一種新的子結構邊界約束模型修正方法及其應用

李世龍，馬立元，李永軍，崔心瀚

（軍械工程學院導彈工程系，河北 石家莊050003）

一種新的子結構邊界約束模型修正方法及其應用

李世龍，馬立元，李永軍，崔心瀚

（軍械工程學院導彈工程系，河北 石家莊050003）

子結構的邊界約束狀態不僅反映了其與整體結構的連接關系，而且與整體結構中該連接部位的健康狀況緊密相關。為有效識別子結構的邊界約束狀態，基于交叉模型交叉模態（CMCM）理論，提出一種新的子結構邊界約束模型修正方法。以某導彈發射臺的局部子結構為對象，建立了子結構的邊界約束模型，通過對邊界約束剛度矩陣和質量矩陣進行修正，實現子結構邊界約束狀態的識別。同時，針對實測模態的不完備性以及測量噪聲等問題，研究了聯合基于攝動力的不完備模態擴充和截斷廣義奇異值技術（TGSVD）的CMCM 病態方程組求解方法。最后，通過發射臺局部子結構的數值仿真算例及試驗分析，驗證了所提方法的有效性。

子結構；模型修正；交叉模型交叉模態；邊界約束；模態擴充

引 言

模型修正是結構損傷識別的重要內容之一，作為結構動力學的反問題，它是根據試驗實測信息修正初始有限元模型，使計算模態與實測模態相一致，為結構動力特性分析、損傷識別等提供初始的基準有限元模型［1-2］。然而隨著結構的大型化、復雜化，由于參加修正的構建數目眾多且包含誤差較大，而實際測試條件往往有限，因此想從整體上對結構進行準確的模型修正非常困難［3］。對于大型復雜結構，如果能夠直接對其關鍵部位的損傷狀況進行識別，則不僅能解決整體模型修正難的問題，而且可以大大提高識別效率。

子結構法是進行結構局部動力特性分析的一種有效方法，可以只利用有限的局部實測動力信息，實現結構關鍵部位的模型修正及損傷識別，在工程領域具有重 要 的 應用價值［4］。Park 等［5］對 結 構 的 整體柔度進行了分解，通過子結構部位柔度的變化識別出了損傷所在位置。雷鷹等［6］將大型結構劃分為多個子結構，將相鄰子結構的作用視為對該子結構的“附加未知激勵”，然后采用擴展卡爾曼估計和最小二乘估計識別該未知外部激勵，實現了子結構的完全獨立，最后將該方法應用于一個平面桁架橋的局部損傷 診斷。Wang等［7-8］對 半剛 性連 接的 邊界條件辨識及模型修正進行了深入研究，并提出一種交叉模態應變能法，對一個4層鋼框架結構的多種復雜邊界條件進行了成功辨識。侯吉林等［9］提出一種約束子結構模型修正法，通過在子結構邊界施加虛擬數值支座將子結構從整體結構中獨立出來，利用子結構的局部模態構造柔度矩陣并修正該子結構，最后通過一個平面桁架結構的數值仿真驗證了其有效性。

現有子結構方法將子結構從整體結構中獨立出來后，單獨對其進行模型修正或損傷識別，以降低計算規模，提高求解效率。然而對于大型復雜結構，各子結構的連接部位不僅是模型誤差的主要來源，也是實際工作中損傷或其他故障的多發點。將子結構從整體結構中獨立出來進行分析時，必須考慮其與結構其余部分的連接狀態。連接部位未出現損傷時子結構的邊界約束狀態是一定的，一旦連接部位發生損傷后，其邊界約束狀態也隨之改變。因此，子結構的邊界約束狀態不僅反映了其與整體結構的連接關系，而且與整體結構中該連接部位的健康狀況密切相關。對子結構的邊界約束狀態進行識別，不僅能夠實現局部子結構的模型修正，而且可以有效識別出子結構連接部位的損傷。為有效識別子結構的邊界約束狀態，基于交叉模型交叉模態理論，提出了一種新的子結構邊界約束模型修正方法。以某導彈發射臺的局部子結構為對象，建立了子結構的邊界約束模型，通過對邊界約束剛度矩陣和質量矩陣進行修正，實現子結構邊界約束狀態的識別。

