圖式習得：來自數學學習的需求

吳德娟

圖式是人腦中已有的知識經驗的網絡。認知發展理論中，圖式是指一個有組織、可重復的行為模式或心理結構，是一種認知結構的單元。根據圖式理論的觀點，人腦中所貯存的知識都是由一個個單元組成的，這種單元就是圖式。當面臨一定的信息，激活相關的圖式后，圖式會為我們提供解釋信息的背景知識。圖式在知識的學習過程中具有準備、搜索、賦值、預測、推理和整合的作用。如果學生在數學學習的過程中建立了良好的圖式，就能根據合適的表征問題，搜索其需要的信息，并對圖式中的“空格”進行賦值，從而幫助我們解決問題。同樣，圖式也有整合和推理的作用，比如在乘法的圖式中，從兩位數乘一位數到兩位數乘兩位數，圖式的內容逐漸豐富并逐步整合，學生根據已有的圖式推測多位數乘法的法則，發揮圖式的推理功能。那么，在數學教學過程中，如何有效地習得圖式以滿足數學學習的需求呢？本文結合案例談一談自己的看法。

一、 找準圖式的生長點

已有的圖式對于新知識的掌握十分重要。學生已經具備了哪些圖式？這些圖式的結構是怎樣的？已有圖式與新知識之間的關聯點是什么？可能的沖突點在哪里？客觀地分析這些內容，才能找準圖式的生長點，滿足數學學習的需求。

以“兩位數乘兩位數”的教學為例，學生在學習之前已經建立了兩位數乘一位數以及兩位數乘整十數計算的圖式，遇到這樣的問題時，會產生相應的圖式，大腦進行運用即可輸出答案。當學生遇到兩位數乘兩位數時，大腦中沒有相關的圖式，即產生了“不平衡”的狀態，而且舊知識不可同化新知識，需要經歷“順應”的過程，建立新知識的圖式。當圖式建立完成，學生遇到兩位數乘兩位數的計算，大腦則會調用新的圖式。

從以上分析可以看出，新圖式與已有圖式之間具有一定的聯系，相關性越強，學生新圖式的建立就越容易。雖然新圖式與已有圖式有聯系，但是學生在遇到新刺激時，調用的是新圖式，而不是舊圖式，這也能解釋教師的一個困惑：不就是把兩位數乘一位數算兩次嗎，學生怎么還會錯？舉例來說，學生算21×7=147是對的，但是在21×71中，十位7×21就等于51（2×7=14，1+4=5）。兩位數乘一位數是兩位數乘兩位數的下位圖式，下位圖式是上位圖式的基礎，是構成上位圖式的必要條件，如果沒有經歷借助于下位圖式產生新圖式的過程，那么學生就不能學會兩位數乘兩位數的方法。

二、 找對圖式的修改方式

新知識是對已有圖式的修改和完善。這種修改和完善主要有兩種形式。第一種形式是當圖式對當前情境提供充足的解釋時，圖式的結構得到鞏固。例如學生在學習三位數除以一位數后學習商中間有零的除法。第二種形式是對已有圖式做出擴展、限制或修正，在某種程度上改變已有的圖式，導致圖式的發展或新圖式的產生。要進行這種修改，需要學生首先意識到某一圖式難以解釋新的情境，而后學生才有可能對現有的圖式做出修正。筆者所例舉的正是第二種形式。學生已有的是三個變量的圖式，如今增加了一個變量，從而使新的圖式有更廣的包容性。

1.激活圖式，積累經驗

美國認知心理學家古德曼認為，學習是構建內在心理表征的過程，學習者并不是把知識從外界搬到記憶之中，而是以已知的知識經驗為基礎，通過與外界的相互作用來構建新的理解。現代心理學認為：人腦中的知識不可能獨立地儲存，總要通過與其他知識建立某種關系而儲存。而且只有通過一定的網絡系統儲存的知識才能被有效地提取利用。這也是我們通常所采用的“復習鋪墊”或是“情境創設”的心理背景。通過這樣的活動，激活學生已有的圖式，疏通相關的知識網絡，為新圖式的“同化”或是“順應”做好準備。

