基于Hadamard矩陣的正交多相序列集構造

摘 要：該文分析了構造Hadamard矩陣的方法，并結合四相序列的相關函數的定義，在Hadamard矩陣的構造方法的基礎上，構造出了具有正交性質的四相序列集。

關鍵詞：正交序列；四相序列

中圖分類號：O157.4 文獻標識碼：A 文章編號：1674-7712 （2014） 16-0000-01

根據通信原理的特性，理論上采用正交劃分的方法來區分多路通信中一條鏈路上的多個用戶信號。常用的正交劃分體制中就包括利用正交編碼劃分的碼分制。隨著信息技術的應用及其他理論的進一步發展，周期相關信號已經不局限于二進制信號。由于信號元數變化范圍的增加可以使得最佳相關信號的存在范圍大幅增加，為了滿足工程的應用需要，人們逐漸研究了相關多元序列，如：最佳三元序列、最佳多值序列和最佳多相序列、幾乎最佳多元和多相序列等。

而在正交編碼理論中，由法國數學家M.J.Hadamard[1]于1983年首先構造出來的Hadamard矩陣具有非常重要的應用價值，它的每一行和每一列都是一個正交碼組。本文在有關Hadamard矩陣的構造方法的基礎上，結合四相序列的相關函數的定義，推廣構造出了具有相互正交性質的四相序列集。

一、Hadamard矩陣的構造研究

首先簡單介紹下Hadamard矩陣的相關知識。

定義1 若一個n階方陣H，其元素均為1或-1，若H滿足HHT=nI，其中HT為H的轉置矩陣，I為n階單位矩陣。則稱H為Hadamard矩陣。

基于Hadamard矩陣所具有正交性，最大行列式值與元素二元性，關于Hadamard矩陣的研究已取得豐碩的成果。Hadamard矩陣主要包括Williamson Hadamard矩陣，Paley Hadamard矩陣，以及Sylvester Hadamard矩陣三大類。其中最后一種Sylvester結構曾被用于構造各種具有良好性質的序列集。例如唐小虎等[2]在Sylvester Hadamard矩陣的基礎上構造出了可用來構造LCZ序列的序列集U。此外有學者曾找出了最佳二進陣列與高維Hadamard矩陣之間的密切關系。下面介紹幾條性質與引理。

性質1 矩陣H為Hadamard矩陣的必要條件是其階數n為1，2或4的倍數。

性質2[3] 設A11= ，A12= ，A21= ，A22= ，B11= ，B12= ，B21= ，B22= ，P2×2表示由所有的2階方陣構成的是實線性空間。定義線性算子T：P2×2→P2×2，使得T（Aij）=Bij，i，j取遍1，2。則

引理1[3] 設C是4n階方陣C=（Ci，j）2n×2n，且Cij（i，j=1，2，…，2n）∈{±A11，±A12，±A21，±A22}，且滿足CCT=nI4n。其中I4n表示4n階單位矩陣。構造一個4n階方陣D=（Di，j）2n×2n

其中Dij=T（Cij）（i，j=1，2，…，2n），則D是一個4n階Hadamard矩陣。

引理2[3] 若存在一個n階Hadamard矩陣和一個滿足下列條件的n+2階方陣G=（gij）（n+2）×（n+2），GGT=（n+1）In+2，其中，當i≠j時，gij=1或-1，當i=j時，gij=0。

則必存在4（n+1）階Hadamard矩陣。

引理3[3] 若存在pr-1階Hadamard矩陣，其中p是大于2的素數，且pr≡1（mod 4），則必存在一個4pr階Hadamard矩陣。

二、正交四相序列集的構造

基于上述Hadamard矩陣的構造思想，可將其構造方法從二元矩陣推廣到四元矩陣，構造出含有±1，±i的正交四相序列集。

命題1 構造兩組復線性空間的基{Ai}，{Bi}，i=1，2，…，8。

定義復線性空間上的線性算子L滿足L（Ai）=Bi，i=1，2，…，8。則線性算子L具有以下性質：

在上述規定運算下，參照上節引理的構造方法，可以得出以下結論。

定理1 設C是4n階方陣C=（Ci，j）2n×2n，且Cij（i，j=1，2，…，2n）∈{±Ai，i=1，2，…，8}，且滿足C =nI4n。其中I4n表示4n階單位矩陣。構造一個4n階方陣D=（Di，j）2n×2n

其中Dij=L（Cij）（i，j=1，2，…，2n），則D =4nI4n，即D中任意兩行不同序列正交。（矩陣 為矩陣A的共軛矩陣，即A中的每個元素都取共軛）

證明：由題，因C =nI4n，則有

對任意的i；j計算

故D =4nI4n，即D中任意兩行不同序列正交得證。

至此本文在Hadamard矩陣的構造方法的基礎上，結合四相序列的相關函數的定義，推廣構造出了具有相互正交性質的四相序列集。

參考文獻：

[1]Hadamard J..Resolution d’une question relative aux determinants[J].Bull.Sci.Math，1893（17）：240-246.

[2]Tang X.H.，Udaya P..On the noncyclic property of Sylvester Hadamard matri ces[J].IEEE Trans.Info.Theory，2010（09）：4653-4658.

[作者簡介]皮玲媛（1987-），河南鄭州人，鄭州財經技師學院教師，碩士，研究方向：數學教學、密碼函數。