非均質土體中群樁縱向振動的內外域模型解

劉林超，閆啟方，陳晴晴

（信陽師范學院土木工程學院，河南信陽464000）

非均質土體中群樁縱向振動的內外域模型解

劉林超，閆啟方，陳晴晴

（信陽師范學院土木工程學院，河南信陽464000）

考慮土體沿徑向的非均質特性，將樁周土體分為內域土和外域土兩部分。基于Novak薄層法分別求解了內域土和外域土的豎向振動。考慮內域土和外域土接觸面的連續性條件，求得了樁土豎向動力相互作用的等效Winkler彈簧-阻尼器模型的剛度系數和阻尼系數。根據土體豎向位移衰減函數和樁樁豎向動力相互作用因子的定義，考察了非均質土體的豎向位移衰減函數和非均質土體中樁樁豎向動力相互作用因子，進而研究了非均質土中群樁的豎向動力阻抗。研究表明，非均質土體的豎向位移衰減函數和非均質土中群樁的豎向振動可以退化到均質土的情形，忽略樁周土體沿徑向的非均質特性將導致土體豎向位移衰減函數偏小而群樁豎向動力阻抗偏大，樁周土體內外域剪切模量比和樁間距等對群樁豎向振動有較大的影響。

土動力學；群樁；縱向振動；衰減函數；剪切模量比

引 言

樁基礎在建筑工程基礎、橋梁工程基礎、動力機械基礎、高速鐵路基礎等眾多工程領域中有著較大的應用。由于樁基不但要承受靜力荷載的作用，通常還要承受縱向、水平和扭轉等各種形式動態激勵的作用，同時由于地震等隨機動態荷載的破壞性對建筑物樁基礎性能的影響非常大，近幾十年來關于樁基振動特性的研究越來越受到關注，并取得了很好的研究成果［1-6］，這些研究都是假設樁周土體為均質土，實際上這是一種理想化的情形。然而實際工程中所遇到的場地土一般都是成層非均質的，在振動中樁側土將會發生部分弱化而使其剛度降低［7］。對于土體狀態、力學性能或土工參數等隨深度或徑向發生變化的土體稱之為非均質土，當前主要從兩個方面來考慮樁周土體的非均質特性，一種是針對土體的豎向方向分層情況，如LU Shu-hui等［8］在考慮橫向慣性效應的情況下研究了層狀土中端承樁的動態響應，王玨等［9］通過在Winkler模型中引入描述地基土剪切效應的第二地基參數，采用初參數法和傳遞矩陣法得到了層狀地基中鄰樁的動力相互作用因子；另一種是考慮樁周土體沿徑向的非均質特性，由于樁周土的弱化區域相對有限，通常在大于5倍樁徑的區域后這種弱化就不十分明顯了。所以，目前針對徑向非均質土中樁基振動的研究時，在處理樁周土體時通常將樁周土劃分為內域土和外域土來處理，在內域土剪切模量的處理方面有兩種方法，一種是將內域土視為沿徑向的非線性土體，如Hans Vaziri［10］和Chau K T［11］等假定樁周土剪切模量沿徑向滿足雙曲本構關系對徑向非均質土中單樁振動進行了研究；另一種是較為常用的方法就是將內域土剪切模量也視為常量來處理，如周鐵橋等［12］研究了軸對稱徑向非均質土中樁的縱向振動特性，楊冬英等［13］在三維軸對稱條件下，基于連續介質模型進行了縱、徑雙向非均質土中樁的縱向動力特性研究。本文將考慮樁周土體沿徑向的非均質特性來研究非均質土體中群樁的縱向振動特性。

1 樁周非均質土層縱向振動求解

將圖1所示的樁基周圍的土介質視為由樁周弱化土組成的內域土和外圍土組成的外域土兩部分組成，內域土和外域土均為均質各向同性介質，且內域土的剪切模量比外域土的剪切模量小。假設樁長與土層厚度相等，都為H，樁身半徑為r0，內域土半徑為r1，G1和ρ1分別為外域土體的剪切模量和密度，ξ1為外域土體的粘滯阻尼系數，w1為外域土體z方向的位移分量，G2和ρ2分別為內域土體的剪切模量和密度，ξ2為內域土體的粘滯阻尼系數，w2為內域土體z方向的位移分量。將土體劃分為無窮多的薄土層，當樁頂作用豎向簡諧荷載時，樁周的薄土層也將作豎向穩定振動，根據Novak薄層法，假定薄土層的縱向振動互相獨立，且忽略薄土層的徑向位移和切向位移，僅考慮土體的豎向位移。對于樁周的外域土體和內域土體可分別建立其縱向振動控制方 程 為［14］

