一類耦合超混沌系統同步控制

張恩賓 劉紅敏

摘 要 本文主要研究了一類耦合超混沌系統的同步控制問題，基于實際應用背景給出了一種可行的同步控制定義，在此定義下分別對兩個典型耦合超混沌系統的同步控制進行了研究，利用全局Lyapunov函數穩定性理論分析方法，分別給出了針對不同耦合方式的耦合超混沌系統的同步控制方法，并且這種方法對所有初值都是成立的。

關鍵詞 超混沌系統 同步控制 Lyapunov函數

中圖分類號：O415.5文獻標識碼：A

Synchronization of Some Coupled Hyperchaotic Systems

ZHANG Enbin， LIU Hongmin

（Information Engineering Department， He'nan College of Finance & Taxation， Zhengzhou， He'nan 451464）

Abstract This paper studies mainly of synchronization of some coupled hyperchaotic systems， Base on the application of communications， we has been a new viable definition of synchronization. Following this definition， we have been studied on two well-known hyperchaotic systems， and a new result on the systems synchronized for all initial conditions has been given， which has been proved using the Lyapunov function method.

Key words Hyperchaotic systems; synchronization; Lyapunov function

0 引言

近年來，混沌系統的同步控制及其在保密通信中的應用研究得到了廣泛的關注，混沌同步技術更是其中的關鍵問題（[1][2][3]）。對混沌同步控制的研究有以下主要結論：

定理1[3] 給定兩個混沌系統

= ?（） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

= ?（） + （） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，（）為一對角陣，系統（1）稱為驅動系統，系統（2）稱為受迫系統。若||（0）（0）||充分小，則存在一個有限值（ = 1，2，…，）對 = （，，…，）有≥使得系統（1）和（2）是同步的（證明參見[3]）。

這種方法主要通過計算Lyapunov指數來整定反饋系數矩陣，這就存在幾個問題。首先，在計算Lyapunov指數時計算量大且右端項 （）必須可微;其次，必須保證初值相差很小。這些都為實際應用帶來了很多不便，特別是對高維超混沌系統就不太適用了。

由于高維超混沌系統能產生更復雜的動態特性，因此成為了研究的重點，在文獻[4][5]基礎上，通過分析兩類典型的耦合混沌系統的同步控制，給出了基于Lyapunov函數的一種中給出了一種基于觀測器的方法，給出了對任意初值的同步控制方法，本文在文獻[5]的基同步控制方法，并且這種方法對任意初值都是有效的。

1 耦合超混沌同步控制

本文基于保密通信的實際應用背景，結合文獻中已有的方法，給出了一種可行的混沌同步定義，下文主要基于此定義進行討論：

定義1 設有下面兩個系統：

= ?（） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

= ?（） + （） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

其中， （，）是與 （）有關的適當反饋項，記（） = （）（）為誤差系統，若||（）|| = 0，我們就稱系統（1）、（2）是同步的。

1.1 線性耦合超混沌系統的同步控制

我們考慮Chua系統[6]：

（5）

其中 （） = 3（）1.6（∣∣∣+1∣）為一分段線性函數。

在定義1中取（） = （），其中 = （，，，）， = [，，，]， = [，，，]，可得系統（5）的受迫系統為：

（6）

設 = ， = ， = ， = 。則得誤差方程：

（7）

取Lyapunov函數為（） = ?+ ?+ ?+ ，顯然對于任意的≠0都有（）>0，考慮：

（） = · + · + 2· + · ? ? ? ? ? ?（8）

由（7）得：（） = 2（）[ （） （）]2（） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

我們的目的是使（）<0，下面考慮 （） （）的估計。

為了方便不妨記 = 、 = ?，我們分別在區間（，]，（]，（1，）上簡單計算可得：

≤（（）（））（）≤

又 = 則

（（）（））≤

代入（9）得

（）≤2（）

（10）

因為總是非正的，故我們取>0，>0，>0，>0則（）<0也即是說誤差方程（7）是在Lyapunov意義下是漸近穩定的，所以系統（5）、（6）當反饋矩陣滿足上述條件時是同步的，且對任意初值成立。又由（10）我們可以看 = 0， = 0，>0， = 0時，同樣可以得到混沌系統的同步控制，即可以用一個非零元素來控制，這在應用中有實際意義。

圖1 Chua系統同步誤差（ = 0， = 0， = 0， = 0）

1.2 非線性耦合超混沌系統同步控制

本節我們考慮系統[7]：

（11）

由于該系統含有非線性耦合項，因此不能直接采用上節的控制方法。我們對此設置觀測項，取 = ?+ （），其中 = （，）， = [，，，]， = [，，，]，給出定義1中的受迫系統形式為：

（12）

下面我們對進行整定，使系統（12）是對系統（11）的全局觀測，即實現系統同步。

記 = 得誤差系統方程：

（13）

構造Lyapunov函數為（） = ?+ ?+ ?+ ，≠0有（）>0，考慮（） = ?+ ?+ ?+ 代入（13）得

（） = （）（）（）（）0.5（ + ）0.50.25

（14）

因為0.5（ + ），0.5，0.25都是非正項，故我們取>0.5，>0.75，>0.75，>0.8則有（）<0，即當上述條件滿足時誤差方程（13）漸近穩定，所以此時系統（11）和（12）是同步的，并且對任意初值成立。

圖2 系統同步誤差仿真結果（ = 1， = 2， = 2， = 2.5）

2 結束語

上述方法主要針對不同的耦合形式，構造不同的同步系統，使得以誤差方程為線性系統，通過構造相應的Lyapunov函數，利用穩定性判別方法，理論分析證明了其（下轉第244頁）（上接第206頁）有效性，并且可以得到同步控制參數的估計，從而實現混沌系統的同步控制，并且在實際應用中也是可行的，從計算機模擬結果可以看出本文的方法是有效的。另外，這種方法可以類似的推廣到一般的耦合超混沌系統。

參考文獻

[1] T. L. Carroll and L. M. Pecora， “Synchronization chaotic circuits，” IEEE Trans. Circuit Systems， vol 38，pp. 456. Apr. 1991.

[2] L. kocarev， K. S. Halle， K. Eckert， L. O. Chua. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization[J].Int. J. Bifurc. Chaos，1992.2（3）：709-713.

[3] L. Kocarev， A. Shang， and L. O. Chua， “Transtitions in dynamical regimes by driving： a unified method of control and synchronization of chaos，” Int.J.Bifurc.Chaos，1993：479-483.

[4] O. Morgul and E. Solak， “Observer based synchronization of chaotic systems，” Phys. Rev. E， vol. 54， no. 5， pp. 4803～4811，1996.

[5] Giuseppe Grassi and Saverio Mascolo， “Nonlinear Observer Design to Synchronize Hyperchaotic Systems via a Scalar Signal，” IEEE Trans. Circuits Systems， vol. 44， NO. 10， Oct. 1997：1011～1014.

[6] T. Matsumoto， L. O. Chua， and K. Kobayashi， “Hyperchaos： Laboratory experiment and numerical confirmation，” IEEE Trans. Circuits Systems， vol. CAS-38， no. 11， pp. 1143-1147， Nov. 1986.

[7] O. E. R？ssler， “An equation for hyperchaos，” Phs. Lett.， vol. 71A， no. 2-3， pp. 155-157，1979.