基于改進數(shù)學形態(tài)譜的齒輪箱軸承故障特征提取

高洪波，劉 杰，李允公

（1.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽110819；2.遼寧省交通高等專科學校機電工程系，遼寧 沈陽110122）

基于改進數(shù)學形態(tài)譜的齒輪箱軸承故障特征提取

高洪波1，2，劉 杰1，李允公1

（1.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽110819；2.遼寧省交通高等專科學校機電工程系，遼寧 沈陽110122）

特征提取是實現(xiàn)故障模式識別的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。針對傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)譜在計算速度及故障模式區(qū)分能力上的不足，將數(shù)學形態(tài)腐蝕運算引入到形態(tài)譜計算中，提出一種基于改進數(shù)學形態(tài)譜的特征提取方法，該方法可以表征信號不同分析尺度下的形態(tài)特征，進而區(qū)分信號所反映的運行狀態(tài)。引入仿真信號對該方法的有效性進行對比驗證，結(jié)果表明：與傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)譜相比，改進的數(shù)學形態(tài)譜可以有效地區(qū)分機械設(shè)備的不同故障狀態(tài)，穩(wěn)定性強、計算速度更快。在此基礎(chǔ)上對不同參數(shù)的影響效果進行了分析。最后，采用實測滾動軸承振動信號驗證了該方法在實際工程應(yīng)用中的有效性。

故障診斷；齒輪箱；滾動軸承；特征提取；數(shù)學形態(tài)譜

引 言

齒輪箱是機械設(shè)備中一種必不可少的連接和傳遞動力的通用零部件，廣泛應(yīng)用于航空、電力、農(nóng)業(yè)、運輸?shù)阮I(lǐng)域，滾動軸承是齒輪箱這一旋轉(zhuǎn)機械的基本組成部件，在正常工作條件下，由于受到載荷、安裝、潤滑條件等因素的影響，滾動軸承難免會發(fā)生各種類型的失效，直接影響到與之相關(guān)聯(lián)的軸以及安裝在轉(zhuǎn)軸上的齒輪的運行狀態(tài)，甚至會降低整臺機器設(shè)備的性能，據(jù)不完全統(tǒng)計，旋轉(zhuǎn)機械故障中有30%是由滾動軸承引起的［1］。因此，軸承故障的監(jiān)測與診斷一直是機械故障診斷領(lǐng)域中的研究熱點。

滾動軸承振動信號具有典型的非平穩(wěn)、非線性特征，如何從振動信號中提取出全面準確反映軸承運行狀態(tài)的故障特征至關(guān)重要［2］，較為常用的方法包 括時 域 特征 特 征提 取 法［3-4］、頻域 特 征提 取法［5］以及時頻域特征提取法［6］等。隨著研究的不斷深入，EMD分 解［7］、信 息 熵［8-9］、形態(tài)分形［10］等 理 論 也 被引入到該領(lǐng)域，取得了一些理想的效果。

數(shù)學形態(tài)顆粒分析是一種以數(shù)學形態(tài)學為基礎(chǔ)的多尺度分析方法，可以描述信號在不同尺度下的形狀變化 信息，易 于從不同 層次“剖 析”信 號的 本質(zhì)［11-12］，廣泛應(yīng)用于圖 像形 狀和 紋理 特征 描述、圖 像分割、圖像復原和 圖像 降噪 等領(lǐng) 域［13-14］，在機 械信 號的故障特征提取方面也有一些研究［15］，本文以數(shù)學形態(tài)顆粒分析為理論基礎(chǔ)，針對數(shù)學形態(tài)譜在計算速度及狀態(tài)區(qū)分上的不足，將形態(tài)腐蝕運算引入到形態(tài)譜計算中，提出一種基于改進數(shù)學形態(tài)譜的特征提取方法。構(gòu)造仿真信號，對比驗證該方法的優(yōu)越性，并對參數(shù)選取進行了分析。最后，以實測滾動軸承振動信號驗證該方法在實際工程應(yīng)用中的有效性。

1 數(shù)學形態(tài)譜相關(guān)理論

1.1 數(shù)學形態(tài)顆粒分析

數(shù)學形態(tài)顆粒分析（Mathematical Morphology Particle Analysis）是一種有效處理圖像粒度和形狀特征的方法，主要思想是利用不同尺寸和形狀的結(jié)構(gòu)元素處理圖像，認識并分析其內(nèi)部特征。