式中 i為虛數單位，ω為樁頂豎向簡諧荷載的頻率。首先求解外域土體的縱向振動，式（1）整理可得

對式（3）進行無量綱化，令νs1=則有

其中，q2=-。求解式（4）并考慮無窮遠處土體的邊界條件，則有

由此可得外域土體無量綱化的豎向剪切應力為

同樣的，對內域土體的縱向振動方程（2）進行無量綱化，并整理可得

圖1 管樁-土相互作用模型Fig.1 Interactional model of pipe pile-soil

2 非均質土-樁Winkler彈簧-阻尼器模型的系數

將非均質土與樁的動力相互作用用Winkler彈簧-阻尼器模型來描述，為此需要先求出Winkler彈簧-阻尼器模型的剛度和阻尼系數。設薄土層壁處（樁土接觸面處）產生的無量綱化縱向位移為1，相應的邊界條件為

考慮內域與外域接觸面邊界條件的連續性，有

應力即式（5），（6），（8）和（9），以及邊界條件式（10）和（11），則有

由式（12）～（14）可得

由此可得非均質土-樁Winkler彈簧-阻尼器相互模型的剛度系數和阻尼系數分別為ks=Real（R），Cz=Imag（R）。

3 非均質土層的縱向位移衰減函數及樁-樁動力相互作用因子

主動樁在樁頂簡諧激勵的作用下，將引起樁周土體的振動，導致樁周土產生向外擴散的柱狀波的傳播，假定柱狀波沿水平方向傳播，考慮內域土和外域土的縱向位移式（16）和式（18），在Dobry R等人研究的基礎上［15］，可知外域土和內域土的縱向位移的衰減函數分別為

圖2 G不同時外域土縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線（S/r0=12，r1/r0=10）Fig.2 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different G（S/r0=12，r1/r0=10）

圖3 r1不同時外域土縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線（S/r0=12，G=0.5）Fig.3 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different r1（S/r0=12，G=0.5）

圖4 S/r0不同時外域土縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線（G=0.5，r1/r0=10）Fig.4 Vertical displacement attenuation function of outer zone soil varying with frequency for different S/r0（G=0.5，r1/r0=10）

圖5 G不同時內域土縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線（S/r0=6，r1/r0=10）Fig.5 Vertical displacement attenuation function of inner zone soil varying with frequency for different G（S/r0=6，r1/r0=10）

圖6 r1不同時內域土縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線（S/r0=6，G=0.5）Fig.6 Vertical displacement attenuation function of outer inner soil varying with frequency for different r1（S/r0=6，G=0.5）

圖7 S/r0不同時內域土縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線（G=0.5，r1/r0=10）Fig.7 Vertical displacement attenuation function of inner zone soil varying with frequency for different S/r0（G=0.5，r1/r0=10）

圖2～4給出了外域土的縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線，圖5～7給出了內域土的縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線。從縱向位移衰減函數隨頻率曲線可以看出，非均質土的縱向位移衰減可以退化到均質土的情況，隨著頻率的增大，無論是內域土還是外域土，其縱向位移衰減函數隨頻率的增大都將趨近零，這是由于頻率過大時土體位移還沒來得及發生反應外界激勵就向相反方向作用了。從圖2可以看出，均質土的縱向位移衰減函數隨頻率變化曲線的峰值最小，峰值對應的頻率最大；隨著內域土體剪切模量的增大，外域土的縱向位移隨頻率的衰減函數越小（如圖2所示），但峰值對應的頻率越大。內域土范圍越大（即r1/r0越大），外域土的縱向位移隨頻率的衰減函數越大而峰值對應的頻率也越小（如圖3所示）。可見，如果忽略樁周土體沿徑向的非均質特性而將土體視為均質土的話將導致縱向位移衰減函數偏小。樁間距（S/r0）對外域土的縱向位移衰減函數也有影響，樁間距（S/r0）越大縱向位移衰減函數越小，主動樁振動產生的柱狀波隨著樁間距的增大將逐漸衰減。內外域土體剪切模量比對內域土縱向位移衰減函數（如圖5所示）的影響較外域土縱向位移衰減函數（如圖2所示）要大。對于內域土，剪切模量越小時，內域土的縱向位移衰減函數隨頻率的變化曲線在低頻范圍內存在輕微的波動，這是由于內域土剪切模量較小時，其對土體的約束作用過小導致的波動。內域土體的范圍對樁周土縱向位移衰減函數的影響較小（如圖6所示），這是由于樁周土體的弱化主要在樁周附近大約4倍樁徑范圍［13］，當r1/r0小于4時，即r1/r0=3時，相互作用因子虛部隨頻率變化曲線峰值較大，而峰谷較小。對于內域土體，樁間距（S/r0）對內域土縱向位移衰減函數的影響很大（如圖7所示），樁間距（S/r0）越大，內域土的縱向位移衰減函數越小，衰減函數隨頻率變化曲線的峰值對應的頻率也越小。

