“事件的互斥、互逆和獨立性”的問題和思考

王洪霞

摘 要 事件的互斥、互逆和獨立性是概率論中重要的基本概念，為了便于初學者很好地掌握這三個概念，本文力圖從基本概念出發(fā)循序漸進地提出幾個問題，以問答的形式展示出來。

關鍵詞 事件的互斥 互逆 獨立性

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

Problems and Thinking of "Events' Mutually Exclusive，

Reciprocal and Independence"

WANG Hongxia

（Statistical Institute of He'nan University of Economics and Law， Zhengzhou， He'nan 450002）

Abstract Mutually exclusive events， reciprocal and independence is an important basic probability theory concepts， in order to facilitate a good grasp of beginners these three concepts， this paper tries gradual departure from the basic concept raised several questions， in the form of quiz show come out.

Key words mutually exclusive events； reciprocal； independence

在概率論的教學實踐中發(fā)現(xiàn)：很多初學者對“事件的互斥、互逆和獨立性”的概念理解不透，經(jīng)常將互斥和獨立性搞混。 為了便于大家更好地學習這部分知識，筆者力圖從基本概念出發(fā)循序漸進地提出了幾個問題，以問答的形式展示出來。 這些問題不但涉及到基本概念，而且又有較全面的方法性問題，應該是初學者的疑難所在。

1 問題與解答

下面我們展示出在“事件的互斥、互逆和獨立性”的學習中應該注意的幾個問題。

問題（1）：事件的互斥、獨立與獨立性有何異同？

答：互斥是指任意兩個事件間的一種關系，即若 = ，則稱與互斥；互逆是指與 之間的關系，即若 = ， = ，則稱為互逆，并記 = 。兩個事件與相互獨立是由概率來定義的，即若（）= （）（），則稱與相互獨立。因此，若事件與互逆，則與一定互斥；反之不然。例如，以1，2，…，9這九個數(shù)中任取一數(shù)，記 = “取得偶數(shù)”， = “取得奇數(shù)”， = “取得1或3”，則與既互逆又互斥，但與互斥，而與并非互逆。另外，互斥和互逆與獨立都沒有直接關系。

問題（2）：若 = ，那么兩兩互斥嗎？

答：否。兩兩互斥是指 = ， = ，并且 = 。但由 = 推不出上述等式成立。 例如，擲一枚骰子，令 = “出現(xiàn)偶數(shù)點”， = “出現(xiàn)點數(shù)小于4”， = “出現(xiàn)奇數(shù)點”，則有 = ，但 ={2}≠ 。

問題（3）：若，，…，互斥，那么其中任意個事件互斥嗎？

答：互斥。事實上，由互斥定義知：，，…，互斥 ，，…，兩兩互斥 ，，…，中個事件兩兩互斥 這個事件互斥。

問題4：事件“都發(fā)生”與“都不發(fā)生”互逆嗎？

答：否。 “都發(fā)生” = ，“都不發(fā)生” = 。 由狄莫根定律：≠ = ，故事件與并非互逆。

例如，從1，2，…，9這九個數(shù)字中任取一數(shù)，樣本空間 = {1，2，…，9}，記 = “取得偶數(shù)”， = “取得的倍數(shù)”，有 = {2，4，6，8}， = {3，6，9}。而 = {6}， = {1，3，5，7，9}{1，2，4，5，7，8} = {1，5，7}。故事件與不互逆。

問題（5）：事件“都發(fā)生”與“不都發(fā)生”互逆嗎？

答：互逆。 事實上，以上兩事件可分別表示為及。 故由狄莫根定律易知 = 。 由此可知事件及互逆。

問題（6）：事件“至少發(fā)生一個”與“最多發(fā)生一個”互逆嗎？

答：否。 可以看出：“至少發(fā)生一個” = 。“最多發(fā)生一個” = 。故所述兩事件不互逆。

問題（7）：若事件互逆，那么是否構成完備事件組？

答：構成。所謂，，…，構成完備事件組，當且僅當同時滿足

因此，互逆構成完備事件組。

問題（8）：任意事件與不可能事件是否既互斥又獨立？

答：是。因為 = ，所以與互斥，又（） = （） = 0 = （）（），因此與相互獨立。

問題（9）：若與獨立，與獨立，那么與是否獨立？

答：否。因為事件的獨立不具有傳遞性。例如，擲一均勻骰子，令 = “出現(xiàn)偶數(shù)點”， = “出現(xiàn)點數(shù)小于3”， = “出現(xiàn)奇數(shù)點”，則有 = {2，4，6}， = {1，2}， = {1，3，5}， = {2}， = {1}， = 。于是（） = ，（） = ，（）（下轉(zhuǎn)第57頁）（上接第52頁） = ，（） = ，（） = ，（） = 0。

從而可知（） = （）（），（） = （）（），（）≠（）（）。

這說明：獨立且與獨立，但與并不獨立。由此，可以得知，事件兩兩獨立只能與等價，而不能省略其中任何一個等式。

問題（10）：由個事件兩兩獨立能否導出這個事件相互獨立？

答：否。例如：一個均勻的四面體，有三個面各涂上紅、黃、黑三種顏色，第四個面同時涂上三種顏色，投擲此四面體，觀察底面的顏色。記 = “底面為紅色”， = “底面為黃色”， = “底面為黑色”。易知（） = （） = （） = ；（） = （） = （） = ；（） = 。

可見，（） = （）（），（） = （）（），（） = （）（）。但（）≠（）（）（）。這說明兩兩獨立，但是這三個事件不相互獨立。

問題（11）：若（） = （）（）（），那么是否相互獨立？

答：否。例如盒中有8張紙條，一張寫1，兩張寫2，兩張寫3，一張寫1、2，一張寫1、3，最后一張寫1、2、3。從中任取一張，記 = “得1”， = “得2”， =“得3”。顯見（） = （） = （） = ，（） = = （）（）（）。

然而，（） = ≠ = （）（）。

注：問題（10）和問題（11）說明：三個事件相互獨立，等價于下面四個等式同時成立：。

對于多個事件的獨立性也是如此。

2 結束語

“事件的互斥、互逆與獨立性”歷來是概率論教學中的重點和難點部分。學好此部分內(nèi)容可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題。概率教學的核心問題是讓學生了解隨機事件與概率的意義，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價身邊的一些隨機現(xiàn)象。

經(jīng)過第2節(jié)中11個問題的解答與思考，相信大家對“事件的互斥、互逆與獨立性”都有了較深入的理解。

基金項目：本文由河南財經(jīng)政法大學博士科研啟動基金資助

參考文獻

[1] 王梓坤.概率論基礎及其應用.北京：科學出版社，1976.

[2] 魏宗舒.初等概率論.北京：人民教育出版社，1979.

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