四階行列式不能簡單地利用對角線法則計算

李代欽

摘 要 行列式的計算是線性代數中的一個重點內容，由于計算方法的多變，使得這也成為一個難點內容。筆者發現二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算，但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

關鍵詞 行列式的計算 對角線法則 四階行列式

中圖分類號：O151.22 文獻標識碼：A

Fourth-order Determinant Can not Simply Use

the Diagonal Rule Calculation

LI Daiqin

（Hu'nan Police Academy， Changsha， Hu'nan 410138）

Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra， the calculation method of changeable， makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute， but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.

Key words determinant calculation； diagonal rule； four-order determinant

行列式的計算是線性代數中的一個重點內容，其計算方法也是多變的，①有定義法，對角線法，化三角形法，按行（列）展開法，遞推法，加邊法（升階法），拆行（列）法，數學歸納法，析因法，輔助行列式法，利用拉普拉斯定理計算，利用范德蒙行列式法，利用矩陣行列式公式計算，利用方陣特征值與行列式的關系計算等等。由于其計算方法的多樣性，使得行列式的計算成為一個難點內容。筆者發現二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算，但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

在二階行列式中，②，在三階行列式中

都是利用對角線法則來進行計算的。但對于四階行列式的計算，卻出現了問題。如

例：求四階行列式的值。

解法一：利用按行（列）展開法得到如下結論：

解法二：利用對角線法則得到如下結論：

為什么同一題采用不同的二種方法卻得到不同的結論呢？

細心的讀者會稍加思考發現，第二種方法是不可取的。因為按照行列式定義，四階行列式的展開項應該有24項，而按照對角線法則，四階行列式的展開式中只有8項，顯然，四階行列式不能簡單地利用對角線法則進行計算。那么是不是四階行列式就不能利用對角線法則了呢？筆者發現如果對對角線法則進行一個補充，那么還是可行的。為了利用對角線法則計算行列式，作如下三種形式的變形：③

第一種形式：

第二種形式：

第三種形式：

從理論上看，按照行列式的定義，這三種形式的代數和剛好就是四階行列式的結果。從實際上來看，將例中的四階行列式按照上述方法展開，剛好是 + ，與第一種方法的結果完全相同。

注釋

① 陳文燈，黃先開等.考研數學高分復習指南[M].北京：世界圖書出版公司，2012.

② 吳贛昌.線性代數（理工類·第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

③ 林啟法.對角線法則計算四階行列式的簡便方法[J].寧德師專學報，2005（2）.endprint

摘 要 行列式的計算是線性代數中的一個重點內容，由于計算方法的多變，使得這也成為一個難點內容。筆者發現二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算，但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

關鍵詞 行列式的計算 對角線法則 四階行列式

中圖分類號：O151.22 文獻標識碼：A

Fourth-order Determinant Can not Simply Use

the Diagonal Rule Calculation

LI Daiqin

（Hu'nan Police Academy， Changsha， Hu'nan 410138）

Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra， the calculation method of changeable， makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute， but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.

Key words determinant calculation； diagonal rule； four-order determinant

行列式的計算是線性代數中的一個重點內容，其計算方法也是多變的，①有定義法，對角線法，化三角形法，按行（列）展開法，遞推法，加邊法（升階法），拆行（列）法，數學歸納法，析因法，輔助行列式法，利用拉普拉斯定理計算，利用范德蒙行列式法，利用矩陣行列式公式計算，利用方陣特征值與行列式的關系計算等等。由于其計算方法的多樣性，使得行列式的計算成為一個難點內容。筆者發現二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算，但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

在二階行列式中，②，在三階行列式中

都是利用對角線法則來進行計算的。但對于四階行列式的計算，卻出現了問題。如

例：求四階行列式的值。

解法一：利用按行（列）展開法得到如下結論：

解法二：利用對角線法則得到如下結論：

為什么同一題采用不同的二種方法卻得到不同的結論呢？

細心的讀者會稍加思考發現，第二種方法是不可取的。因為按照行列式定義，四階行列式的展開項應該有24項，而按照對角線法則，四階行列式的展開式中只有8項，顯然，四階行列式不能簡單地利用對角線法則進行計算。那么是不是四階行列式就不能利用對角線法則了呢？筆者發現如果對對角線法則進行一個補充，那么還是可行的。為了利用對角線法則計算行列式，作如下三種形式的變形：③

第一種形式：

第二種形式：

第三種形式：

從理論上看，按照行列式的定義，這三種形式的代數和剛好就是四階行列式的結果。從實際上來看，將例中的四階行列式按照上述方法展開，剛好是 + ，與第一種方法的結果完全相同。

注釋

① 陳文燈，黃先開等.考研數學高分復習指南[M].北京：世界圖書出版公司，2012.

② 吳贛昌.線性代數（理工類·第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

③ 林啟法.對角線法則計算四階行列式的簡便方法[J].寧德師專學報，2005（2）.endprint

摘 要 行列式的計算是線性代數中的一個重點內容，由于計算方法的多變，使得這也成為一個難點內容。筆者發現二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算，但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

關鍵詞 行列式的計算 對角線法則 四階行列式

中圖分類號：O151.22 文獻標識碼：A

Fourth-order Determinant Can not Simply Use

the Diagonal Rule Calculation

LI Daiqin

（Hu'nan Police Academy， Changsha， Hu'nan 410138）

Abstract Determinant computation is a key content in linear algebra， the calculation method of changeable， makes this has also become a difficult content. The author found that the two or three order determinant can be arbitrary use of diagonal rules to compute， but for the four-order determinant can't simply use the law to calculate the diagonal.

Key words determinant calculation； diagonal rule； four-order determinant

行列式的計算是線性代數中的一個重點內容，其計算方法也是多變的，①有定義法，對角線法，化三角形法，按行（列）展開法，遞推法，加邊法（升階法），拆行（列）法，數學歸納法，析因法，輔助行列式法，利用拉普拉斯定理計算，利用范德蒙行列式法，利用矩陣行列式公式計算，利用方陣特征值與行列式的關系計算等等。由于其計算方法的多樣性，使得行列式的計算成為一個難點內容。筆者發現二、三階行列式可以任意地利用對角線法則來計算，但對于四階行列式卻不能簡單地利用對角線法則來計算。

在二階行列式中，②，在三階行列式中

都是利用對角線法則來進行計算的。但對于四階行列式的計算，卻出現了問題。如

例：求四階行列式的值。

解法一：利用按行（列）展開法得到如下結論：

解法二：利用對角線法則得到如下結論：

為什么同一題采用不同的二種方法卻得到不同的結論呢？

細心的讀者會稍加思考發現，第二種方法是不可取的。因為按照行列式定義，四階行列式的展開項應該有24項，而按照對角線法則，四階行列式的展開式中只有8項，顯然，四階行列式不能簡單地利用對角線法則進行計算。那么是不是四階行列式就不能利用對角線法則了呢？筆者發現如果對對角線法則進行一個補充，那么還是可行的。為了利用對角線法則計算行列式，作如下三種形式的變形：③

第一種形式：

第二種形式：

第三種形式：

從理論上看，按照行列式的定義，這三種形式的代數和剛好就是四階行列式的結果。從實際上來看，將例中的四階行列式按照上述方法展開，剛好是 + ，與第一種方法的結果完全相同。

注釋

① 陳文燈，黃先開等.考研數學高分復習指南[M].北京：世界圖書出版公司，2012.

② 吳贛昌.線性代數（理工類·第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

③ 林啟法.對角線法則計算四階行列式的簡便方法[J].寧德師專學報，2005（2）.endprint