如何在課堂教學中利用高考壓軸題

【摘 要】一方面，高考真題是高三學生復習的寶貴資源；另一方面，把關題、壓軸題難度大，不適合課堂教學。那么如何在課堂中充分利用這些難度大的高考題？本文以江蘇近幾年高考與數列相關的把關題、壓軸題為例，說明適當鋪墊可以解決這個問題。這不僅在思路上給予學生提示，且分散了整道題的難點，便于在課堂中利用。

【關鍵詞】數列壓軸題 課堂利用 鋪墊

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）07-0135-02

一方面，高考真題是高三學生復習的寶貴資源；另一方面，把關題、壓軸題難度大，不適合課堂教學。那么，如何在課堂中充分利用這些難度大的高考題？

適當鋪墊可以解決這個問題，它不僅在思路上給予學生提示，且分散了整道題的難點，便于在課堂中利用。

下面以江蘇近幾年高考與數列相關的把關題、壓軸題為例，說明這個問題：

2008年，江蘇省高考執行了新的改革方案，分析江蘇這幾年的高考題發現，數列在江蘇高考中始終是一道小題一道大題，且大題幾乎都為難題，與其他省市常考的數列與不等式相結合而形成難點不同，江蘇高考數列題有其獨特的風格，主要難點回歸等差等比數列的整體性質，不僅要求學生對代數式有較強的化簡、變形能力，還重點考查學生的數學素養。

如2008年先要意識到一個既等差又等比的數列是常數

列，再是存在性命題的證明；2010年對 （m+n=3k）

下確界的估計；2011年由角標差3和差4的項成等差數列，得出數列本身是等差數列；2012年由1

必須承認，命題者的設計非常精妙。但從學生的角度思考，這些問題是如何想到的？這需要多么高的數學素養。

網上曾經流傳一句話：“世界上沒有無緣無故的愛，也沒有無緣無故的恨，更加沒有無緣無故的第一小問。——數學老師”。而江蘇這幾年的數列題，恰恰是“無緣無故的第一小問”；換句話說，整道題難點的解決缺少適當的鋪墊。這使得學生解題時感覺無從下手，特別是2011年作為壓軸題，難倒了99.9%以上的考生，而2012年的試題難度不亞于2011年。

例1，各項均為正數的數列{an}和{bn}滿足： ，

n∈N*。（1）略；（2）設 ，n∈N*，且{an}是等

比數列，求a1和b1的值（2012年江蘇卷）。

據2012年江蘇高考命題組的說明，本題考查等差等比數列的基本性質、基本不等式等基礎知識，重在考查考生分析探究及邏輯推理的能力，但從（2）的題干來看，想到用基本不等式估計數列{an}的界是不容易的，通過觀察表達式

，聯想到不等式 ≤ ≤ （a>0，

b>0），這需要一定數學素養的。在此題背景下，學生容易想到列方程求解，但求值遇到困難時，縮小a1、b1范圍這樣的思路是困難的。這是解不定方程的基本思路，而非競賽的中學生腦海中沒有這樣的概念，實際課堂中學生會陷入迷茫，因此如果學生第二問遇到瓶頸，不妨作如下鋪墊：

（2）證明：1

（3）設 ，n∈N*，且{an}是等比數列，求a1

和b1的值。

由 證明1

容。但也需要將基本不等式適當變形。故此問可以反映學生對基本不等式掌握情況。有了10，q>1時，an→+∞；a1>0，0

例2，（1）設a1，a2，…，an是各項均不為零的等差數列（n≥4），且公差d≠0，若將此數列刪去某一項得到的數列

（按原來順序）是等比數列。①n=4時，求 的數值；②求

n的所有可能值；（2）求證：對一個給定的正整數n（n≥4），存在一個各項及公差都不為零的等差數列b1，b2，…，bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列（2008年江蘇卷）。

對于（1）命題組給出的答案是：先證明一個“基本事實”：一個等差數列中，若連續三項成等比數列，則這個數列的公差為0……

如果學生能意識到這個“基本事實”，說明對等差等比數列已有深入的理解，并具備很好的數學素養；但若意識不到這一點，那么對（1）②會無從下手，課堂教學陷入停滯，此時不妨作鋪墊：（1）證明：一個等差數列中，若有連續三項成等比數列，則這個數列的公差為0；（2）設a1，a2，…，an是各項均不為零的等差數列（n≥4），公差d≠0，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列，求n的所有可能值；

“基本事實”的證明可以反映學生對等差等比數列的掌握程度，而且鋪墊后，作為把關題的第一問，難度也適中。由此鋪墊，學生容易分析出4≤n≤5，故直接去掉問題（1）①。接下來用分類討論的思想進行分析探究也便順其自然，課堂自然流暢。

對于原題（2），初讀會讓人發懵，但是用反證法證明這種存在性命題應該是能夠想到的：假設對于某個正整數n，存在一個公差為d′的等差數列b1，b1+d′，…，b1+（n-1）d′，其中3項：b1+m1d′，b1+m2d′，b1+m3d′成等比數列，下面就是形式的運算：（b1+m2d′）2=（b1+m1d′）（b1+m3d′），然后呢？很多學生沒有處理這一問題的后續手段，問題卡殼。如何給予學生適當的鋪墊使其能夠解決問題呢？不妨先讓學生做2007年福建理科卷21題：

等差數列{an}前n項和為Sn，a1=1+ ，S3=9+ ，

bn= （n∈N*），求證：{bn}中任意不同的三項都不能構

成等比數列。

易得bn=n+ ，若{bn}中存在3項bp，bq，br成等比數列，則bq2=bpbr，代入通項化簡：（q2-pr）+（2q-p-r）

=0， = ，無理數=有理數，矛盾。

bn=n+ 已經是滿足江蘇卷19題（2）的特殊數列；那么一般地，上述過程對處理“（b1+m2d′）2=（b1+m1d′）

（b1+m3d′）”有什么幫助？同樣化簡得（1+m2 ）2=（1

+m1 ）（1+m3 ），（m1+m3-2m2）-（m22-m1m3）

=0，因此只要取 ∈R＼Q即可。

例3，設M為部分正整數組成的集合，數列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn，已知對任意整數k屬于M，當n>k時，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立。（1）略；（2）設M={3，4}，求數列{an}的通項公式（2011年江蘇卷）。

作為壓軸題，第（2）問難度過大，區分度小。命題組提供的參考答案從遞推式入手，利用通項與前n項和的關系，由角標差3和角標差4的項都成等差數列，推出數列本身是等差數列，想到這點談何容易。因此課堂教學中，可以設計鋪墊性的一問：（2）設M={3，4}，①證明：{a3k}，{a4k}成等差數列，并探究其公差之間的關系；②求數列{an}的通項公式。

有①作鋪墊之后，問題的難點已經轉移到了①上，但學生會有目的地去挖掘角標差3的項和角標差4的項之間的關系。這樣的鋪墊不僅利于學生思考問題，且鋪墊本身具有探索性，使得原來因難度過大而導致區分度小的壓軸題具有很好的區分度，不失為一道好題。

從上面的例子可以看出，適當的鋪墊可以讓這些學生“望而生畏”的高考題得以在高三課堂教學中有效利用。當然鋪墊也應當掌握一定的原則：（1）鋪墊應對準整道題難點的出題思路，不能“無緣無故”；（2）鋪墊不能讓問題難度降低太多，致使整道題失去意義；（3）鋪墊本身應盡量具備探索意義，提升整道題的價值。

〔責任編輯：肖薇〕