淺談高階導(dǎo)數(shù)的求法

摘 要：本文主要通過一些典型例題從四個(gè)方面探討了高階導(dǎo)數(shù)的求法。包括：根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義求之、利用高階導(dǎo)數(shù)公式求之、使用萊布尼茲公式求之、用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之等。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；高階導(dǎo)數(shù)；階導(dǎo)數(shù)；

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-3520（2014）-07-00-02

定義：函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 仍是x的導(dǎo)數(shù)，則稱的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)。一般地，如果 的 階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，則稱 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 的n階導(dǎo)數(shù)，記為 。二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。下面筆者就高階導(dǎo)數(shù)的求法做一探討。

一、根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義求之

根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義可知，求高階導(dǎo)數(shù)只需運(yùn)用求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則等求導(dǎo)方法逐步求導(dǎo)即可。對(duì)于n階導(dǎo)數(shù)，可先求出函數(shù)的前幾階導(dǎo)數(shù)后，分析結(jié)果的規(guī)律性，從中找出規(guī)律，歸納出階導(dǎo)數(shù)。

例1：設(shè)函數(shù) ，求 。

解：，， ，

由此，得：，。

例2：設(shè)，求。

解：因

所以 。

二、利用高階導(dǎo)數(shù)公式求之

高階導(dǎo)數(shù)常用公式如下： ， ，

常把求高階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)化為適合應(yīng)用上述公式的函數(shù)或其代數(shù)和，然后利用公式求之。在求有理分式函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般先把有理函數(shù)化為多項(xiàng)式與最簡(jiǎn)分式之和，然后再利用公式分項(xiàng)求其階導(dǎo)數(shù)。在求某些三角函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)時(shí)，也需要用三角函數(shù)恒等式及有關(guān)公式先把它化為

，之和或差的形式，然后再利用公式求其階導(dǎo)數(shù)。

例3：求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表示式。

三、使用萊布尼茲公式求之

萊布尼茲公式：設(shè) 階可導(dǎo)，則 當(dāng)所求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，宜用萊布尼茲公式求之。特別地，當(dāng)其中一個(gè)因子為次數(shù)較低的多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，由于階數(shù)高于該次數(shù)的導(dǎo)數(shù)均為零，因而求導(dǎo)結(jié)果比較簡(jiǎn)單，故常用此式求以多項(xiàng)式為因子的函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)、指定階的導(dǎo)數(shù)、指定階的導(dǎo)數(shù)在指定點(diǎn)的值。另外，當(dāng)兩個(gè)因子函數(shù)中，其中有一個(gè)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)有明顯的規(guī)律性時(shí)，也常用萊布尼茲公式求其高階導(dǎo)數(shù)。

四、用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之

定理：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)處仍可導(dǎo)，且有 ，或記為

。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則也可推廣到多次復(fù)合的情形。在求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)從外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，一直求到對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)為止。若

存在單值反函數(shù) ，常用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，求其反函數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù) 。

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