數(shù)學形態(tài)顆粒分析定義為一系列圖像Ψ= ｛ψλ｝λ≥0變 換 的集 合 ，其 中ψλ滿 足 以下 條 件［11］：

（1）ψλ是單調(diào)遞增的，即?λ≥0：X?Y?ψλ（X）≤ψλ（Y）

（2）ψλ是非外延的，即?λ≥0：ψλ（X）≤X

（3）?λ，μ≥0，滿足：ψμ（ψλ（X））=ψλ（ψμ（X））=ψmax（λ，μ）（X）

由于數(shù)學形態(tài)開運算滿足以上3個條件，因此，數(shù)學形態(tài)顆粒分析均以形態(tài)開運算為基礎(chǔ)。假設(shè)g為單位結(jié)構(gòu)元素，定義gλ為尺度λ下的結(jié)構(gòu)元素

式中 ⊕為數(shù)學形態(tài)膨脹運算。

則數(shù)學形態(tài)顆粒分析可定義為

式中 “°”為數(shù)學形態(tài)開運算。

1.2 數(shù)學形態(tài)譜

數(shù)學形態(tài)譜（PS，Pattern Spectrum）以數(shù)學形態(tài)顆粒分析為運算基礎(chǔ)，是一種反應(yīng)形態(tài)顆粒尺度分布的曲線。在一維信號分析中，數(shù)學形態(tài)譜可提取信號在不同尺度結(jié)構(gòu)元素下形狀的變化信息［16］。

假設(shè)f（n）為時域函數(shù)，g（m）為凸的結(jié)構(gòu)函數(shù)。f（n）的數(shù)學形態(tài)譜可由下式計算而得

式中λ指尺度大小，A（f）表示f在定義域內(nèi)的有限面積。當λ≥0時，為開運算形態(tài)譜，記為PS+（f，λ，g），當λ＜0時，為閉運算形態(tài)譜，記為PS-（f，λ，g）。因此，數(shù)學形態(tài)譜由正負兩區(qū)間構(gòu)成，其中正區(qū)間表示物體本身的結(jié)構(gòu)信息，負區(qū)間表示其背景信息，由于二者具有一致性，所以一般對形態(tài)譜的正區(qū)間即開運算形態(tài)譜進行研究，本文中如不作特殊說明，數(shù)學形態(tài)譜均指開運算形態(tài)譜。

對于一維離散信號，尺度大小只取連續(xù)的整數(shù)值，形態(tài)譜的定義可簡化為

由于形態(tài)開運算的非擴展性，離散信號的數(shù)學形態(tài)譜值為一組非負實數(shù)序列。

2 基于改進數(shù)學形態(tài)譜的特征提取

傳統(tǒng)的數(shù)學形態(tài)顆粒分析以形態(tài)開運算為基礎(chǔ)，筆者通過前期研究發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的數(shù)學形態(tài)譜在對不同故障模式進行區(qū)分時效果較差，針對此問題，將形態(tài)腐蝕運算推廣到數(shù)學形態(tài)學顆粒分析中，進而得到改進的數(shù)學形態(tài)譜（IPS，Improved Pattern Spectrum），以此為基礎(chǔ)，提出基于改進數(shù)學形態(tài)譜的特征提取方法。

2.1 改進數(shù)學形態(tài)譜（IPS）

將形態(tài)腐蝕運算應(yīng)用到數(shù)學形態(tài)顆粒分析中，得到改進的數(shù)學形態(tài)譜（IPS），計算方法如下：

假設(shè)f（n）為時域函數(shù)，g（m）為凸的結(jié)構(gòu)函數(shù)。f（n）的改進的數(shù)學形態(tài)譜定義為

式中λ指尺度大小，當λ≥0時，為廣義腐蝕運算形態(tài)譜，當λ＜0時，為廣義膨脹運算形態(tài)譜。由于腐蝕與膨脹運算具有一致性，所以本文廣義數(shù)學形態(tài)譜均指廣義腐蝕運算形態(tài)譜。由于一維離散信號的尺度大小只取連續(xù)的整數(shù)值，因此，離散的廣義數(shù)學形態(tài)譜可簡化為