圖8 樁-樁相互作用模型Fig.8 pile-pile interaction model

為了確定圖8所示非均質土體中樁樁的縱向動力相互作用因子，假定圖8所示的主動樁和被動樁的幾何尺寸、材料性質、半徑、長度都相同，半徑為r0，樁長為H，都為端承樁。忽略主動樁和被動樁的徑向尺寸以軸線代替，主動樁與被動樁的軸線間距為S。主動樁在樁頂簡諧激勵作用下產生的振動波僅沿水平方向傳播，進而引起被動樁的振動。被動樁在水平振動波作用下引起的縱向位移與主動樁縱向位移之比即為樁樁縱向動力相互作用因子。

非均質土與樁之間的動力相互作用利用Winkler彈簧-阻尼器模型來描述，其剛度系數和阻尼系數由式（20）確定。對于主動樁可建立如下無量綱化的縱向振動方程

式中yp1（）為主動樁無量綱縱向振動位移幅值，對于端承樁，主動樁上下兩端無量綱化后的邊界條件為

由主動樁縱向位移式（25）可以求得樁身任一點分布力，再由樁頂作用力和樁頂縱向位移可以得到單樁樁頂的豎向動態復剛度

主動樁的縱向振動將引起周圍土體的縱向位移，進而引起被動樁樁周土體的動態響應，由非均質土的縱向位移衰減函數式（21）和（22）知被動樁處引起的土體縱向位移為ψ，考慮式（20）同樣可以建立被動樁的無量綱縱向振動方程為

根據相互作用因子的定義考慮主動樁和被動樁樁頂縱向位移，可得非均質土中樁樁縱向動力相互作用因子的表達式為

4 非均質土中群樁豎向動力阻抗

設n×n群樁中各根樁的幾何尺寸、材料屬性等相同，且對稱分布。忽略扭轉作用的影響，僅考慮豎向軸力作用。設群樁樁頂作用有簡諧荷載，無量綱化后的縱向荷載幅值設為Pq，第i根樁的軸力設為Ni，第i根樁在自身豎向軸力Ni作用下和其余n-1根樁的影響下產生的位移記為WGi（0），群樁的無量綱豎向位移記為WG（0）。考慮承臺的約束作用以及承臺處的平衡條件則有

由式（30）和（31）可求得群樁的豎向位移WG（0）和各單樁分擔的縱向荷載Ni。考慮群樁縱向動力阻抗的定義，則有

為了便于比較，群樁縱向動力阻抗的實部和虛部同除以n2倍的單樁剛度，引入群樁的縱向動剛度和動阻尼，即

5 3×3群樁縱向動力阻抗數值分析

這里以圖9所示3×3群樁為例來分析非均質土中群樁的縱向動力阻抗，這里主要考慮兩種情形，一種是被動樁全部在主動樁內域的情形，一種是被動樁全部在主動樁外域的情形。對于部分被動樁在主動樁內域，部分在主動樁外域的情形，需要根據每根被動樁相對主動樁所處位置的不同，分別求出其對應的相互作用因子，然后再在求出的相對因子的基礎上求解群樁動力阻抗，但計算量相對要大得多。

圖9 群樁模型Fig.9 Pile group model

圖10和11分別給出了內域土與外域土剪切模量比和樁間距不同時，被動樁全部在主動樁內域范圍的情形；圖12和13為被動樁全部在主動樁外域的情況，從圖上可以看出群樁縱向動力阻抗考慮土體非均質性相對均質土的差別較大。可以看出，不論是被動樁群在主動樁內域還是外域，在低頻時，非均質土中群樁縱向振動的動剛度變化不大（如圖10，12所示），此時樁基類似于埋置基礎，而內域土的剪切模量較外域土剪切模量較小時，也就是樁周土弱化的越明顯，動阻尼隨頻率的變化曲線在低頻時將產生波動；在高頻時，內外域剪切模量比越大，動剛度和動阻尼越大，且動剛度和動阻尼隨頻率變化曲線峰值對應的頻率越大。樁間距對非均質土中群樁縱向動力阻抗的影響如圖11和13所示，樁間距對動剛度和動阻尼的影響相對較大且較為復雜，樁間距對群樁縱向動力阻抗的影響與頻率有一定的關系，樁間距對群樁縱向動力阻抗的影響與均質土的情況不同［16］，在整個頻率內動剛度和動阻尼隨頻率變化曲線沒有均質土的情況平緩，且在低頻時非均質土動阻尼隨頻率變化曲線有較大的波動。對比圖10和12可以看出，內域范圍r1/r0=30時相對內域范圍r1/r0=3時，r1/r0=3時的情況反而更接近均質土的情形，這是因為此時樁間距較大，被動樁全部在主動樁外域范圍內，由于r1/r0→1時和r1/r0→∞同樣都是接近均質土的情形。而r1/r0=3相對r1/r0=30更接近均質圖的情形，所以圖12中非均質土和均質土的結果相對圖10更接近。可見，在進行群樁設計時，忽略樁周土沿徑向的非均質特性是不合適的，同時還需要綜合考慮被動樁的范圍和樁間距等的影響，其設計相對均質土要復雜得多。

