攝動條件下橢圓軌道衛星相對運動研究

饒殷睿，殷建豐，韓 潮

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

0 引言

隨著航天技術的不斷發展，衛星編隊飛行因其誘人的應用前景，逐漸成為航天領域的研究熱點。編隊飛行衛星具高可靠性和編隊可重構的優勢，主要用于對地觀測、精確定位、天文觀測以及電子偵察等領域。這些應用對精度的要求很高，因此研究高精度的編隊飛行衛星系統相對運動模型意義重要。文獻［1］建立了一種系統、準確、穩定、可控，可通過相對測量信息高精度地自主確定的相對運動模型，采用球面幾何方法，嚴格定義了相對軌道要素，推導了開普勒軌道條件下高精度橢圓軌道近距離相對運動方程［2］。本文稱其為經典相對軌道要素描述的相對運動模型。但衛星在實際運行中會受到地球非球形引力、第三體引力、太陽光壓、大氣阻力等多種攝動力的作用［3］。在攝動力的影響下，編隊飛行衛星的軌道根數及相對軌道會發生變化，雖然這些攝動力與地球中心引力相比非常小，但長期作用仍可使衛星軌道偏離衛星應用任務的要求［4］。因此，在需要高精度軌道預報的衛星編隊飛行研究中，這些攝動力不能被忽略。編隊飛行衛星的攝動分析方法主要有動力學方法和運動學方法兩種。動力學方法主要是求解Hill方程，即將攝動的影響作為力函數添加到Hill方程右端，使其適于攝動條件下衛星相對運動的研究［5］。但這需求解非線性微分方程，難度較大，且僅在某些特殊情況下才能獲得解析解［6］。運動學方法是基于運動學模型的攝動分析方法，通過研究軌道根數在各種攝動力影響下的變化分析編隊飛行衛星的攝動問題［7］。對此，國內外已有相關研究［8－9］。本文在經典相對軌道要素法的基礎上，考慮地球非球形引力、大氣阻力及三體引力等攝動力的影響，為相對軌道要素添加相應的攝動項，以推導適于橢圓和近圓攝動軌道的預報算法，拓展相對軌道要素基本理論，對攝動條件下的衛星高精度近距離相對運動模型建立進行了研究，并討論了該模型的有效性和精度。

1 相對軌道要素定義

文獻［1］推導了開普勒軌道條件下相對軌道要素的相關公式，其定義為

式中：μ為地心引力常數；a為半長軸；i為軌道傾角；e為偏心率；ω為近地點幅角；Ω為升交點赤經；M為平近點角；下標a，b分別表示參考星和伴隨星。

對衛星近距離相對運動，在小角度相對運動假設條件下，由一階線性展開可導出從絕對軌道要素｛a，e，Ω，i，ω，M｝與 相 對 軌 道 要 素 ｛D，Δex，Δey，Δix，Δiy，ΔM′｝間相互轉換的直接表達式為

式中：為平均角速度，且

2 攝動力模型

根據文獻［10］的攝動力模型，引入擬平均根數定義，令ξ＝ecosω，η＝－esinω，λ＝ω＋M，以a，i，Ω，ξ，η，λ作為新的絕對軌道六要素，以消除e＝0和通約奇點。此處所有參數采用的單位制均為標準單位制，即長度和質量單位各為參考橢球體赤道半徑ae和地球質量M，且使引力常數G＝1，相應的時間單位T＝ （（ae）3／（GM））1／2＝806.811 6341s。此處：GM＝3.986 005×1014m3／s2。

2.1 非球形引力攝動

因地球的密度分布并不均勻，其形狀亦不是球形，且相當不規則。對人造地球衛星的運動來說，此形狀和密度分布的非球形部分是不可忽視的一種攝動源（地球非球形引力攝動）。對近地軌道衛星，主要帶諧項J2項攝動是影響其運行軌道的最主要攝動源。衛星在中心引力場和J2項攝動作用下，以σ0表示初始時刻衛星密切軌道根數，其瞬時軌道根數的變化為

