圓錐曲線的妙用

趙金榮

摘 要：圓錐曲線是指使用平面切割椎體而形成的曲線，包括橢圓、拋物線和雙曲線等，早在古希臘，人們就已經(jīng)開始學(xué)會(huì)使用雙曲線解決問題。圓錐曲線在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛，本文從這個(gè)角度入手，利用幾個(gè)實(shí)例，讓大家體會(huì)圓柱曲線的妙處所在.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；橢圓；雙曲線；拋物線

圓錐曲線是指使用平面切割椎體而形成的曲線，包括橢圓、拋物線和雙曲線等，早在古希臘，人們就已經(jīng)開始學(xué)會(huì)使用雙曲線解決問題。John Lighton Synge（1897-1987）說過，開普勒通過分析天文觀測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)了，而牛頓則是使用數(shù)學(xué)方法證明了。行星的運(yùn)行軌跡是橢圓。從某種意義上可以說，是因?yàn)閷?duì)圓錐曲線的使用，使得古希臘的幾何學(xué)變成了當(dāng)代天文學(xué)的基礎(chǔ)。

在本文中，我們要利用學(xué)生們學(xué)習(xí)的有關(guān)圓錐曲線的分析幾何學(xué)知識(shí)，給大家介紹一些實(shí)例，用來幫助學(xué)生更深入地了解數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活，高于生活，又用來為生活和科學(xué)服務(wù)的實(shí)質(zhì)。雖然圓錐曲線首先是由古希臘人確定的，本文中我們將會(huì)使用大家熟知的x-y直角坐標(biāo)系以及與之相聯(lián)系的代數(shù)方法來研究這些曲線。

最早發(fā)現(xiàn)和研究錐形曲線的數(shù)學(xué)家之一是希臘數(shù)學(xué)家Menaechmus（大約公元前380-320年），他是亞歷山大大帝的導(dǎo)師之一。十七世紀(jì)前，圓錐截面僅作為純數(shù)學(xué)的一部分被研究。到了十七世紀(jì)，世界各地，尤其是歐洲，科學(xué)技術(shù)得到了迅猛發(fā)展，生產(chǎn)力獲得了極大的提高，當(dāng)時(shí)的歐洲，無論是在鋼鐵冶煉、機(jī)械制造、天象觀測(cè)、槍炮制造還是遠(yuǎn)洋航海，等等，都對(duì)數(shù)學(xué)提出了急待解決的問題。人們發(fā)現(xiàn)，在使用數(shù)學(xué)知識(shí)表達(dá)一些最重要的自然界規(guī)律時(shí)，使用圓錐截面非常關(guān)鍵。這些發(fā)現(xiàn)主要是由當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家J.L.Synge做出的。

本文中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一些使用圓錐曲線的例子，體會(huì)圓錐曲線在科學(xué)和生活各方面的奇妙的用途其中包括：

無線電望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)

拱橋的設(shè)計(jì)

彗星或行星的軌道分析（11.4中的例題7）

不需要全球定位系統(tǒng)確定地球上的一個(gè)位置（11.5的課題）

本文還會(huì)給出一些課本上沒有的知識(shí)，用來擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面，提升大家的學(xué)習(xí)興趣，并為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)提供一些支撐。我們就來看幾個(gè)類似的小課題及知識(shí)補(bǔ)充。

1 橢圓的周長(zhǎng)

大家都知道，一個(gè)半徑為a的圓的周長(zhǎng)能用一個(gè)非常簡(jiǎn)單的表達(dá)式表示，即 。然而，卻沒有一個(gè)類似的基本表達(dá)式可以用來表示一個(gè)橢圓的周長(zhǎng)。（一個(gè)橢圓的周長(zhǎng)使用微積分能夠計(jì)算出來，這種方法得到的數(shù)值，想要具有多少位小數(shù)都可以得到。）雖然如此，一些非常有趣的基本公式也能夠使得我們可以相當(dāng)精確地估測(cè)一個(gè)橢圓的周長(zhǎng)。下面的表格中給出了四個(gè)這樣的公式，以及它們的發(fā)現(xiàn)者的名字，發(fā)明公式的大體時(shí)間。每個(gè)公式都能夠得到一個(gè)形如 的橢圓的周長(zhǎng)的近似值。

2 雙曲線的妙用

橢圓是任意一個(gè)閉合軌道的普遍形狀。。。天體的運(yùn)行軌道還可能是一個(gè)不閉合的形式，這類軌道的形狀用開放的曲線表示。即使兩個(gè)物體彼此之間沒有通過彼此的重力綁在一起，彼此之間的重力吸引對(duì)其彼此的相對(duì)運(yùn)動(dòng)也有影響。它們的軌道的一般形式就是雙曲線。—Theodore P.Snow在《宇宙動(dòng)力學(xué)：天文學(xué)簡(jiǎn)介》中說過。可以看出，雙曲線在天文學(xué)上的應(yīng)用，在這里我們給出一個(gè)更加接地氣的問題，需要利用雙曲線知識(shí)解決，即不需要全球定位系統(tǒng)確定地球上的一個(gè)位置。