圖10 被動樁全部在內域時群樁縱向動力阻抗（S/r0= 4，r1/r0=30）Fig.10 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of inner zone soil（S/r0= 4，r1/r0=30）

圖11 被動樁全部在內域時群樁縱向動力阻抗（G= 0.5，r1/r0=30）Fig.11 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of inner zone soil（G=0.5，r1/r0=30）

圖12 被動樁全部在外域時群樁縱向動力阻抗（S/r0= 10，r1/r0=3）Fig.12 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of outer zone soil（S/r0= 10，r1/r0=3）

圖13 被動樁全部在外域時群樁縱向動力阻抗（G= 0.5，r1/r0=3）Fig.13 Vertical dynamic impedance of pile groups for all accepted piles in of outer zone soil（G=0.5，r1/r0=3）

6 結 論

在考慮樁周土體沿徑向非均質特性的情況下，研究了非均質土體的縱向位移衰減函數，并在樁樁動力相互作用因子和樁樁疊加原理的基礎上研究了非均質土中群樁的縱向振動特性。通過數值算例得到如下結論：非均質土中群樁的振動解可以退化到均質土體的情形；內外域土剪切模量比和樁間距等參量對土體縱向位移衰減函數和群樁縱向振動有較大影響；在外界頻率較低的情況下，群樁的縱向振動類似于埋置基礎；由于樁周土沿徑向的非均質特性對土體縱向位移衰減函數和群樁縱向動力阻抗有較大影響，在實際工程應用中盡量考慮土體的非均質特性。最后，需要指出的是，文中雖然通過將樁周土劃分為內域土和外域土的方法考慮了每根樁樁側土的非均勻性，且只考慮了被動樁完全在主動樁內域或外域的特殊情況，在更復雜群樁工況的分析方面還存在著不足，與工程實際還有一定的差距，為此需要開展這方面的進一步研究。

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Solution of vertical vibration of pile groups for inner and outer regions model of heterogeneous soil

LIU Lin-chao，YAN Qi-fang，CHEN Qing-qing
（School of Civil Engineering，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，China）

Considering the heterogeneous characteristics along the radial direction of the soil around the pile，the soil is divided into two regions：the inner region and the outer region.The vertical vibrations of the inner region soil and outer region soil are solved based on the Novak′s layer method，and the stiffness and damping coefficients of equivalent Winkler spring-damper model of the dynamic interaction of pile-soil is obtained by considering the inner region and outer region contact surface continuity conditions.According to the definitions of vertical displacement attenuation function and pile-pile vertical dynamic interaction factor，the vertical displacement attenuation function of heterogeneous soil and pile-pile vertical dynamic interaction factor are investigated，and the vertical dynamic impedance of pile groups in heterogeneous soil is also analyzed.The results indicate that the vertical displacement attenuation function of heterogeneous soil and the vertical vibration of pile groups in heterogeneous soil can be degenerated into the case of homologous soil；ignoring the heterogeneity of the soil around the pile along the radial direction will result in a smaller vertical displacement attenuation function of soil and a smaller vertical dynamic impedance of pile groups.The shear modulus ratio of inner region and outer region soil，the pile spacing distance have great effects on the vertical vibration of pile groups in heterogeneous soil.

soil dynamics；pile groups；vertical vibration；attenuation function；shear modulus ratio

TU435；TU473.1

A

1004-4523（2015）05-0822-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.018

劉林超（1979—），男，博士，副教授。電話：（0376）6391575；E-mail：llc109@126.com

2014-04-16；

：2015-04-08

國家自然科學基金資助項目（U1504505）；河南省科技發展計劃項目（112300410105，142102210063）；河南省高等學校重點科研項目（15A560036）；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目（2013GGJS-121）；信陽師范學院重大課題預研項目（2013ZDYY19）；信陽師范學院青年科研基金資助項目（2014-QN-063）；信陽師范學院青年骨干教師資助計劃（2012007）