在以上三種攝動項中，對近地衛星軌道影響最大的為一階長期項，與其相比，短周期項和一階長周期項的影響可忽略。一階長期項可表示為

2.2 大氣阻力攝動

由于人造地球衛星是在近地空間飛行，特別是低軌道衛星高度僅數百公里，甚至低于200km，大氣的阻尼影響較顯著，使衛星橢圓軌道不斷變小變圓，因此大氣也是影響衛星運動的一種主要攝動因素，特別是對那些面質比較大的低軌衛星［11］。為便于研究，作如下假設：大氣層受地球扁率的影響，即考慮扁球大氣，但不考慮日下點大氣密度的突變；大氣層旋轉角速度與地球自轉角速度相同；衛星橫截面積S不變［12－13］。則大氣阻力攝動的長期攝動項系數可表示為

此處：CD＝2.2；C≈0.1；S／m≈109；ne為地球自轉角速度；μ′≈0.1；z0＝a0e0／Hp0；ρp0，Hp0分別為衛星軌道初始近地點處的密度和標高；σ0為初始近地點處的軌道根數；In（z）（n＝1，…，6）為第一類虛變量的貝塞爾函數［14－15］。為表達簡潔，式（21）～（25）中In（z）均簡寫為In。

2.3 三體引力攝動

日、月和大行星的引力作用對人造地球衛星尤其是遠地衛星運動的影響，是天體力學中的一種典型的第三體攝動問題。雖然這類攝動力也是一種保守力，但由于日、月和地球、衛星相距都不太遠，問題顯得較復雜。對高精度要求，日、月和地球不能簡單視作質點，而應精確計算日、月的位置。本文主要考慮日月攝動引起的衛星軌道變化的三個攝動項中的二階長期項σc（t－t0），有

對月球，有

式中：

3 攝動條件下基于相對軌道要素的橢圓基準軌道的相對運動描述

3.1 相對軌道要素變換

根據前文提到的擬平均根數法，令ξi＝eicosωi，ηi＝－eisinωi，λi＝ωi＋Mi（i＝a，b），并以a，i，Ω，ξ，η，λ作為新的絕對軌道六要素，則相對軌道要素可表示為

3.2 考慮攝動影響的相對軌道要素計算

將上述各攝動力對衛星軌道根數的影響表達式代入相對軌道要素的定義式中，并將其化為標準單位，可得

式中：

3.3 橢圓基準軌道相對運動描述

以上述攝動條件下的相對軌道要素為基本參數，建立衛星近距離且考慮攝動力作用時相對距離和相對速度的代數關系，結果適用于攝動條件下的橢圓基準軌道和近圓基準軌道。

根據文獻［1］中的結論，可得伴隨衛星在基準星質心軌道坐標系中的近距離相對運動方程和速度方程為

式中：

此處：θ為真近點角；u為緯度幅角；r為軌道矢徑的模長；

注：上述各式中參數，a，e，ω均為參考星的瞬時絕對軌道要素；D，Δex，Δey，Δix，Δiy，ΔM′均為瞬時相對軌道要素；r，u均為與時間相關的變量。

將攝動模型中各攝動力影響下的絕對軌道要素（式（17）～（23）、（29）、（30））及相對軌道要素變換中給出的帶攝動項的相對軌道要素（式（40）～（45））的表達式代入式（52）～（58），可得攝動條件下伴隨星相對參考星的位置速度方程。

對速度方程，需說明的是由于帶攝動項的相對軌道要素為時變的，在對位置方程進行求導時也應對其進行求導。但考慮相對軌道要素對時間的導數項對速度的影響較小，且為使模型盡可能簡單，故將其略去。

帶攝動項的相對軌道要素的橢圓基準軌道相對運動方程的形式與經典相對軌道要素并未復雜太多，但適用范圍卻有很大拓展。本文給出的帶攝動項的相對運動模型，可用于非球形引力、大氣阻力、三體引力等攝動力影響下橢圓軌道衛星的相對軌道預報。

4 數值算例

本章算例中的精確解通過高精度軌道預報器精確計算出兩顆衛星在地心赤道坐標系中的位置和速度，進而計算兩星的相對位置和相對速度，最后投影到軌道坐標系得到［16］。

算例1：非球形引力攝動在近地橢圓基準軌道衛星相對運動中的影響分析

選擇高精度軌道預報器的攝動類型為非球形引力攝動，編隊飛行特征尺度1km，基準軌道偏心率0.01，典型的初始軌道參數見表1。

考慮與不考慮非球形引力攝動相對運動分析結果如圖1所示。衛星運行10圈的誤差值統計結果見表2。

由圖1、表2可知：在考慮非球形引力攝動影響時，對近地橢圓基準軌道而言，無攝動項的橢圓相對運動模型誤差非常大，本文給出的帶非球形引力一階長期攝動項的橢圓相對運動模型較好地適應了非球形引力攝動對橢圓基準軌道的影響，相對軌道預報精度誤差保持在十米級的標準，相對誤差具有百分之幾的量級精度。