情境：教師出示一箱10袋奶粉和2袋奶粉，媽媽準備買12袋奶粉送給長輩，營業員給了一箱又2袋，每袋奶粉28元，媽媽要付多少元？

列式：28×12，估一估大約是多少。

談話：這個式子學過嗎？用你能理解的方法找出答案。

學生中出現了如下幾種方法：

（1）12個28連加。

（2）28×6×2

（3）28×2×6

（4）28×10+28×2

談話：大家用已經會的方法解決了問題，如果每一道題都這么計算，你覺得怎樣？（生：麻煩，要學豎式。）數學要追求簡潔，我們一起來學習筆算。

圖式理論認為，新知是在同化或是順應中產生的。如何最大程度地激活與新知識相關的圖式是新圖式產生的重要基礎。如果只是將一道式子28×12交給學生，學生激活的是兩位數乘一位數的圖式，只能算出56的結果。如果把抽象的算式置于10袋奶粉和2袋奶粉的情境圖中，直觀的圖像刺激了學生的感官，學生激活乘法的意義（連加）、連乘、乘加混合。在情境的幫助下，學生充分利用已有和知識經驗，探索不同的計算方法，激活了不同的圖式，發展學生的數學思考能力。

2.縮減組塊，構建圖式

圖式理論指出：知識的內在聯系越緊密，結構化程度越高，識記和存貯效果越好。圖式具有知識內在聯系緊，結構化程度高的特點。圖式中所包含的知識都是簡約化的知識，是識記的支撐點。簡約化知識點之間各種聯系便成為識記的線索。圖式是一種“組塊”，當零散的知識點轉化為結構嚴謹的圖式時，可以縮簡需要識記的單元數量，但并不減少所衰亡材料的范圍。

出示豎式28×12。

師：在其中你能見到已學過的乘法嗎？

學生找到一位數相乘、兩位數乘一位數。

談話：原來其中有我們學過的兩位數乘一位數呀，先算28乘2，這一步求的是什么？怎么才能讓我看清先算什么呢？

生：把十位的1擋起來，就不會搞混了。

師：下一步該算什么呢？

學生根據剛才的分步式及情境圖，認為再算28乘1。師故意把積28末尾寫在個位。

學生認為不對：現在該求10袋奶粉的價錢，就是10個28，應該是280，8寫在十位，2寫在百位。endprint

談話：看起來是1乘28，其實是10乘28，根據昨天的學習，可以先用1乘28，只不過要把積的末尾寫在十位，后面的0可以不寫，留下位置就行了。

師：怎么看清第二步算什么？

生：把個位2擋起來，用十位1乘28。

師：最后怎么辦？

指名說，先算什么，再算什么。

生：“先把十位擋起來，用2乘28，再把個位擋起來，用1乘28，末尾寫在十位。”

心理學家米勒認為人腦中短時記憶的信息容量為7±2個組塊。兒童的信息容量則更少。當記憶數量超過短時記憶的容量，學生就會漏掉信息。我們可以將學生腦中的信息組成塊，增加短時記憶的容量信息單元。教學中，教師采用先將十位擋起，兩位數乘個位相組合;再將個位擋起，兩位數乘十位相組合，幫助學生將復雜的信息清晰地組塊。兩次相乘與四次相乘相比，組塊程度更高，縮減了記憶的負擔，提高信息運用效率。

3.凸顯變量，簡化圖式

圖式化認知是指當頭腦中某種圖式一旦形成，一些細節就喪失了，而代之以結構化的抽象。圖式具有概括性和抽象性，如果我們的認知一直處于具體的實例中，那么，抽象就無法完成，圖式的結構也無法形成。

將兩道乘法題進行比較，談話：兩位數乘兩位數，計算時有什么相同的地方？

學生概括小結為：先用個位去乘兩位數，積的末尾寫在個位;再用十位去乘兩位數，積的末尾寫在十位。

練習環節：

12×44（46人錯2人）13×72（46人錯10人）

62×41（46人錯18人）

課堂作業：

33×21 ?45×12 ? ? 13×52（正確率91%）

在經過兩至三個實例之后，需要引導學生觀察比較：計算過程中有哪些相似的地方？一般化的方法是什么？學生在從“先算2乘28”到“先用個位去乘兩位數”的過程中，圖式結構得到了簡化，抽象過程完成。根據圖式理論，抽象程度越高，概括化越強的圖式越具有遷移性，越利于學生的應用。

數學是一門關系性、結構性很強的學科，而關系性、結構性又恰是圖式的本質所在，所以數學學科與圖式理論表現出極大的相容性。我們有理由相信，圖式在數學教學中的作用會越來越重要。有意識地進行構建圖式能力的培養，不僅可以提升學生的解題能力，還能夠進一步發展和完善學生的數學思維品質。

參考文獻

[1] 王小明.學習心理學[M].北京：中國輕工業出版社，2009.

[2] 朱智賢.心理學大辭典[M].北京：北京師范大學出版社，1989.

[3] 朱曼殊.心理語言學[M].上海：華東師范大學出版社，1990.

【責任編輯：陳國慶】endprint