數(shù)學解題中的猜想方法探索

摘 要：本文結合數(shù)學解題中由猜想得到的一些數(shù)學結論出發(fā)，給出了引入猜想的幾種渠道，分析了在數(shù)學課堂進行合理猜想的方法，結合數(shù)學課堂的實際教學情況，闡述了猜想在數(shù)學解題中的應用。

關鍵詞：數(shù)學；猜想；解題；

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1674-3520（2014）-07-00-02

猜想在數(shù)學發(fā)展中有著不可忽視的作用，“先猜后證”不僅是研究數(shù)學的基本方法，同時也是學好數(shù)學、培養(yǎng)創(chuàng)造性才能的重要途徑。在數(shù)學課堂上適當?shù)膽脭?shù)學猜想，能夠縮短解決問題的時間，開發(fā)學生的智力，鍛煉學生的數(shù)學思維，提高學生的邏輯思維能力，而且還可以培養(yǎng)學生克服困難的堅強意志，自始至終地主動參與、體會數(shù)學知識探索的過程。

本文結合數(shù)學解題中由猜想得到的一些數(shù)學結論出發(fā)，給出了引入猜想的幾種方法（渠道）。

一、猜數(shù)字規(guī)律

很多數(shù)學題在解答之前學生不知道如何來求解。所以，可借助于數(shù)學猜想進行探索。雖然猜想僅是根據(jù)直覺做出判斷，并不完全可靠，但很多時候猜想可能使我們越過常規(guī)思維的步驟，而直接去感受那些未曾出現(xiàn)過的東西，從而找到解題思路。

有些數(shù)學題的內部規(guī)律很不明顯，學生一時理不出頭緒來，感覺很難解出來。這時，老師可以引導學生放棄常規(guī)思想，大膽猜想問題中隱含的規(guī)律，一旦猜想出其中的規(guī)律，問題就迎刃而解了。

例10 計算： 。

分析 這道題直接求和太麻煩了，應先讓學生仔細觀察上式，他們會發(fā)現(xiàn)式子 與 中等號左邊的式子類似，于是想到把題中的每個加數(shù)分別分解成兩個分數(shù)之差，并且前一個數(shù)分解出的減數(shù)與后一個數(shù)分解出的減數(shù)相同，這樣就可以逐一消去了。

因為

，

，

……

所以

=

=

=

=

。

通過猜想找到規(guī)律很容易就解出了這道題，而且也縮短了解題的時間。

二、猜解題方法

解題方法是根據(jù)問題所提供的信息來確定的，如果問題所提供的信息很隱蔽，不容易發(fā)現(xiàn)其內在聯(lián)系，那么，最好是憑借直覺思維，先猜猜解題方法。

例11 如鐘表上，分針、時針的重疊問題是學生很頭痛的問題，教學時，教師可以投影一個鐘表，讓學生發(fā)表自己的意見，可以提示學生：這么難的問題，如果有規(guī)律，有公式可套那該有多好！然后教師可以引導學生：鐘表一圈可以分為60格，分針每走60格，時針走5格，所以時針是分針速度的 ，那么當分針走了x格（即分鐘）時，時針走了 格

當時間為1時：可得方程

當時間為2時：可得方程

當時間為3時：可得方程

………………………………………………………

由此可以猜出：當時間 為時可得方程 。

在這個公式中，只要給出具體的值，就可以求出，這樣什么時間分針和時針相遇就會很容易求出，然后讓學生取值驗證，正確。那么難的問題用這樣一個公式就可以解決。接著教師可以“乘勝追擊”，時針和分針成角時有沒有規(guī)律？幾個學生討論后也會給出一個公式： （其中， 表示分鐘， 表示時間， 表示時針和分針所成的角度），雖然公式有一定的局限性，但出自學生之手，卻也來之不易。

三、猜問題的結果

有些開放性問題，沒有具體的結論，由于不知道目標是什么，也就無法制定解題方法。所以，應該像波利亞所說那樣：“可以在學生做題之前猜測該題結果或者部分‘結果’，這對尋找解題方向，制定解題策略是非常有用的。”

分析 如果結論成立，即平面SC 平面BDE則SC就垂直于平面上的所有直線，至少要垂直于其上的兩條相交線。SC DE為已知，則SC還要垂直于另一條直線BE或DB。由于E是SC的中點，BS必須BC與相等，這點容易由題設得到，所以此猜想成立。

要求二面角的平面角，最好在原圖中存在。其棱為BD這里有兩個角： 先看 ，若是，這就說明CD BD，ED BD。而由于SC垂直平面BDF，得SC BD。再由三垂線定理的逆定理可得CD BD。繼續(xù)看DE與BD、DE 關系，因為 所以BD垂直平面ASC，DE在平面ASC上，所以BD DE，這樣就證出了角EDC為二面角E-DB-C的平面角，再進一步求就可以了。

通過猜想結果，就可以把求解轉化為一個求證題，從而明確了解題方向。而且根據(jù)猜出的結果，我們就更容易找到解題方法。

四、猜特殊性質

有些問題具有特殊性質，而這些性質往往就是解題的關鍵，如果可以根據(jù)題中所提供的信息，大膽的去猜想，往往可使他們沖破常規(guī)思維的束縛，找到解題的關鍵。

例13 如圖：已知為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且三角形DEF也是等邊三角形。那么除已知相等的邊以外，還有哪些相等的線段？

分析AE=BF=CD， AF=BD=CE。題中給出的兩個三角形都是等邊三角形，因此可以根據(jù)等邊三角形的特殊性質猜測一下還有相等的線段是：，。然后再證明就可以了。

這道題就是根據(jù)特定圖形的特殊性質猜測可能的結果，然后再進行證明就簡單多了。

總之，我們要經常提醒學生，在解題之前，要尋找感覺，要進行猜想。只有敢于探索、敢于創(chuàng)新才會有所發(fā)現(xiàn)，因此教師要鼓勵學生敢于大膽的猜想，勇于開拓；同時又要培養(yǎng)學生具有科學家們頑強奮斗、不怕失敗，勇于拼搏的精神，這也正是《數(shù)學課程標準》中的情感態(tài)度與價值觀的具體體現(xiàn)。

參考文獻：

[1]張維，李得虎.數(shù)學方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2003.49-79

[2]唐瑩瑩.淺談數(shù)學猜想的應用及教學價值[J].中國科教創(chuàng)新導刊，2009，（30）：69-71

[3]G波利亞.數(shù)學與猜想[M].北京：科學出版社，1984.1-5

[4]李明振.數(shù)學猜想初探[J].信陽師范學院學報，1989，（2）：96-99

[5]唐煌，吳開明.從費爾馬猜想談起[J].自然辯證法研究，1997，（10）：36-39

[6]劉浩文.數(shù)學：讓我們合理的猜想[J].數(shù)學通報，2001，（8）：5-7

[7]徐本顧，解恩澤.數(shù)學猜想集[M].長沙：湖南科學技術出版社，1998.180-193、218-220