基于微分變分原理研究相空間中非完整系統的守恒律

翟相華，張毅

(1.蘇州科技學院 數理學院，215009;2.蘇州科技學院 土木工程學院， 215011)

0 引言

尋找力學系統的守恒律一直是數學物理學科特別是分析力學的一個重要研究方向.Newton 力學建立了三個經典守恒律，Lagrange 力學和Hamilton 力學給出了循環積分和廣義能量積分，對稱性方法得到了更多的守恒律，如Noether 守恒量，Hojman 守恒量，Mei 守恒量等［1－7］.基于微分變分原理也可以直接構造系統的守恒律［7］.劉端［8］應用Jourdain 微分變分原理研究了非完整非保守力學系統的守恒律，梅鳳翔［9］研究二階非完整系統的守恒律，張毅［10］利用微分變分原理研究了單面約束系統的守恒律，李元成等［11］將結果推廣到事件空間中.但是筆者至今尚未見到利用微分變分原理研究相空間中力學系統守恒律的文獻.本文首先導出相空間中非完整非保守力學系統的微分變分原理，進而建立其在無限小變換下的不變性條件，進一步導出了相空間中非完整非保守系統的守恒律.結果表明利用微分變分原理也可以研究相空間中力學系統的守恒律.

1 相空間中非完整力學系統的微分變分原理

假設力學系統的位形由n 個廣義坐標qs(s=1，…，n)來確定，其運動受有g 個雙面理想Chetaev 型非完整約束

按約束加在虛位移上的Appell－Chetaev 定義，有

系統的運動微分方程為

其中L 為Lagrange 函數，Q″s為非勢廣義力，λβ為約束乘子.設系統非奇異，則可在運動微分方程積分之前，解出約束乘子λβ作為的函數.

令

于是方程(3)可表為

稱方程(5)為與非完整系統(1)，(3)相應的完整系統的方程.

引進廣義動量和Hamilton 函數

非保守系統的Hamilton 原理為［3－4］

其中，系統的所有主動力的虛功δW 可寫成如下形式

將(12)式代入(11)式，得到

經過變分運算，(13)式可化為

假設系統在始末位置是確定的，則有

故(14)式變為

考慮到積分區間的任意性，由(16)式我們得到

將式(17)與(18)式相加得到

式(19)是相空間中非完整非保守力學系統的微分變分原理.

引進廣義變分Δqs，Δps，Δt，其中［7］

其無限小變換分別為

假設

其中ε 為無限小參數，Fs，Gs和f 分別為無限小變換(21)的空間生成元和時間生成元.將式(22)代入到式(20)得到

將(23)式代入(19)式得到

展開(24)式，并注意到

得到

得到下述關系

這就是相空間中非完整非保守力學系統的微分變分原理不變性條件的變換，或稱原理(19)在無限小變換(21)下的變形.

2 相空間中非完整力學系統的守恒律

下面給出相空間中非完整力學系統守恒律存在的條件和形式.由式(28)知，如果無限小變換(21)的生成元Fs，Gs，f 和規范函數P 滿足如下關系

那么系統存在如下形式的守恒律

式(29)可稱為廣義Noether－Bessel－Hagen 方程，或簡稱Noether 等式.于是有

定理1 對于相應完整系統(5)，如果存在規范函數P，使得無限小變換(21)的生成元Fs，Gs，f 滿足條件(29)，那么系統存在形如式(30)的守恒律.

將式(20)，(21)，(22)代入式(9)，注意到參數ε 的任意性，得到

這是非完整約束(8)對無限小生成元的限制.

將式(31)代入式(29)，條件(29)可表為

于是有

定理2 對于非完整系統(1)，(3)，如果存在規范函數P，使得無限小變換(21)的生成元Fs，Gs，f 滿足關系(32)，且無限小生成元還滿足Appell－Chetaev 條件(31)，那么非完整系統存在形如式(30)的守恒律.

條件(31)可放寬為

于是有

定理3 對于非完整系統(1)，(3)，如果存在規范函數P，使得無限小變換(21)的生成元Fs，Gs，f 滿足關系(32)，且無限小生成元還滿足條件(33)，那么非完整系統存在形如式(30)的守恒律.

3 算 例

例1 系統的位置由兩個廣義坐標q1，q2來確定，Lagrange 函數為

非完整約束方程為

研究該系統的守恒律［7］.

首先，研究與非完整系統(34)，(35)相應完整系統的守恒律.

引入廣義動量和Hamilton 函數

根據運動微分方程(3)以及方程(35)，可解出λ，并將其表示為t，q，p 的函數

根據方程(10)，系統的非勢廣義力和非完整約束力可表示為

條件式(29)可表為

方程(39)有解

對式(40)－(43)，由定理1 中守恒律式(30)分別給出

其中守恒律I1和I2等價.

其次，研究非完整系統(34)，(35)的守恒律.

限制條件(31)給出

容易驗證式(42)和(43)滿足條件(48)，而式(40)和(41)不滿足條件(48)，故此非完整系統守恒律為式(46)和(47).

例2 Appell－Hamel 例.系統的Lagrange 函數為

非完整約束方程為

研究該系統的守恒律.

首先，研究與非完整系統(49)，(50)相應的完整系統的守恒律.

引入廣義動量和Hamilton 函數

由方程(3)和方程(50)，容易得到

系統的非勢廣義力和非完整約束力為

條件(29)給出

方程(54)有解

相應于式(55)－(60)，由定理1，得到如下守恒律

其次，研究非完整系統(49)，(50)的守恒律.

限制條件(31)給出

容易驗證式(55)－(58)滿足條件(67)，而式(59)和(60)不滿足條件(67)，故此非完整系統守恒律為式(61)－(64).

4 結 論

本文給出了相空間中非完整力學系統的微分變分原理(19)，并且給出了其在無限小變換下的不變性條件式(29)，進而導出了相空間中相應完整力學系統的守恒律，進一步得到了相空間中非完整力學系統的守恒律.主要結果為相空間中非完整非保守系統的微分變分原理(19)，原理在無限小變換下的變形(28)，以及三個定理.本文結果表明，利用微分變分原理也可以研究相空間中力學系統的守恒律.

［1］梅鳳翔.經典約束力學系統對稱性與守恒律研究進展［J］.力學進展，2009，39(1):37－43.

［2］梅鳳翔.分析力學(上卷)［M］.北京:北京理工大學出版社，2013.

［3］梅鳳翔.分析力學(下卷)［M］.北京:北京理工大學出版社，2013.

［4］陳濱.分析動力學(第二版)［M］.北京:北京大學出版社，2012.

［5］梅鳳翔.約束力學系統的對稱性與守恒量［M］.北京:北京理工大學出版社，2004.

［6］梅鳳翔，劉端，羅勇.高等分析力學［M］.北京:北京理工大學出版社，1991.

［7］梅鳳翔.李群李代數對約束力學系統的應用［M］.北京:科學出版社，1999.

［8］劉端.非完整非保守力學系統的守恒律［J］.力學學報，1989，21(1):75－83.

［9］梅鳳翔.利用Jourdain 原理研究二階非完整系統的守恒律［J］.北京理工大學學報，1998，18(1):17－21.

［10］Zhang Yi，Mei Feng－Xiang.A study of conservation laws of systems with unilateral constraints by means of the differential variational principles［M］.Proceedings of the third international conference on nonlinear mechanics，Shanghai University Press，1998.759－763.

［11］李元成，梁景輝，張毅，梅鳳翔.事件空間中單面完整約束系統的守恒律［J］.北京理工大學學報，2000，20(1):21－24.