1 子結構邊界約束模型的建立

某導彈發射臺為鋼管焊接結構，圖1中目標子結構在長期工作載荷以及發射時沖擊載荷的影響下，焊接節點可能開裂，嚴重影響導彈的安全性和可靠性。

圖1 發射臺目標子結構Fig.1 Objective substructure of the launch platform model

目標子結構兩端焊接節點的應力集中非常嚴重，是整個發射臺最容易出現損傷的部位。將目標子結構從整體結構中獨立出來后，若能對其邊界約束狀態進行有效識別，則可進一步對其兩端焊接節點的健康狀況做出判斷。

線性無阻尼系統的自由振動方程為

式中K和M分別為系統的剛度矩陣和質量矩陣；λi和Φi為系統的第i階特征值及其對應的特征向量。

根據子結構的基本原理，將目標子結構從兩端獨立出來，則特征方程可寫為如下形式：

式中 下標a和b表示兩端的邊界自由度；下標u表示非邊界自由度。當邊界自由度為理想約束時，其振型分量Φa和Φb等于0，則式（2）將退化為

上式即為理想的固定約束邊界條件。但對于圖1中的目標子結構，由于其兩端的剛度及質量未知，若直接采用上述做法將其從整體結構中獨立出來，將引起很大程度的建模誤差。

本文以圖1中的目標子結構為對象，對其a，b兩端分別施加3個平移自由度約束和3個轉動自由度約束，將其從整體結構中獨立出來，建立了其三維空間梁模型，如圖2所示。

圖2 目標子結構的三維空間梁模型Fig.2 Three-dimensional beam model of the objective substructure

將三維空間梁L的特征方程寫為如下形式：

式中Kaa和Maa為 梁a端邊界自由度 對 應 的 系 統剛度矩陣和質量矩 陣，Kbb和Mbb為梁b端 邊界自由度對應 的 系 統剛度矩陣 和 質 量矩 陣。其 中，Kaa，Maa，Kbb和Mbb可分 解 為如 下 兩部 分 ：

式中，為梁a端邊界附近單元在約束自由度上的剛度分量和質量分量；，為梁b端邊界附近單元在約束自由度上的剛度分量和質量分量；為梁a端約束附加剛度和附加質量；，為梁b端約束附加剛度和附加質量。

則系統的剛度矩陣可寫為式中Ka和Kb為梁L的邊界約束剛度矩陣，當Ka和Kb等于0時，剛度矩陣K只包含梁自身的剛度，此時梁處于理想的無約束狀態；當和遠大于和Kbub時，則梁處于固定約束狀態；一般情況下，梁的實際的約束狀態處于兩者之間。

為準確模擬三維空間梁L的實際邊界約束狀態，本文采用6自由度的彈簧單元，包含1個軸向彈簧、2個剪切彈簧和3個轉動彈簧，兩端的邊界單元剛度矩陣為

式 中kβ，y，ky，β和kγ，z，kz，γ為耦 合項，同 時假 定kβ，y=k y，β，kγ，z=kz，γ。

式中Ki∈R48×48為整體坐標系下的單元剛度矩陣，系統包含的單元數目為7。

在整體坐標系下，將邊界單元剛度矩陣進行如下分解

式中Kn∈R48×48為整體坐標系下的邊界子單元剛度矩陣。

采用Euler-Bernoulli梁的情況下，三維梁單元的剛度矩陣為

式中A為單元的橫截面面積；l為單元長度；Iy為單元在xz坐標平面內的截面慣性矩；Iz為單元在xy坐標平面內的截面慣性矩；J為極慣性矩；E為拉伸彈性模量；G為剪切彈性模量。

為將梁的邊界約束剛度矩陣融入系統的整體剛度矩陣，采用有限元中的約束處理方法，對各邊界子單元的剛度系數進行如下處理式中其中 εx，εy，εz，εα，εβ，εγ，εyβ，εzγ為 彈簧 剛 度 系數，取值為0到無窮大。當取值全為0時，表明梁兩端處于無約束狀態；當取值全為無窮大時，表明梁兩端處于完全固定約束狀態。實際結構中一般的約束狀態是處于兩者之間，各彈簧剛度系數的具體取值需要結合結構實際的約束條件進行確定。