與形態(tài)開運算相比，形態(tài)腐蝕運算亦具有非擴展性特點，因此，離散信號的改進數(shù)學形態(tài)譜值為一組非負實數(shù)序列。

2.2 基于IPS的特征提取流程

以前文所計算得IPS為基礎(chǔ)，提出一種基于IPS的特征提取方法，其計算流程如下（如圖1所示）：首先確定單位結(jié)構(gòu)元素以及最大分析尺度，然后對軸承振動信號進行多尺度形態(tài)腐蝕運算，得到不同尺度下的信號分析結(jié)果，根據(jù)公式（6），得到改進的數(shù)學形態(tài)譜。根據(jù)實際效果，選擇不同尺度下的譜值作為特征向量。

3 仿真分析

特征提取方法的關(guān)鍵就是所選取的特征能否對不同的故障特征具有穩(wěn)定的區(qū)分能力。本節(jié)以滾動軸承為研究對象，分析其仿真信號，對比驗證基于IPS的特征提取方法的有效性與優(yōu)越性。

圖1 特征提取方法流程Fig.1 The process of feature extraction method

滾動軸承是旋轉(zhuǎn)機械中的重要組成部件，當其在外圈、內(nèi)圈和滾動體等元件上發(fā)生漸變性磨損故障或表面損傷性故障［16］時，將會產(chǎn)生周期性的脈沖沖擊，從而引發(fā)振動信號的調(diào)制現(xiàn)象，表現(xiàn)為在共振頻率周圍出現(xiàn)等間隔的邊頻帶，間隔即為調(diào)制頻率，也即軸承的故障特征頻率［17］。根據(jù)滾動軸承的運行與故障機理，建立滾動軸承仿真信號模型［18］為：

式中α，fm，fc，T分別代表滾動軸承的指數(shù)頻率、調(diào)制頻率、載波頻率與采樣間隔。在本節(jié)的仿真分析中，α=800，fc=5 000 Hz，T=1/20 000 s，采樣時間為0.1 s，為了使仿真分析結(jié)果貼近實際，在仿真信號中加入適量高斯白噪聲，并分別取調(diào)制頻率參數(shù)fm為80，160和240 Hz，將其理解為滾動軸承內(nèi)圈、外圈和滾動體元件上的某個故障頻率［17］。3種不同調(diào)制頻率下的仿真時域圖如圖2所示。

3.1 有效性對比驗證

采用改進的數(shù)學形態(tài)譜方法分析仿真信號，單位結(jié)構(gòu)元素選擇扁平型結(jié)構(gòu)元素g=［0 0 0］，最大分析尺度為λmax=20，計算其IPS曲線，結(jié)果如圖3 （a）所示，其中IPS1-IPS3分別對應(yīng)fm=80，160，240 Hz時的改進數(shù)學形態(tài)譜曲線。可以看出，3條曲線均隨分析尺度的增大呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢，在分析尺度范圍內(nèi)具有良好的區(qū)分度，曲線位置由高到低分別為IPS3，IPS2，IPS1。圖3（b）用柱狀圖定量描述了3條曲線之間的差值序列，顯然，在分析尺度范圍內(nèi)，兩組差值序列均為負值，穩(wěn)定性較好。通過以上分析，改進的數(shù)學形態(tài)譜對于不同調(diào)制頻率的振動信號具有良好的區(qū)分能力。

圖2 不同調(diào)制頻率下的仿真信號時域圖Fig.2 Time domain figure for simulation signal in different modulation frequency

為了進行對比，采用傳統(tǒng)的數(shù)學形態(tài)譜按方法分析仿真信號，單位結(jié)構(gòu)元素與最大分析尺度均保持不變，3個仿真信號的PS曲線如圖4（a）所示，其中PS1-PS3分別對應(yīng)fm=80，160，240 Hz時的數(shù)學形態(tài)譜曲線。與圖3（a）對比可以看出，隨著分析尺度的增大，3條PS曲線并沒有一致的變化趨勢，而且呈現(xiàn)出上下波動，區(qū)分度較差。從圖4（b）所定量描述的曲線差值序列也可以看出，兩組差值并非同號，從而說明傳統(tǒng)的數(shù)學形態(tài)譜曲線并不能區(qū)分具有不同調(diào)制頻率的振動信號。

表1列出了兩種算法所耗用的CPU時間。試驗所采用的計算機配置為Intel Core i5-2400 CPU @3.10 Hz，內(nèi)存為4GB，計算機軟件為Matlab R2010b。可以看出改進的數(shù)學形態(tài)譜計算方法耗時短，略低于傳統(tǒng)方法的1/2，這是因為在傳統(tǒng)方法中，每進行一次形態(tài)開運算，均要執(zhí)行一次形態(tài)腐蝕和形態(tài)操作，而改進的方法只需執(zhí)行一次形態(tài)腐蝕操作，因此耗時大大降低，更適合應(yīng)用于在線診斷領(lǐng)域。

