變中激趣，趣中促效

摘要：本文以系統(tǒng)論、學(xué)習(xí)論、認(rèn)知論為理論依托，闡述了中職數(shù)學(xué)多元表征的變式教學(xué)的基本功能、實(shí)踐操作的要領(lǐng)和注意事項(xiàng)，并在實(shí)踐的基礎(chǔ)上對(duì)如何搞好中職數(shù)學(xué)多元表征的變式教學(xué)進(jìn)行了反思與思考。目的是通過變式與多元表征相互作用來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，發(fā)揮教師主導(dǎo)、學(xué)生主體地位的作用，真正實(shí)現(xiàn)“以學(xué)定教”的核心思想。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué) 以學(xué)定教 多元表征 變式教學(xué)

中職生源質(zhì)量逐年降低，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，在長期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不能完成預(yù)期學(xué)習(xí)，經(jīng)常體驗(yàn)失敗的挫折感，以至于在情感、動(dòng)機(jī)、行為上表現(xiàn)出一種消極心理狀態(tài)，喪失了自信心，質(zhì)疑自己的智力水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。具體表現(xiàn)為，在課堂上不能主動(dòng)積極地參與課堂，抬頭的學(xué)生悶聲不響不發(fā)表意見，低頭的學(xué)生各管各的事情，表現(xiàn)出事不關(guān)己高高掛起的冷漠狀態(tài)。為了改變這一狀況，我提出了進(jìn)行多元表征的變式教學(xué)。數(shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)知識(shí)的不同表現(xiàn)形式，可以形象地凸顯一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的多元屬性，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。多元表征學(xué)習(xí)能豐富學(xué)生多角度的知識(shí)理解，幫助學(xué)生形成科學(xué)的知識(shí)體系。變式教學(xué)是傳統(tǒng)的中國數(shù)學(xué)教學(xué)方法，在“四基”方面有著獨(dú)特的功能，它能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，培育學(xué)生的創(chuàng)新精神。由此來看，可以說數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)與變式教學(xué)的本質(zhì)是一樣的。本文利用變式問題促進(jìn)學(xué)生多元表征，以多種表達(dá)手段為支撐，多元表征來變式，以學(xué)定教，以期達(dá)到“變中激趣、變中促效”的目的。

一、多元表征的變式教學(xué)概述

（一）多元表征的變式教學(xué)核心思想

多元表征的變式教學(xué)核心思想是“以學(xué)論教”。一方面，教師要為學(xué)生搭建合理的學(xué)習(xí)平臺(tái)，通過不同的表征觀察、思考學(xué)習(xí)，把學(xué)生推到解決問題的前臺(tái)，凸顯出學(xué)生的主體作用;另一方面，教師應(yīng)立足學(xué)生，圍繞同一知識(shí)點(diǎn)，堅(jiān)持低起點(diǎn)、慢步調(diào)、小難度來設(shè)置多元表征問題變式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，使他們形成知識(shí)體系。

（二）多元表征的變式教學(xué)特點(diǎn)

1.系統(tǒng)性

多元表征與變式教學(xué)是一個(gè)有序、反饋、整合的教學(xué)系統(tǒng)，它能呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、原理、思想方法內(nèi)在的聯(lián)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中通過觀察、區(qū)分、比較、圖示，梳理出知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有選擇、有規(guī)律地建構(gòu)成知識(shí)整體。

2.層次性

多元表征的變式教學(xué)就是從多個(gè)角度、多層次突顯出概念的內(nèi)涵，逐步揭示概念的本質(zhì)屬性。運(yùn)用此方法教學(xué)，能使不同認(rèn)知水平的學(xué)生在學(xué)習(xí)相同的數(shù)學(xué)概念、思想方法時(shí)，建構(gòu)和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立新舊知識(shí)的有機(jī)聯(lián)系。

3.漸變性

多元表征的變式教學(xué)利用同一數(shù)學(xué)教學(xué)主題的不同表現(xiàn)形式，不斷變更問題的情境或改變學(xué)生思維的角度，在保持?jǐn)?shù)學(xué)主題的本質(zhì)特征不變的情況下，深刻地揭示問題的實(shí)質(zhì)，易讓學(xué)生理解。