對于圖1中的目標子結構，由于其邊界自由度含有一定動能，邊界約束附加質量對結構動力特性的影響不可忽略，因此需要對其邊界約束質量修正系數進行研究。采用Euler-Bernoulli梁的情況下，三維梁單元的集中質量矩陣為

定義子結構兩端的邊界單元質量矩陣如下：

對邊界單元的質量修正系數進行如下處理

式中η為平移自由度的質量修正系數，ξ為轉動自由度的質量修正系數。

在整體坐標系下，將邊界單元質量矩陣作如下分解

式中Mn∈R48×48整體 坐標系 下的 邊界 子單 元 質 量矩陣。

2 子結構邊界約束模型修正方法

交叉 模型交叉模態法（Cross-Model Cross-Mode，CMCM）由Hu等［10］于2007年提出，兼顧了矩陣型修正法和參數型修正法的優點，不僅大大提高了修正效率，而且能夠保持原模型的物理形態和修正模型的物理意義。本文采用CMCM方法，通過對邊界單元剛度修正系數和質量修正系數進行調整，使系統剛度矩陣及質量矩陣發生相應改變，從而達到計算模態頻率及模態振型與結構實測模態數據相匹配的目的。

2.1 CMCM 方法

假定與梁L的實測模態對應的剛度矩陣及質量矩陣分別為和，而初始有限元模型的剛度矩陣及質量矩陣分別為K和M，則可將和表示為對K和M的修正：

式中Kn和Mn分別為整體坐標系下的第n個邊界子單元剛度矩陣和質量矩陣；αn和βn分別為對應的剛度修正系數和質量修正系數；NK和NM為需要修正的邊界子單元剛度矩陣和質量矩陣的個數。同式（1），與實測模態對應的特征方程為

式中，^λj和為實際模態測試中得到的第j階特征值和特征向量。對式（17）左乘（Φi）T可得：

將式（16）代入式（18），則可構建子結構的CMCM 方程：

式 中C+和E+為維 數Nij×NK和Nij×NM的 矩陣；α和β為維數NK和NM的 列向 量；f+為 維數Nij的列向量。

由以上理論可以看出，CMCM 修正法可歸結為對線性方程組Ax=b的求解，目前一般采用最小二乘法［11］。利用有限元分析得到的i階模 態和 實際測試獲得的j階模態，可構建i×j個線性方程，方程數目遠大于傳統方法直接配對所構建的修正方程數目，因此可以利用有限階的實測模態求解更多的修正參數。

2.2 CMCM 病態方程求解方法

CMCM 方法雖可構建多個識別方程，但該方法要求實測模態與計算模態的自由度必須一致，且對實測模態數據的精度要求非常高。然而在模態測試中，受觀測自由度的限制以及測量噪聲等影響，往往導致CMCM方程組Ax=b的系數矩陣A和數據項b產生擾動，從而使得方程組的解不穩定，即解的病態性。因此，實際模態測試中各種不利因素影響下的病態方程求解算法是將CMCM 子結構邊界約束模型修正方法推向工程應用必須解決的問題。本文從模態擴充和正則化去噪兩個方向入手，研究CMCM 病態方程的求解方法。

2.2.1 基于攝動力的不完備模態擴充

實際模態測試中，由于轉動自由度及部分平移自由度不易測量，三維空間梁的實測自由度遠小于有限元模型的自由度，從而導致實測振型信息空間極度不完備。

對于實測模態的不完備性，通常有兩種解決思路：一種是模態擴充法，將實測模態擴充至與有限元模型自由度數目相同，使得擴充后的振型達到空間完備［12］；另一種是模型縮階法，即對有限元模型進行縮聚，使得縮階后的有限元計算振型與實測振型空間相一致，但該方法容易破壞原矩陣的稀疏性和對稱性，導致出現虛元或負剛度［13］。

模態擴充中，若第j階模態的已測量部分和未測量部分分別為和，則擴充后的模態為

式中T為變換矩陣，其取決于模態擴充方法。已有的模態擴充方法中，如最小二乘擴充法［14］，由于沒有考慮有限元模型與試驗模型之間的誤差，往往導致擴充后的模態偏離較大。