說明：在考慮非球形引力攝動的影響時，在相對軌道要素中并未加入短周期項，主要是因為短周期項對衛星相對軌道的影響量級僅約1%，故可忽略。短周期項影響下衛星相對位置和相對速度誤差如圖2所示。由圖可知：與一階長期項相比，短周期項的影響很小，故在為經典相對軌道要素添加非球形引力攝動項時，只添加一階長期項部分既可簡化瞬時相對軌道要素計算的復雜性，又不降低太多精度，是合理的。

表1 算例1中衛星A、B的初始軌道參數Tab.1 Orbit parameters of satellite A and B in case 1

圖1 非球形引力影響下衛星相對位置和相對速度誤差Fig.1 Errors of relative position and relative velocity under effect of nonspherical gravitational perturbation

表2 算例1中衛星運行10圈后相對位置和相對速度誤差Tab.2 Errors of relative position and relative velocity after 10periods in case 1

算例2：大氣阻力攝動在近地軌道衛星相對運動中的影響分析

圖2 短周期項影響下衛星相對位置和相對速度誤差Fig.2 Errors of relative position and relative velocity under effect of short periodic term

選擇高精度軌道預報器的攝動類型為非球形引力攝動＋大氣阻力攝動，編隊飛行特征尺度為1km，基準軌道偏心率為0.001，典型的初始軌道參數見表3。說明：由于大氣阻力對近地軌道衛星影響較大，且在圓軌道的情況下會更明顯，故算例中的基準軌道取為近圓軌道。

考慮和未考慮大氣阻力攝動時相對運動分析的結果如圖3所示。衛星運行10圈的誤差統計結果見表4。

由圖3和表4可知：考慮大氣阻力攝動影響時，對近地軌道來說，無大氣阻力攝動項的相對運動模型誤差仍很大，本文給出的帶大氣阻力長期攝動項的相對運動模型可較好地反映大氣阻力對近地軌道衛星近距離相對運動的影響，相對軌道預報精度誤差保持在1m級的標準，相對誤差有百分之幾的量級精度。

表3 算例2中A、B衛星的初始軌道參數Tab.3 Orbit parameters of satellite A and B in case 2

圖3 大氣阻力影響下衛星相對位置和相對速度誤差Fig.3 Errors of relative position and relative velocity under effect of atmospheric drag perturbation

表4 算例2中衛星運行10圈后相對位置和相對速度誤差Tab.4 Errors of relative position and relative velocity after 10periods in case 2

算例3：三體引力攝動在遠地橢圓基準軌道衛星相對運動中的影響分析

選擇高精度軌道預報器的攝動類型為非球形引力攝動＋日月引力攝動，編隊飛行特征尺度為1km，基準軌道偏心率為0.01，典型的初始軌道參數見表5。

圖4 三體引力影響下衛星相對位置和相對速度誤差Fig.4 Errors of relative position and relative velocity under effect of third body gravitational perturbation

考慮和未考慮三體引力攝動時相對運動分析結果如圖4所示。衛星運行10圈的誤差統計結果見表6。由圖4和表6可知：考慮三體引力攝動影響時，對遠地橢圓基準軌道來說，無三體引力攝動項的橢圓相對運動模型誤差較大，本文給出的帶三體引力長期攝動項的橢圓相對運動模型在一定程度上減小了因日月引力攝動造成的軌道預報誤差，相對軌道預報精度誤差保持在米級的標準，相對誤差具有千分之幾的量級精度。