一個(gè)軍隊(duì)的基地位于一個(gè)x-y直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O。一個(gè)士兵位于P點(diǎn)需要確定他相對(duì)于軍隊(duì)基地的坐標(biāo)，但是他沒有全球定位系統(tǒng)。然而，他與基地附近的幾個(gè)小鎮(zhèn)有無線電聯(lián)系。如圖I所示，其中的兩個(gè)小鎮(zhèn)是A和B。小鎮(zhèn)A在基地南面6英里處；小鎮(zhèn)B位于基地的北邊6英里處。在同一時(shí)間，兩個(gè)小鎮(zhèn)同時(shí)發(fā)送相同的無線電信號(hào)。這個(gè)士兵收到B鎮(zhèn)的信號(hào)比A鎮(zhèn)的信號(hào)稍微早一些，所以他知道他離著B鎮(zhèn)比離A鎮(zhèn)近一些兒。另外，通過測(cè)量收到的兩個(gè)信號(hào)的時(shí)間差，這個(gè)士兵能夠計(jì)算出他離B鎮(zhèn)比離A鎮(zhèn)僅8英里。

在這里可以讓學(xué)生組成小組，利用所需雙曲線的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，并用清晰易懂的語言解釋一下為什么點(diǎn)P必須要位于雙曲線的某一個(gè)分支上，并能夠找到這個(gè)雙曲線的方程。

接下來，這個(gè)士兵按照相同的方式使用小鎮(zhèn)C和D，如圖II所示。鎮(zhèn)C在基地的西方19英里處；鎮(zhèn)D位于基地東方15英里處。這個(gè)士兵計(jì)算出他離鎮(zhèn)D比離鎮(zhèn)C要近16英里。在這里，也可以讓學(xué)生使用這些信息，解釋為什么點(diǎn)P必須要位于另一條雙曲線上，然后確定其方程。

建議學(xué)生在課余時(shí)間學(xué)會(huì)使用使用繪圖軟件，并嘗試使用繪圖軟件繪制出兩條拋物線，計(jì)算出兩雙曲線的交點(diǎn)相對(duì)于這個(gè)士兵所在的位置的的坐標(biāo)，。接下來，使用代數(shù)方法得到坐標(biāo)的更精確的坐標(biāo)（正如10.6中所示）用以求出兩個(gè)雙曲線的相關(guān)交點(diǎn)。最后，使用計(jì)算器計(jì)算期近似值，每個(gè)坐標(biāo)四舍五入保留到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)。這樣的一個(gè)課題設(shè)置，能夠讓學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)與生活密切結(jié)合。

3 拋物線的用處

（一）建立拋物線

這個(gè)課題能夠告訴你如何畫出一條拋物線。按照說明，然后解釋為什么由此畫出的曲線的確是一條拋物線。除了一張紙、一支筆或氈筆，你還會(huì)需要下面的工具：

一個(gè)丁字尺和一個(gè)繪圖板或能夠很容易地把丁字尺從左到右沿水平路徑移動(dòng)的平面

一段帶子，與丁字尺的等長(zhǎng)（見圖A）

兩個(gè)圖釘

（參考圖B。）用大頭針把帶子的一段固定在畫板上的一點(diǎn)。把這個(gè)點(diǎn)叫做F。把帶子的另一個(gè)端點(diǎn)用大頭針固定在丁字尺的最右側(cè)，如圖B所示。現(xiàn)在，使用鉛筆或氈筆，按照下面的兩個(gè)約束條件水平移動(dòng)丁字尺：帶子必須用鉛筆拉緊，而鉛筆必須始終沿著丁字尺的邊緣移動(dòng)。鉛筆畫出的曲線將會(huì)是一條拋物線的一部分。（實(shí)際上，帶子的長(zhǎng)度應(yīng)該比丁字尺稍微長(zhǎng)一些而，因?yàn)橛幸徊糠值膸ё右粓D釘固定起來。）

在科學(xué)上，拋物線有大量的應(yīng)用。這些應(yīng)用中，很多都涉及到拋物面反射。下圖的圖C給出了一個(gè)望遠(yuǎn)鏡在紅拋物鏡面的截面圖。正如圖C中所示，光線從平行于拋物線的對(duì)稱軸方向射入，通過反射經(jīng)過焦點(diǎn)。而事實(shí)上，詞語“焦點(diǎn)”本就來源于意為“壁爐”的拉丁語。除了望遠(yuǎn)鏡和無線電望遠(yuǎn)鏡，拋物面反射器也被用于信息交流體系，例如衛(wèi)星電視信號(hào)的接受天線，監(jiān)視體系的接受天線，和機(jī)動(dòng)車的車燈也都是拋物面。

拋物線在工程學(xué)中的用途也極其廣泛，下面的拱橋的設(shè)計(jì)課題從某種程度上說明了這一點(diǎn).

（二）拱橋的設(shè)計(jì). 圖D給出了一座跨河橋。橋的拱門是一條拋物線，六條豎直的纜線幫助支撐著橋面，纜線以4米為間隔等距離隔開。圖E給出一個(gè)x-y直角坐標(biāo)系中這個(gè)拋物線拱的橫截面，使得拱的左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系的原點(diǎn)。如圖E所示，最遠(yuǎn)的纜線的長(zhǎng)是3.072米。確定這條拋物線的方程形式為 。然后，使用這個(gè)方程確定其他纜線的長(zhǎng)度，以及纜線離路面的最大的高度。

寓教于樂，使得學(xué)生習(xí)慣于把學(xué)習(xí)當(dāng)做樂趣，這是教學(xué)的最高目的.把課本上的枯燥乏味的知識(shí)與生動(dòng)活潑的現(xiàn)實(shí)問題結(jié)合，就能夠?qū)崿F(xiàn).

參考文獻(xiàn)

[1]Precalculus A Problem-Oriented Approach，Cohen，Lee，6ed，Thomson Learning，Inc.， 2005.