為減小擴充后的模態誤差，本文定義縮放系數δj如下

式中Ψj為實際測試獲得的第j階模態，Φaj為與實測模態自由度對應的初始FEM 的計算模態。則縮放后用于模態擴充的第j階實測模態為

定義第j階實測模態的敏感系數為

式中N為可使用的計算模態階數，ωi為第i階計算模態的特征值。則攝動力矢量rj為

式 中S+j=STj［SjSTj］-1為Sj的廣義逆 。 根據模態擴展理論，第j階未測模態可表示為

式中為與實測模態未測量自由度對應的第i階計算模態中振型的“未測量”部分。因此基于攝動力的不完備模態擴充的變換矩陣可表示為

2.2.2 基于TGSVD的正則化去噪

正則化技術是應對測試噪聲的一種有效方法。Tikhonov正則化技術、截斷廣義奇異值技術（TGSVD）和列主元QR分解技術是目前常用的3種正則化方法［15-17］。盡管目前正則化方法在理論上已經非常完善，但針對不同求解問題，同一算法的收斂性卻相差很大，因此對于特定的求解問題，應選擇最恰當的正則化方法。Tikhonov正則化方法通過引入正則化項來降低原不適定問題近似解的振蕩性，因此往往導致近似解過度光滑，與本文子結構的實際邊界剛度及質量分布相矛盾。另外，該方法一般需要結合優化算法進行迭代求解，過程較為復雜。文獻［18］研究得出，當系數矩陣的奇異值呈階梯型分布時，采用TGSVD方法求解的效果較好。對于子結構的邊界約束模型修正問題，由于不同約束條件下的邊界單元剛度及質量修正系數相差較大，系數矩陣的奇異值多呈階梯型分布，故引入 TGSVD方法來減小實測模態中噪聲對CMCM 方程的影響。

將病態方程組Ax=b的系數矩陣A進行奇異值分解

式中U=（u1，u2，…，un）和V=（v1，v2，…，vn）為正交特征向量，σi為矩陣A的奇異值，且滿足σ1≥σ2≥…≥σn≥0。

當矩陣A為病態矩陣時，傳統SVD分解存在諸多困難［19］。廣義奇異值分解法（GSVD）通過引入正則化矩陣Lp×n（m≥n≥p），使病態矩陣A與L組成矩陣對 （A，L），其廣 義特 征值 為矩 陣對 （^ATA，LTL）廣義特征值的平方根。

方程組A x=b的正則解為

截斷奇異值分解法（TSVD）通過定義截斷因子

若存在σ1≥… ≥σk≥α≥σk+1≥… ≥σn≥0，則截斷后的正則解為

式中k為截斷數，通過直接去除小奇異值對解的貢獻，達到穩定解的作用。當k=rank（A）時，該正則解相當于最小二乘解。

TGSVD方法則通過引入ā=AL+，ˉb=b-A x0分別代替TSVD方法中的矩陣A和b，其中L+為L的廣義逆，本文采用L曲線法［20］選取 TGSVD 的截斷數k。

3 數值仿真研究

以圖1中的發射臺目標子結構為對象，梁的截面為圓形，外徑D=0.045 m，壁厚d=0.005 m，總長度L=0.7 m。從左至右等間隔劃分為7個單元，共包含8個節點，單元的彈性模量E=2.07×1011N／m2，密度ρ=7 800 kg／m3，泊松比μ=0.27。

模型修正中，通過預設不同的邊界單元剛度和質量修正系數來模擬梁的不同邊界約束狀態，并將該模型的計算模態數據作為“實測”模態數據，與初始有限元模型的計算模態數據聯合構建CMCM 方程組。經研究發現，對于本模型，當兩端的剛度修正系數達到105時，已接近完全固定約束狀態。若將三維空間梁每個單元的質量視為單位質量，則試驗模型除目標子結構L外的總質量為504.75，當質量修正系數取504.75，相當于將試驗模型除目標子結構L外的所有質量附加在某一個邊界自由度上。