（三）多元表征與變式教學(xué)的理論依據(jù)

1.從系統(tǒng)論看基于多元表征的變式教學(xué)

系統(tǒng)論是科學(xué)的世界觀和方法論。①多元表征的變式教學(xué)系統(tǒng)符合系統(tǒng)論的三條原理：反饋原理、有序原理、整體原理。

2.從學(xué)習(xí)論看基于多元表征的變式教學(xué)

奧蘇貝爾認(rèn)為有意義學(xué)習(xí)是新知識(shí)和已有知識(shí)某些特許方面建立學(xué)習(xí)者新舊知識(shí)的合理和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。一方面，多元表征的變式教學(xué)可以使學(xué)生多角度地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，使得學(xué)生獲得知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系;另一方面，通過知識(shí)點(diǎn)的多元表征轉(zhuǎn)化，學(xué)生可以獲得數(shù)學(xué)知識(shí)形成、問題解決的經(jīng)驗(yàn)，建立新舊知識(shí)的有機(jī)聯(lián)系。

3.從認(rèn)知論看基于多元表征的變式教學(xué)

從知識(shí)認(rèn)知論看，不同類別的知識(shí)是互補(bǔ)的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，多元表征的變式教學(xué)，符合兩類知識(shí)轉(zhuǎn)化理論，從發(fā)展認(rèn)知論看，學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)是經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)有各種形式、概念及理論結(jié)構(gòu)。多元表征的學(xué)習(xí)，就是經(jīng)驗(yàn)與直覺的重現(xiàn)，能發(fā)展學(xué)生的思維。

二、多元表征的變式教學(xué)實(shí)踐

（一）落實(shí)目標(biāo)，關(guān)注學(xué)生

課堂教學(xué)核心就是落實(shí)知識(shí)與技能。在一節(jié)課或一個(gè)知識(shí)板塊的學(xué)習(xí)中應(yīng)始終以本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為限度。多元表征的變式教學(xué)十分重視學(xué)生的主體作用。不同的學(xué)生頭腦中信息表征的方式千差萬別，在認(rèn)知活動(dòng)中，我們應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的真實(shí)思維。

案例1 "數(shù)列的通項(xiàng)公式

步驟1：剪紙。將一張長為16厘米的正方形紙片剪成四個(gè)大小、形狀一樣的小正方形，再將其中的一個(gè)小正方形剪成四個(gè)小正方形，如此循環(huán)進(jìn)行下去，剪六次一共剪出多少個(gè)小的正方形？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用課前準(zhǔn)備好的正方形紙片、剪刀，動(dòng)手操作，教師做適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，有個(gè)別學(xué)生不理解怎樣剪時(shí)，教師可恰當(dāng)給出示范。通過動(dòng)手實(shí)踐，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生參與到課堂學(xué)習(xí)中去。

步驟2：填表。把每一次剪得的正方形數(shù)填在下面的表格。

當(dāng)學(xué)生把表格填好后，進(jìn)一步提出以下問題：

（1）如果能剪99次，共剪出多少個(gè)正方形？根據(jù)表格里的數(shù)據(jù)分析，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）所剪的正方形個(gè)數(shù)an與所剪的次數(shù)n有什么關(guān)系？用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示。

設(shè)計(jì)意圖：填表的過程是一個(gè)難度較低動(dòng)手實(shí)踐的過程，每一個(gè)學(xué)生都可以參與到教學(xué)活動(dòng)來。在活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，已對(duì)知識(shí)獲得有了感性認(rèn)識(shí)，再經(jīng)歷對(duì)以上兩問題的思考、猜想，然后就能總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=3n+1（n為自然數(shù)）。