算例4：相對軌道要素在攝動條件下的特性分析

由前三個算例已發現，非球形引力攝動、大氣阻力攝動以及三體引力攝動對衛星近距離相對運動軌道的影響很大，不可忽略。經典相對軌道要素與帶攝動項的相對軌道要素分別描述的相對運動模型的誤差較大的原因是：在攝動條件下，相對軌道要素隨時間不斷變化，而經典相對軌道要素是常量，其預報的相對運動軌道與精確解間的誤差較大。取與算例1相同的基準軌道參數，考慮非球形引力、大氣阻力、三體引力等三種攝動力的影響，計算各時刻相對軌道要素的值，并求得其與高精度軌道預報器計算得到的瞬時相對軌道要素的精確值的相對誤差，再同經典相對軌道要素與精確值的相對誤差進行對比，結果如圖5所示。

表5 算例3中衛星A、B的初始軌道參數Tabl.5 Orbit parameters of satellite A and B in case 3

表6 算例3中衛星運行10圈后相對位置和相對速度誤差Tab.6 Errors of relative position and relative velocity after 10periods in case 3

由圖5可知：加入攝動項后，瞬時相對軌道要素與精確值的相對誤差明顯減小至約0.5%，而相對軌道要素的值的精度直接關系最后求得的衛星相對運動的位置和速度的精度。因此，在攝動條件下，為經典相對軌道要素添加攝動項非常有必要且有效。

說明：由于初始給定的相對軌道要素D，ΔM′均為0，故只計算了Δex，Δey，Δix，Δiy的相對誤差。由式（40）～（51）可知，攝動項中只有大氣阻力的長期攝動項對Δiy（t）有影響，故與其他幾項相對軌道要素攝動項相比，添加與否的影響較小，圖5中經典相對軌道要素中Δiy（t）與精確值的相對誤差和帶攝動項的相對軌道要素中Δiy（t）與精確值的相對誤差接近（相對誤差曲線基本重合）。

算例5：相對運動模型精度分析

設典型初始軌道參數見表7，初始相對軌道要素按比例增加，并且衛星運行的圈數從10圈到100圈依次增加。表中：S為相對運動尺度，從1km到10km以1km為步長遞增。仿真結果如圖6～8所示。

圖5 相對軌道要素誤差分析Fig.5 Errors of relative orbit elements

表7 算例5中A、B衛星的初始軌道參數Tab.7 Orbit parameters of satellite A and B in case 5

圖6 兩種相對運動模型的相對軌道要素誤差Fig.6 Relative elements errors of two relative models

圖7 經典相對軌道要素運動模型位置速度誤差Fig.7 Relative position and velocity errors of classical relative orbit elements model

比較圖6～8可知：典型相對軌道要素描述的衛星近距離相對運動模型的相對軌道要素和相對位置速度的誤差，隨圈數和相對運動的尺度增加而急劇增大，而帶攝動項的相對軌道要素描述的運動模型的誤差，隨圈數以及相對運動的尺度增加的趨勢不明顯，出現誤差主要是由模型線性化導致。在低軌道上，帶攝動項的相對軌道要素運動模型的精度明顯高于經典相對軌道要素運動模型。這進一步表明本文給出的帶攝動項的相對軌道要素運動模型有更強的軌道類型的適應性和預報精度。

圖8 帶攝動的相對軌道要素運動模型位置速度誤差Fig.8 Relative position and velocity errors of relative orbit elements with perturbation model

5 結束語

本文對攝動條件下橢圓軌道衛星相對運動進行了研究。研究發現：本文基于文獻［1］給出的開普勒軌道的相對軌道要素，采用擬平均根數法，消除奇點情況，為其添加非球形引力、大氣阻力、三體引力部分攝動項，由此得到帶攝動項的相對軌道要素，其形式簡單，便于拓展，適用范圍廣，且易于與精確解進行誤差分析。算例表明，其與精確解的相對誤差保持在約0.5%，因此是正確而有效的。各種攝動力對衛星相對運動中的相對位置和相對速度均有很大的影響，不能忽略。文中給出的帶攝動項的相對軌道要素法提高了預報精度，其預報衛星相對運動軌道的誤差較采用經典的相對軌道要素法最多可減少近90%。本文推導的帶攝動項相對軌道要素描述的衛星近距離相對運動模型，形式簡單，計算速度快，與通過積分方法得到的精確解相比，誤差保持在十米量級，提供的模型精確有效，為衛星編隊飛行的軌道預報提供了一種新的參考模型。研究結果統一了開普勒軌道和攝動軌道的近圓和橢圓基準軌道衛星相對運動描述形式，這為軌道攝動條件下橢圓軌道衛星編隊飛行的研究提供了便利和精度保證。

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