梁 的初始狀態視 為 兩 端 簡 支，即Uxa，Uya，Uza，ROTxa和Uyb，Uzb，ROTxb完 全約 束，質量 修 正系數 均為0，并將該模型作為數值仿真及試驗分析的基準有限元模型。總共設置了3種邊界約束工況，如表1所示。工況1中，梁a端完全約束，梁b端具有較大柔度；工況2中，梁a端的轉動自由度完全約束，平移自由度及相應耦合項具有一定柔度，梁b端的平移自由度完全約束，轉動自由度及相應耦合項具有一定柔度；工況3為中間狀態，梁兩端的平移自由度、轉動自由度以及耦合項均具有一定柔度。

表1 邊界約束工況Tab.1 Boundary constraint conditions

為研究方法在實際工程應用中的效果，在數值仿真中考慮了實測模態空間的不完備性以及測試噪聲兩個不利因素。假設在模態測試中每個節點僅測量了1個平移自由度，方向沿Y方向和Z方向交錯分布，即在每個節點上只從有限元計算結果中提取這1個平移自由度的振型信息，相當于“實測”自由度數目僅為結構自由度總數目的1／6。為模擬測試噪聲對修正結果的影響，在有限元計算得到的模態頻率及振型中加入由Matlab標準正態分布生成的隨機噪聲

式中x為模態參數的實際計算值，xi為加入噪聲后的模態參數；ε為噪聲水平；randn為具有單位標準差和零均值的正態分布隨機變量。本文在模態頻率中加入噪聲的水平為3%，在模態振型中加入噪聲的水平為2%。

待修正的未知數個數為20，選取前4階實測模態和基準有限元模型的前10階計算模態，構建40個CMCM方程，方程數大于未知數個數，方程組有解。

在實際模態測試中各種不利因素的影響下，為研究本文方法較已有方法在求解CMCM 病態方程中的優越性，進行如下定義：

方法1：采用本文提出的CMCM 病態方程求解方法進行求解；

方法2：采用文獻［11］中的改進最小二乘法對構建的CMCM方程進行求解。

分別采用以上兩種方法對目標子結構的3種邊界約束工況進行模型修正，各修正參數的設定值與修正值的絕對誤差如圖3所示。

圖3 模型修正結果對比Fig.3 Comparison of model updating results

表2 修正后有限元模型動力特性對比Tab.2 Comparison of dynamic parameters of updated model

從圖中可以看出，在實測模態不完備以及測試噪聲等不利因素的影響下，方法1求解得出的各修正參數絕對誤差非常小，能夠有效識別出各個工況下子結構的邊界約束狀態；相比，方法2求解得出的各修正參數絕對誤差過大，對目標子結構邊界約束狀態的識別不夠準確。

兩種方法修正后有限元模型的動力特性對比如表2所示。從表中可以看出，方法1修正后的計算頻率與實測頻率吻合較好，最大頻率誤差僅為0.95%，各階振型的 MAC值也非常高；相比，受實測模態的不完備性及測量噪聲影響，方法2的修正效果很不理想，最大頻率誤差達到了4.88%，各階振型的MAC值也偏低。

通過對不同噪聲水平下的模型修正研究發現，當頻率和振型噪聲水平分別為3%和2%，改進最小二乘法各修正參數的最大相對誤差接近5%；當頻率和振型噪聲水平均為4%時，改進最小二乘法各修正參數的最大相對誤差超過了10%時，且修正后頻率和振型誤差過大，失去修正意義。本文方法的求解精度和魯棒性較好，當設定各修正參數的最大相對誤差不超過5%時，頻率和振型可添加的最大噪聲水平為5%。綜上，本文提出的CMCM 病態方程求解方法較改進最小二乘法具有明顯優勢，更適用于實際測試不利因素影響下的子結構邊界約束模型修正。

4 發射臺子結構邊界約束模型修正

以圖1中的發射臺目標子結構為對象，采用本文方法對其邊界約束進行模型修正，初始有限元模型仍然采用兩端簡支的基準模型。

4.1 模態測試

模態測試時，整個結構通過橡皮繩懸掛于試驗框架上，如圖4所示。

圖4 模態測試現場Fig.4 The experiment scene

將目標子結構從左至右等分為7個單元，共8個節點，每個節點布置1個加速度傳感器，沿Y方向和Z方向交錯分布，共計8個傳感器。采用錘激法進行人工脈沖激勵，單點激勵，多點響應。進行多次重復測試，選擇測試較為穩定的數據組，以減小人為操作誤差對測試數據產生的影響。采樣頻率為10 k Hz，每個響應信號取20 000個采樣點。加速度信號經電荷放大器放大進入DH5920動態信號測試分析系統，測試分析軟件采用東華模態分析軟件（DHMA）。