步驟3：應(yīng)用。

（1）計(jì)算要剪出28個(gè)正方形，共要剪多少次？

（2）能不能將原來的正方形剪成2001個(gè)小正方形呢？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：這兩個(gè)問題的提出，讓學(xué)生在經(jīng)歷思考之后認(rèn)識(shí)到了歸納出的公式的重要性，而后一個(gè)問題是把代入公式，得方程，轉(zhuǎn)化為判斷此方程是否有自然數(shù)解的問題。因?yàn)殛P(guān)于n的一元一次方程沒有自然數(shù)解，所以不能將原方程剪成個(gè)小正方形。這樣，學(xué)生通過符號(hào)表征就能理解項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系。

步驟4：還原圖形、觀察變化。將剪完的所有正方形拼成原來的正方形，并畫出平面圖形（圖略），通過觀察這個(gè)圖形你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（1）每次剪得的正方形的邊長都是前一次剪得的小正方形邊長的一半。

（2）每次剪出的小正方形面積都是前一個(gè)正方形面積的四分之一。

設(shè)計(jì)意圖：通過圖形的還原，借助直覺形象表征，能將學(xué)生的抽象思維具體化。另外，給學(xué)生準(zhǔn)備一種與實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的情境，可以讓學(xué)生直接參與，充分發(fā)表自己的觀點(diǎn)。通過這樣的學(xué)習(xí)情境，學(xué)生的探究活動(dòng)成為可能，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性，使每個(gè)學(xué)生都獲得了成功的喜悅，思維處于高度活躍狀態(tài)。

步驟5：如果有一個(gè)邊長為1的正方形，那么第n次剪得的正方形邊長是多少？或設(shè)表示第n次所剪得的正方形邊長，試用含有n的代數(shù)式表示。

答： ……（2）

設(shè)有一個(gè)正方形的邊長為1，剪n次后，每次剪得的小正方形邊長之和與原正方形邊長有什么關(guān)系？

學(xué)生有畏難情緒時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為比較……與1的大小關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

……

由此運(yùn)用不完全歸納法，得出結(jié)論：

……

通過對(duì)以上規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，為計(jì)算……找到了直觀的、幾何意義上的依據(jù)。

可見，多元表征的目的就是讓學(xué)生從多個(gè)角度理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從不同角度有序推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，幫助學(xué)生尋找解決不同問題的辦法。因此，在課堂中，我們要以形取意，落實(shí)教學(xué)目標(biāo)。在課堂教學(xué)中，教師可利用數(shù)學(xué)知識(shí)表現(xiàn)形式的多樣性，為學(xué)生提供圖、表、文字、符號(hào)等各種表示，創(chuàng)設(shè)一種變化多樣的教學(xué)情境，并為學(xué)生創(chuàng)造探索數(shù)學(xué)規(guī)律的機(jī)會(huì)，這樣教學(xué)活動(dòng)才能開展得更加生動(dòng)活潑而富有成效。

（二）激發(fā)興趣，誘導(dǎo)參與

利用多元表征形式的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)多樣的學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生興趣。所謂“多元表征”是指同一事物的不同表現(xiàn)形式。同一數(shù)學(xué)知識(shí)可能擁有不同表示形式，現(xiàn)代信息技術(shù)由于具有具體形象、動(dòng)靜結(jié)合、聲色兼?zhèn)涞摹岸嘣碚鳌钡谋憩F(xiàn)力，可以便利地呈現(xiàn)豐富的教學(xué)內(nèi)容，我們可借助它創(chuàng)設(shè)生動(dòng)、形象的學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

案例2 "平面的概念教學(xué)

步驟1：讓學(xué)生觸摸教室的窗戶玻璃、課桌面、墻面面、黑板、事先準(zhǔn)備好的乒乓球、圓柱型茶罐等，觀察自己的手型變化，目的是通過觸摸使學(xué)生對(duì)平面、曲面有初步的感覺。

步驟2：利用多媒體，具體形象展現(xiàn)出平面的無限延伸性，讓學(xué)生利用視覺表征的特性進(jìn)一步理解教學(xué)對(duì)象。

步驟3：教師介紹平面的寫法、讀法，并且隨手畫出水平放置、豎直放置的平面（不用尺，作圖非常不規(guī)范），引導(dǎo)學(xué)生閱讀相關(guān)教學(xué)內(nèi)容。通過文本的閱讀，掌握平面的寫法、畫法。