圖3 不同特征頻率的IPS曲線Fig.3 The IPS curve for different feature frequency

圖4 不同特征頻率的PS曲線Fig.4 The PS curve for different feature frequency

表1 兩種不同算法的CPU耗時Tab.1 CPU time cost for the two different algorithm

綜上所述，與傳統(tǒng)的數(shù)學形態(tài)譜分析方法相比，本文提出的改進的數(shù)學形態(tài)譜方法對于不同調(diào)制頻率的振動信號具有較好的區(qū)分能力，且穩(wěn)定性強，耗時短，作為特征向量提取方法是有效的。

3.2 參數(shù)影響分析

上節(jié)的分析驗證了IPS的優(yōu)越性，同時也發(fā)現(xiàn)了單位結(jié)構(gòu)元素g以及最大分析尺度λmax對IPS計算的重要性，針對此，本節(jié)分析兩個參數(shù)的影響。

3.2.1 單位結(jié)構(gòu)元素類型分析

圖5 不同大小的三角形結(jié)構(gòu)元素IPS曲線Fig.5 The IPS curve for different triangle structural elements

保持仿真信號和最大分析尺度不變，以常用的三角形結(jié)構(gòu)元素和直線形結(jié)構(gòu)元素為例進行對比分析。圖5描述了采用不同幅值的三角形結(jié)構(gòu)元素g的IPS曲線。可以看出，圖5（a）在分析尺度小于11時可以進行IPS曲線的區(qū)分，而圖5（b）則在分析尺度小于5時具有IPS曲線的區(qū)分度，當分析尺度大于5時，曲線基本重合，3條曲線幾乎沒有區(qū)分度。其原因在于三角形結(jié)構(gòu)元素在計算中對信號幅值產(chǎn)生影響，從而引起失真。因此，三角形單位結(jié)構(gòu)元素的幅值越大，IPS曲線的區(qū)分效果越來越差。

圖6描述了不同大小的直線形結(jié)構(gòu)元素的IPS曲線，可以看出，直線形結(jié)構(gòu)元素的大小并不會影響分析效果。因此，當確定單位結(jié)構(gòu)元素類型時，應(yīng)選用對效果影響較小的直線形結(jié)構(gòu)元素。為了減小計算量，降低結(jié)構(gòu)元素幅值對信號的影響，本文所采用的扁平形結(jié)構(gòu)元素g=［0 0 0］具有良好的效果。

圖6 不同大小的直線形結(jié)構(gòu)元素分析效果Fig.6 The analytical effect for different line structural elements

3.2.2 最大分析尺度分析

根據(jù)多尺度數(shù)學 形 態(tài) 學 的基本 原 理［19-20］，在 多尺度形態(tài)運算中，扁平形結(jié)構(gòu)元素的長度及最大分析尺度兩個參數(shù)對計算結(jié)果的影響效果是一致的，其本質(zhì)均是影響最大尺度的結(jié)構(gòu)元素長度。因此，本節(jié)重點對最大分析尺度λmax做定量分析。

圖7描述了當λmax=80時的IPS曲線分布情況。可以看出，隨著分析尺度的增大，IPS的變化趨勢保持不變。當λ＞66時，IPS曲線進入一個“穩(wěn)定區(qū)”，如圖7（b）所示，此時不同尺度的形態(tài)腐蝕運算相同，IPS取值不再發(fā)生變化。因此，為了增強特征提取的有效性，λmax的選取應(yīng)該避免進入“穩(wěn)定區(qū)”。為了減小計算量而又不失一般性，本文均選取λmax=20。

4 實測軸承信號分析

利用美國Case Western Reserve University［21］的軸承數(shù)據(jù)進行實例驗證。該試驗臺包含0，0.746，1.492，2.238 k W共4種載荷狀態(tài)下正常、內(nèi)環(huán)故障、外環(huán)故障和滾動體故障4種運行狀態(tài)。試驗軸承型號為SKF 6205，采樣頻率為12 000 Hz，故障為直徑7″的微小坑點。選用其中0.746 k W載荷下的4種運行狀態(tài)數(shù)據(jù)進行分析，每種運行狀態(tài)數(shù)據(jù)下采集6組樣本，每組樣本長度為12 000，每種運行狀態(tài)下的時域波形如圖8所示。

