(jié)果，在防搖擺控制研究中應(yīng)著重考慮小車加（減）速度和吊重繩長兩個方面對吊重擺動角度的影響。

［1］Sirri Sunay Gurleyuk,Ozgur Bahadir,Yunus Turkkan.Improved Three-Step Input Shaping Control of Crane System[J].ISSN Issue 6,Volume 7,June 2008.

［2］吳宏智.集裝箱裝卸搬運(yùn)機(jī)械發(fā)展概況[J].物流技術(shù)，1994（5）.

［3］李偉.起重機(jī)載荷擺陣模型的簡化條件及誤差[J].山東建筑工程學(xué)院學(xué)報，1998,13（1）.

［4］田景良.橋式起重機(jī)構(gòu)造與檢修[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2008：78-89.

［5］王正林，王勝開，陳國順.MATLAB/Simulink 與控制系統(tǒng)仿真[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.