步驟4：學(xué)生點(diǎn)評(píng)教師所畫的圖，指出不合理的地方，之后教師在學(xué)生的指引下，做出圖形，并與學(xué)生一起讀出圖形。通過糾錯(cuò)的形式，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握平面的讀法、畫法。

步驟5：先讓學(xué)生在草稿紙上按要求做出一個(gè)平面，然后在第一個(gè)平面上再畫一個(gè)平面，將這兩個(gè)平面組合成一個(gè)圖，接著教師展示學(xué)生作品，讓學(xué)生說說自己畫的圖形，最后讓學(xué)生找找生活中的圖形原型，將空間圖形與實(shí)物圖形聯(lián)系起來，以幫助學(xué)生建立空間感。

步驟6：引導(dǎo)學(xué)生作圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察平面與平面虛實(shí)部分、公共部分等，為平面的性質(zhì)教學(xué)做鋪墊。

設(shè)計(jì)意圖：職高教材中，平面的概念是這樣界定的——數(shù)學(xué)中平面是光滑并且可以無限延展的圖形。顯然平面的概念是一個(gè)描述型概念，但在教學(xué)中平面又是一個(gè)核心概念，是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。這一節(jié)的教學(xué)目的就是讓學(xué)生了解平面的概念，會(huì)讀、會(huì)畫平面。通過學(xué)生觸摸—教師演示—閱讀文本—實(shí)踐聯(lián)系—展示成果，可從不同的感覺通道、不同的表征方式理解平面，讓學(xué)生掌握平面的讀法、畫法。

其實(shí)，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都有不同的表示形式，教師可以利用折紙、語言、書寫文本、數(shù)學(xué)公式，也可以利用圖形、圖表、圖像等形式，來凸顯同一個(gè)知識(shí)的不同表現(xiàn)形式，幫助學(xué)生理解。一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的多元表征的結(jié)構(gòu)好比星形的冰山，中心是知識(shí)的核心概念，每一個(gè)尖端對(duì)應(yīng)著一個(gè)表征形式，而完整數(shù)學(xué)知識(shí)就是整座冰山，教師應(yīng)重視學(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)建。

（三）突出重點(diǎn)，突出難點(diǎn)

恰當(dāng)運(yùn)用“可視化”數(shù)學(xué)表征技術(shù)，能突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維過程（一般難度較大的思維）應(yīng)以“可看得見的、清楚的”圖形、圖像、圖表等表征的形式表示出來，使人們對(duì)其有一個(gè)形象、直觀的認(rèn)識(shí)和理解。衛(wèi)星云圖、醫(yī)療成像都是計(jì)算機(jī)可視化的實(shí)際應(yīng)用。可視化數(shù)學(xué)表征技術(shù)通過數(shù)學(xué)專業(yè)軟件（如幾何畫板、Mathcad 等）來實(shí)現(xiàn)。幾何畫板是一種動(dòng)態(tài)的可視化數(shù)學(xué)軟件，特別是它的動(dòng)態(tài)功能和易操作性是其他軟件所不能比擬的。另外，教師還可以運(yùn)用現(xiàn)成的微型軟件，如用flash動(dòng)畫軟件、VB等語言做成的執(zhí)行程序，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)可視化。可視化的特點(diǎn)是能使抽象的符號(hào)、復(fù)雜而零散的數(shù)據(jù)得到直觀顯示，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

案例3 "指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

步驟1：創(chuàng)設(shè)情境。

（1）如果讓1號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備2粒米，2號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備4粒米，3號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備6粒米，4號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備8粒米，5號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備10粒米……按這樣的規(guī)律，51號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備多少粒米？

大家能否估計(jì)一下，51號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備的米有多重？

師：51號(hào)同學(xué)需要準(zhǔn)備大米約5克。

（2）如果讓1號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備2粒米，2號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備4粒米，3號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備8粒米，4號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備16粒米，5號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備32粒米……按這樣的規(guī)律，51號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備多少粒米？