采用基于IPS的特征提取方法對實測樣本進行分析，單位結(jié)構(gòu)元素為g=［0，0，0］，最大分析尺度λmax=20。圖9顯示了24組樣本的IPS曲線分布情況。可以看出，不同運行狀態(tài)的樣本組之間具有良好的區(qū)分性。

圖8 4種滾動軸承運行狀態(tài)信號Fig.8 Four kinds of running state signals for rolling bearings

圖9 24組測試樣本的IPS曲線分布Fig.9 The IPS curve distribution for 24 groups of testing samples

圖10為其中一組典型樣本的IPS曲線。隨著分析尺度的增大，幅值逐漸減小，形態(tài)譜曲線呈現(xiàn)遞減趨勢。在分析尺度區(qū)間內(nèi)，外圈故障曲線取值最大，內(nèi)圈故障次之，正常狀態(tài)取值最小。相對而言，正常狀態(tài)與滾動體故障的區(qū)分度較小。與圖11所示的傳統(tǒng)數(shù)學形態(tài)譜方法相比，該方法具有明顯的優(yōu)越性。

圖10 典型測試樣本的IPS曲線Fig.10 The IPS curve for typical testing samples

圖11 典型測試樣本的PS曲線Fig.11 The PS curve for typical testing samples

在前文分析的基礎(chǔ)上，以不同尺度的IPS值組成各個運行狀態(tài)的19維特征向量，可將其運用于故障分類與模式識別中。以此方法對CWRU數(shù)據(jù)庫中其他載荷和采樣頻率下的軸承數(shù)據(jù)進行分析，均可以得到類似的效果，此處不再贅述。

5 結(jié) 論

本文在數(shù)學形態(tài)學顆粒分析的理論基礎(chǔ)上，對形態(tài)算子進行改進，得出一種改進數(shù)學形態(tài)譜的特征提取方法。本文的研究結(jié)果表明：

（1）與數(shù)學形態(tài)開運算相比，形態(tài)腐蝕運算具有不同的運算特性，因此改進的數(shù)學形態(tài)譜分析方法可以表征信號不同分析尺度下的形態(tài)特征，從而使得IPS在對設(shè)備的狀態(tài)描述上具有更好的效果。

（2）改進的數(shù)學形態(tài)譜能夠較好地區(qū)分滾動軸承不同的運行狀態(tài)，由于方法所涉及的參數(shù)較少，所以穩(wěn)定性較好。

（3）由于形態(tài)學運算只涉及簡單的加減運算，改進的數(shù)學形態(tài)譜計算方法中的循環(huán)迭代規(guī)則亦能夠快速收斂，因此筆者提出的特征提取方法計算代價小、效率高，可滿足實際工程需要。

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［21］The Case Western Reserve University.Bearing data center［EB/OL］.［2009-08-06］.http：//www.eecs. cwru.edu/laboratory/bearing.

圖7 最大分析尺度的影響效果
Fig.7 Impact effect of the biggest analytical scale

Fault feature extraction for gearbox bearing using improved pattern spectrum

GAO Hong-bo1，2，LIU Jie1，LI Yun-gong1
（1.School of Mechanical Engineering&Automation，Northeastern University，Shenyang 110819，China；2.Department of Electromechanical Engineering，Liaoning Provincial College of Communications，Shenyang 110122，China）

Feature extraction is the key point in fault diagnosis.In consideration of the disadvantages in calculating speed and faults diagnosis capability of traditional pattern spectrum，the morphological corrosion operation is brought in pattern spectrum analysis and a feature extraction approach based on the improved pattern spectrum is proposed in this paper，which can describe the signal′s morphological feature in different analysis scales，and further different working condition contained in the signal. Simulation results show that the proposed approach can distinguish different fault condition for mechanical equipment effectively，which has strong stability and fast calculating speed.On this basis，the influence of different parameters is also discussed. At last，the approach is applied to a rolling bearing data analysis which verifies its validity and feasibility.

fault diagnosis；gear box；rolling bearing；feature extraction；pattern spectrum

TH165+.3；TH133.33

A

：1004-4523（2015）05-0831-08

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.019

高洪波（1978—），女，博士研究生。電話：13889396719；E-mail：gaohongbo97@163.com

2014-08-06；

2015-01-09

國家自然科學基金資助項目（51275080）