幾何概型常見錯(cuò)誤辨析

在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式為 ，

根據(jù)筆者的理解，其中D、d是指空間形式（如線段、射線、直線、角、平面圖形、立體圖形等）所表示的區(qū)域，測(cè)度是指度量區(qū)域所得到的數(shù)量（如長(zhǎng)度、角度、面積、體積等）。在幾何概形中，每個(gè)基本事件可視為從區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣。因此D的測(cè)度就是所有等可能基本事件相應(yīng)區(qū)域的數(shù)量，d的測(cè)度就是包含A的等可能基本事件相應(yīng)區(qū)域的數(shù)量。

在解幾何概型問題時(shí)，最容易犯以下兩種錯(cuò)誤：（1）選取的空間形式表示的區(qū)域不符合題意；（2）基本事件在相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)不等可能出現(xiàn)。而且不易辨析。如王波鳳對(duì)例1的求解是這樣評(píng)析的：

例1，已知直線l過點(diǎn)E（-1，0），l與圓C：（x-1）2+y2=3相交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB≥2的概率為 。

解法一：如圖1，設(shè)直線l方程為y=k（x+1），代入（x-1）2+y2=3，得（k2+1）x2+2（k2-1）x+k2-2=0，因?yàn)閘與ΘC相交于A、B兩點(diǎn)，所以△=4（k2-1）2-4（k2+1）（k2-2）>0，解得 …（1）。

因?yàn)閳A的半徑 ，所以弦長(zhǎng)AB≥2時(shí)，圓心C到

直線l的距離d≤ ，即 ≤ ，解得-1≤k≤1…（2）。

由幾何概型可知，事件M為直線l與圓C相交弦長(zhǎng)AB≥

2的概率P（M）= 。

另一部分學(xué)生認(rèn)為這道題應(yīng)該用直線的傾斜角來算。

解法二：前面部分同解法一，得到（1）、（2）兩式后，根

據(jù)斜率與直線傾斜角的關(guān)系，得到P（M）= 。

到底哪種方法正確呢？通過分析，這道題的試驗(yàn)是過定點(diǎn)作直線，用傾斜角是均勻的，而斜率不能均勻，不滿足等可能性。如斜率為1的直線已經(jīng)在第一象限的角平分線了，這樣前一種方法就錯(cuò)了。

筆者認(rèn)為以上評(píng)析有三點(diǎn)需要糾正。其一，解法二不能稱“用直線的傾斜角來算”，因?yàn)閮A斜角的范圍是[0°，180°），而應(yīng)該改成“用以射線EC為始邊，以射線EA為終邊所形成的角”來算。其二，“斜率為1的直線已經(jīng)在第一象限的角平分線了”，也只有在直線已經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)才能這樣說。其三，解法一用直線的斜率作為所表示區(qū)域，王波鳳認(rèn)為“斜率不能均勻，不滿足等可能性。”，其實(shí)例1中直線l的斜率可以這樣理解：

如圖2，令圓C與x軸正半軸相交于D，過D點(diǎn)的圓C的切線為DF。在x軸上方設(shè)過E點(diǎn)的直線l與DF相交與G

點(diǎn)。因?yàn)樾甭?，所以DG=kED=（2+ ）k，這就是

說根據(jù)斜率k，在DF上可以截得確定的線段長(zhǎng)DG；反過來，在x軸上方的DF上截取確定的線段長(zhǎng)，就能得到唯一相應(yīng)的斜率k。根據(jù)對(duì)稱性，在x軸下方也有類似的情況。也就是說，直線l的斜率可由切線DF上所取的G點(diǎn)來確定，而G點(diǎn)在DF上是等可能出現(xiàn)的，因此例1中用直線l的斜率作基本事件相應(yīng)的區(qū)域是滿足等可能性的。

圖1 圖2

解法一錯(cuò)誤的真正原因，應(yīng)該是選取的空間形成的區(qū)域不符合題意。因?yàn)楦鶕?jù)題意，直線l應(yīng)該由過E點(diǎn)與射線EC成不同的角而得到，并不是在圓C的切線DF上取不同的點(diǎn)而得到。所以糾正后的解法二是正確的。

下面的問題提醒我們要注意幾何概型問題的另一類錯(cuò)誤。

例2，如圖3中，給定兩個(gè)平面向量 和 ，它們的夾角為120°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上，且 （其中x、y∈R），則滿足x+y≥ 的概率為 。

解法一：在圖3中，過C點(diǎn)分別作OA、OB的平行線CD、CE。設(shè)∠AOC=θ（θ∈[0°，120°]）。令圓O的半徑為1，在△COE和△COD中，用正弦定理分別得x=OE=

， ， [sinθ+sin（120°-

θ）]=2cos（θ-60°）。

因?yàn)?°≤θ≤120°，所以-60°≤θ-60°≤60°，于是x+y∈

[1，2]，所以滿足x+y≥ 的概率為 。

圖3 圖4

錯(cuò)因分析：

由解法一，已得x+y=2cos（θ-60°），且-60°≤θ-60°≤60°。要否定“基本事件是等可能出現(xiàn)的”，只要舉出一個(gè)反

例就夠了。例如：當(dāng) 時(shí)， ，于是

得θ-60°=-30°或θ-60°=30°，即θ=30°或θ=90°，這時(shí)AB弧上有兩點(diǎn)F、G與 對(duì)應(yīng)；當(dāng)x+y=2時(shí)，cos（θ-60°）=1，于是得θ-60°=0°，即θ=60°。這時(shí)AB弧上只有一點(diǎn)H與x+y=2對(duì)應(yīng)。如圖4。這說明用x+y作為空間形式相應(yīng)的區(qū)域，基本事件是不等可能出現(xiàn)的，解法一是錯(cuò)誤的。