大家能否估計(jì)一下，51號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備的米有多重？

師：51號(hào)同學(xué)需要準(zhǔn)備的大米約1.2億噸。

在以上兩個(gè)問題中，每位同學(xué)所需要準(zhǔn)備的米粒數(shù)用y表示，每位同學(xué)的號(hào)數(shù)用x表示，y與x之間的關(guān)系分別是什么？

學(xué)生易得到：

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例，給出指數(shù)函數(shù)的背景，引出指數(shù)函數(shù)的概念。學(xué)生估算，并說各自估算的結(jié)果后，教師公布事先估算的數(shù)據(jù)。通過與一次函數(shù)的對(duì)比，學(xué)生能感受到指數(shù)函數(shù)的爆炸增長，激發(fā)了學(xué)習(xí)的興趣和欲望。

步驟2：填表，觀察、分析指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：通過列表便利地呈現(xiàn)豐富的教學(xué)內(nèi)容，生動(dòng)、形象地創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，清晰地刻畫兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣有利于學(xué)生感受到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析的能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

步驟3：繪制函數(shù)圖像，進(jìn)一步體會(huì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。[指數(shù)函數(shù)的圖形（略）]

步驟4：對(duì)照?qǐng)D形說說指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

步驟5：對(duì)照?qǐng)D形再一次閱讀教材。

步驟6：利用助學(xué)光盤中的軟件，讓學(xué)生做出指數(shù)函數(shù)的圖像。（輸入底數(shù)，點(diǎn)擊作圖即可得到指數(shù)函數(shù)的圖像）

通過實(shí)例、填表、作圖，說說指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能促成實(shí)例、圖表、口語文本等不同表征的相互聯(lián)系，促使學(xué)生靈活理解指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)，深化數(shù)學(xué)思維。我們應(yīng)合理運(yùn)用不同學(xué)生表征的各自特點(diǎn)，通過實(shí)物模型、圖形、圖表、圖像描繪數(shù)學(xué)知識(shí)，以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解。

（四）靈活轉(zhuǎn)換，深化理解

實(shí)物模型、圖表、口語、書寫文本、數(shù)學(xué)公式和邏輯表示等表征具有各自的特點(diǎn)與功能。如實(shí)物模型、圖形等表征能形象地刻畫數(shù)學(xué)知識(shí)的具體特征，有益于直覺形象思維、創(chuàng)新思維的培養(yǎng);文字、符號(hào)等表征適合于抽象邏輯思維，有助于理性思辨的培養(yǎng)。而表征間的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)邏輯思維與非邏輯思維的互補(bǔ)。大量研究表明，學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)對(duì)象表征的結(jié)構(gòu)性、豐富性、聯(lián)系性及其相互之間的靈活轉(zhuǎn)化代表著自身數(shù)學(xué)理解能力和問題解決水平的高低。教學(xué)中，教師應(yīng)刻畫數(shù)學(xué)知識(shí)的多種表征，發(fā)揮“多元表征”的相互聯(lián)系與互補(bǔ)功能，促進(jìn)學(xué)生對(duì)表征的靈活轉(zhuǎn)化，加深他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解，深化他們的數(shù)學(xué)思維。

（五）整合環(huán)境，倡導(dǎo)創(chuàng)新

職高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生選用自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，同時(shí)設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動(dòng)，從而讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

案例4 "一元二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

問題1：為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊靠墻（邊長25米）的空地上修建一個(gè)矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40米的柵欄圍住。若設(shè)綠化帶BC的邊長為x米，綠化帶的面積為y平方米。

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍;

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，滿足條件的綠化帶的面積最大？

教師要與學(xué)生一起分析問題，找出切入點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而建立關(guān)系式，形成求最值問題。最后，展示考試中的錯(cuò)解，分析原因。

