淺談數集確界及確界原理

【摘 要】本文應用兩種定義的方式說明確界，并通過例題加以說明和區別。同時采用了反證法對確界原理加以簡單證明。

【關鍵詞】數集 確界 確界原理

【中圖分類號】O17 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）24-0087-01

一 關于數集上下確界的精確定義

設S是R中的一個數集，若η滿足：（1）對一切x∈S，有x≤η，即η是S的一個上界；（2）對任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α，即η又是S的最小上界，則稱η為數集S的下確界，記作η=sup S。

同理可定義下確界ξ=inf S。

例1，設數集S有上確界，證明η=sup S∈S是η=max S的充分必要條件。

證明：充分性：設η=sup S∈S，對一切x∈S有x≤η，而η∈S，于是η是數集S中最大的數，即η=max S。

必要性：設η=max S，則η∈S。下面應用上述定義證明η是S的上確界：（1）對一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；（2）對任何的α<η，只須取x0=η∈S則x0>α。從而滿足定義，即η=sup S。

二 關于數集上下確界的第二種定義

設S是R中的一個非空數集，若實數η滿足：（1）對任意x∈S有，x≤η，即η是S的一個上界；（2）對任意的ε>0，存在x0∈S，使得x0+ε>η（或x0>η-ε），即η又是S的最小上界，則稱η為數集S的下確界，記作η=sup S。

同理可定義下確界ξ=inf S。

例2，設A與B都是非空有界數集，定義數集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}。請證明：sup（A+B）=supA+supB。

證明：對任意的c∈A+B，存在a∈A，b∈B，使得c=a+b，則設supA=η1，supB=η2，于是a≤η1，b≤η2，c≤η1+η2。因此η1+η2是A+B的一個上界。

對于任意正數ε存在a∈A，b∈B，使得a>η1-，

b>η2-。于是，a+b∈A+B，并且a+b>（η1+η2）-ε，

于是sup（A+B）=η1+η2，即sup（A+B）=supA+supB。

三 關于數集的確界原理

設S為非空數集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。

例3，設f（x），g（x）在D上有界，請證明：

。

證明：。即

是f（x）+g（x）在D上的一個下界。有下確界定

義，有。

另一方面，由下確界的定義，

。

所以，

。

綜上可得，

。

四 用反證法證明確界原理

這里只證明有上界就必有上確界。

證明：設S是非空有上界的數集，即存在M，使得對一切x∈S有M≥x。所以再令E={y|y是S的上界，y≤M}，因為M∈E，所以E是非空集合。

任取y1，y2∈E，對于所有的0≤α≤1，有αy1+（1-α）y2∈E，所以E是一個連續的區間。

下面證E中存在最小的數，是S的上確界。

假設E中不存在最小的數，即E=（-∞，M]或E=（a，M]。

當E=（-∞，M]時，即-∞是S的上界，所以S必為空集，這與S≠?矛盾。

當E=（a，M]時，由aE可知a不是S的上界。所

以存在x0∈S，使得x0>a恒成立。所以，且

。即不是S的上界，即E… （1）

顯然，當E=（a，M]時，必有∈E…（2）。（1）

與（2）矛盾，所以E=（a，M]不成立。

綜上有E中存在最小的數，不妨記作η，則η=sup S

五 關于確界的拓展

若把±∞補充到數集中，則任意非空數集都有上下確界（正常的或非正常的）。

例如，對于正整數集N+有inf N+=1，sup N+=+∞；對于數集S={y|y=2-x2，x∈R}有inf S=-∞，sup S=2。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系.數學分析·上冊（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011

[2]任親謀.數學分析選講[M].西安：陜西師范大學出版社，2008

[3]肖娟、邱德華.確界原理的一個簡單證明[J].衡陽師范學院學報，2005（12）

〔責任編輯：李錦雯〕