目標子結構實測模態與初始有限元模型的計算模態對比如表3所示。

可以看出，兩者誤差比較大，且階次越高誤差越大，第4階頻率的誤差達到了13.95%。這說明目標子結構的實際邊界約束狀態與初始有限元模型差別非常大，需要對其進行模型修正。

表3 目標子結構實測模態與初始有限元模型計算模態對比Tab.3 Comparison of modal parameters between nitial FEM and test results

4.2子結構邊界約束模型修正

分別采用方法1和方法2，對目標子結構的邊界約束進行模型修正，修正后有限元模型的計算模態與實測模態對比如表4所示。可以看出，方法1修正后有限元模型的前4階模態頻率誤差顯著減小，最大誤差僅為0.97%，且振型的 MAC值也顯著提高；相比，方法2的修正效果一般，第4階頻率誤差達到了5.17%，振型的 MAC值也偏低。

方法1修正后目標子結構的邊界約束剛度修正系數和質量修正系數見表5。可以看出，兩端的轉動自由度較平移自由度的約束更大，子結構整體處于半剛性連接狀態；另外，子結構兩端的質量修正系數也較大，說明邊界約束附加質量對其模態特性的影響非常大。

表4 修正后有限元模型計算模態與實測模態對比Tab.4 Comparison of modal parameters between updated FEM and test results

表5 目標子結構邊界約束修正系數Tab.5 Boundary constraint correction factor of the objective substructure

5 結 論

基于交叉模型交叉模態（CMCM）理論，提出一種新的子結構邊界約束模型修正方法，通過對某導彈發射臺局部子結構的模型修正數值仿真及試驗分析，驗證了所提方法的有效性，并得出以下主要結論：

（1）子結構法在大型復雜結構的動力分析中具有明顯優勢，通過對損傷前后子結構的邊界約束狀態進行識別，不僅可以實現局部子結構的模型修正，而且可進一步對子結構連接部位的健康狀況做出判斷。

（2）對發射臺目標子結構兩端分別施加6自由度的邊界約束，通過構建邊界單元剛度矩陣和邊界單元質量矩陣，可將其從整體結構中獨立出來，為子結構邊界約束模型修正提供有效途徑。

（3）以發射臺目標子結構的實測模態參數為基準，通過對邊界單元剛度修正系數和質量修正系數進行調整，可實現子結構邊界約束狀態的識別。

（4）實測模態的不完備性和測試噪聲的影響是將CMCM子結構邊界約束模型修正方法推向工程應用的主要障礙，通過提出的聯合基于攝動力的不完備模態擴充和TGSVD的CMCM病態方程組求解方法能有效解決此問題。

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A method for model updating of substructure boundary constraints and its application

LI Shi-long，MA Li-yuan，LI Yong-jun，CUI Xin-han
（Department of Missile Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

The substructure’s boundary constraint condition not only reflects its relationship with the overall structure，but also reflects the close relationship with the healthy state of the connection parts.Based on cross-model cross-mode，a new method for model updating of the substructure constraints is proposed in this paper.Taking a local substructure on a certain missile launch platform as the research object，a model is established which is suited to analyze the substructure’s boundary constraint.Through updating the model with the stiffness matrix and mass matrix of boundary constraint，the boundary constraint condition of the substructure is identified.Meanwhile，aiming to overcome the shortcomings of incompleteness of measured modal data and the measurement noise，a calculation method for ill-condition CMCM equation set is proposed，which is based on incomplete modal expansion method using perturbed force and TGSVD method.Furthermore，a numerical simulation and an experiment study associated with the local substructure of the missile launch platform are conducted to examine the proposed methods.

substructure；model updating；cross-model cross-mode；boundary constraints；modal expansion

TB123；TU311；TU973.2+1

A

1004-4523（2015）05-0730-11

10.16385／j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.007

李世龍（1987—），男，博士研究生。電話：18633482018；E-mail：li123ysu＠163.com

2014-05-19；

014-08-25