問題2：眼看要畢業(yè)了，有同學(xué)建議來一次集體旅游，為我們的職業(yè)高中生活畫上圓滿的句號(hào)。班長王斌去旅行社打聽到這樣一個(gè)信息：南京兩日游每人單價(jià)360元。旅行社對(duì)超過40人的團(tuán)給予優(yōu)惠，即旅行團(tuán)每增加一人，每人的單價(jià)就降低3元。現(xiàn)在我們班級(jí)有49人，那么需要付出多少費(fèi)用呢？從旅行社考慮，當(dāng)旅行團(tuán)里的人數(shù)是多少時(shí)，旅行社可以獲得最大營業(yè)額？

問題3：最大營業(yè)額是最大利潤嗎？

如果每人在整個(gè)旅行中的成本是240元，那么人數(shù)為多少時(shí)旅行社獲得利潤最大？為了不虧本，旅行團(tuán)的人數(shù)有沒有上限呢？（師生共同解決）

三、多元表征的變式教學(xué)思考

（一）教學(xué)目標(biāo)明確

從學(xué)生的角度看，多元表征的變式教學(xué)目的是激發(fā)學(xué)生興趣，發(fā)展學(xué)生思維。這就要求多元表征的變式問題不能超越學(xué)生現(xiàn)在的水平、脫離學(xué)生生活實(shí)際，而要有一定的啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性，能促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展;從教學(xué)者的角度來看，教師應(yīng)利用實(shí)物模型、圖表、口語、書寫文本、數(shù)學(xué)公式和邏輯表示等表征各自的特點(diǎn)與功能，借助變式，明確教學(xué)目標(biāo)。所有的多元表征的變式問題都要有鮮明的意圖，并圍繞主題的目標(biāo)展開，通過系列的多元表征，學(xué)生能夠自主建構(gòu)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想、方法，教師能提高課堂教學(xué)效率。

（二）多元表征的變式問題要難度適宜

在教學(xué)活動(dòng)中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探討時(shí)，教師要預(yù)見基于學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn)和理解可能產(chǎn)生的一些不成熟表征，對(duì)學(xué)生各個(gè)維度表征進(jìn)行引導(dǎo)。需注意的是，多元表征的變式問題不能太難，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，在學(xué)生的學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，不能讓學(xué)生有望而卻步的感覺，但也不能太簡單，讓學(xué)生不動(dòng)腦筋輕易就得到答案。

（三）多元表征的變式問題要層次分明

多元表征的變式問題的設(shè)計(jì)要緊扣教學(xué)目標(biāo)，依據(jù)學(xué)生思維活動(dòng)的特點(diǎn)，遵循一種由淺入深、層層遞進(jìn)的關(guān)系，且問題與問題之間應(yīng)層次、脈絡(luò)分明。

（四）設(shè)問自然

多元表征的變式問題設(shè)計(jì)要遵循自然的規(guī)律，避免生搬硬套，過于牽強(qiáng)附會(huì)，讓人覺得不自然，琢磨不透設(shè)計(jì)的意圖，搞不清楚是怎么想到這個(gè)問題的。

注釋：

①査有梁.控制論、信息論、系統(tǒng)論與教育科學(xué)[M].成都：四川省社會(huì)科學(xué)院出版社，1986：56.

參考文獻(xiàn)

[1]鄭毓信.多元表征理論與概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（5）.

[2]鄭毓信.多元表征理論與概念教學(xué)（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（6）.

[3]鄭毓信.變式教學(xué)理論的必要發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)月刊，2006（1）.

[4]曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論（第二版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

[5]萬偉.對(duì)“先學(xué)后教”類教學(xué)模式推廣的反思[J].中小學(xué)管理，2010（11）.

[6]游建國.變式訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].時(shí)代教育：教育教學(xué)版，2008.

[7]溫和群.變式訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性[J]教育實(shí)踐與研究，2008（22）.

[8]葉興炎.變式教學(xué)——輕負(fù)擔(dān)高質(zhì)量教育的依托[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006（11）.

[9]顧泠沅，鄭潤州.青浦實(shí)驗(yàn)啟示[M].上海教育出版社，2000.