用游戲引發(fā)數(shù)學(xué)思考

林永榮+吳雪琪

“游戲公平”是北師大版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。本節(jié)課是學(xué)生在知道事件發(fā)生的可能性有大小，能對(duì)一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性作出定性描述的基礎(chǔ)上，通過游戲活動(dòng)體驗(yàn)只有“等可能性事件”的游戲規(guī)則才是公平的，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的、公平的游戲規(guī)則。游戲應(yīng)該怎么設(shè)計(jì)，才能使學(xué)生深度參與探究活動(dòng)，真正引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考呢？林永榮老師執(zhí)教這節(jié)課時(shí)，做出了大膽、有益的嘗試，給我們很大的啟發(fā)。

創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突

師：同學(xué)們，喜歡玩游戲嗎？

生：喜歡！

師：好！今天我們就來玩一個(gè)游戲。我們?cè)谟螒蛑胁粌H要玩得開心，還要玩出勝負(fù)，更要玩出學(xué)問來。

請(qǐng)看大屏幕：

男生和女生做摸牌游戲（牌面點(diǎn)數(shù)分別為“梅花A、方塊2、黑桃3、紅心4”的四張撲克牌）。

（課件出示游戲規(guī)則）

規(guī)定：1.每次每人各摸一張，計(jì)完分后放回，重洗。

2.如果所摸出的2張牌的牌面點(diǎn)數(shù)之積為奇（單）數(shù)時(shí)，男生記1分，否則女生記1分。

3.摸10次，得分多者勝。

師：這規(guī)則公平嗎？

生（大多數(shù)學(xué)生齊說）：公平。

師：為什么公平？

生：因?yàn)檫@里的單數(shù)、雙數(shù)各有兩個(gè)。那么得到是單數(shù)和雙數(shù)的可能性就一樣，所以我認(rèn)為這里的規(guī)則是公平的。

師：猜一猜，誰可能會(huì)贏？并說說你的理由。

生1：男生可能會(huì)贏，女生也有可能贏，說不準(zhǔn)。

生2：我同意生1的說法，因?yàn)樗麄冓A的機(jī)會(huì)是一樣的。不過，我還是猜男生會(huì)贏，他的運(yùn)氣可能好點(diǎn)。

生3：我認(rèn)為這個(gè)規(guī)則不公平，因?yàn)橹挥?×3的積才是單數(shù)。所以我覺得女生會(huì)贏。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)兩種不同意見了。有的說公平，有的說不公平。怎么辦？

生：我們可以通過摸牌來驗(yàn)證是不是公平的。

師：好！那么我們現(xiàn)在就分組進(jìn)行游戲，請(qǐng)各組組長(zhǎng)組織游戲，游戲的時(shí)候要注意記錄好數(shù)據(jù)哦。

（小組進(jìn)行游戲活動(dòng)，4分鐘后各組游戲結(jié)束）

師：現(xiàn)在請(qǐng)各組匯報(bào)游戲結(jié)果。

組1：我們組游戲結(jié)果是這樣的：乘積是單數(shù)的出現(xiàn)1次，雙數(shù)出現(xiàn)了9次，也就是男生得了1分，女生得了9分，女生贏了。

組2：我們組男生得了3分，女生得了7分，也是女生贏了。

組3：我們組的游戲結(jié)果和第二組一樣，也是男生得3分，女生得7分，女生贏了。

組4：我們組的結(jié)果是乘積為單數(shù)的2次，雙數(shù)為8次，女生贏了。

組5：我們組的結(jié)果是積為單數(shù)1次，雙數(shù)9次，男生輸了。

組6：我們組的結(jié)果是積為單數(shù)1次，雙數(shù)9次，女生贏了。

組7：我們組的結(jié)果是單數(shù)0次，雙數(shù)10次，女生贏了。

組8：我們組的結(jié)果也是單數(shù)1次，雙數(shù)9次，女生贏了。

學(xué)生通過“拋圖釘”“摸球”活動(dòng)充分感受了不確定現(xiàn)象，已經(jīng)能列出簡(jiǎn)單事件所有可能發(fā)生的結(jié)果。本課教材編排的“擲骰子、擲硬幣”游戲是學(xué)生以前活動(dòng)的重復(fù)，無法引發(fā)學(xué)生深度的數(shù)學(xué)思考。于是，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)看似公平、實(shí)則不公平的“摸牌游戲”，先讓學(xué)生猜想游戲結(jié)果，并對(duì)游戲的公平性進(jìn)行了初步判斷、分析；接著，教師組織學(xué)生分組游戲來驗(yàn)證猜想，而游戲的結(jié)果與學(xué)生猜想相去甚遠(yuǎn)。這時(shí)，學(xué)生已經(jīng)無法“淡定”了，他們迫切希望解開謎底——“這個(gè)游戲?yàn)槭裁催@么不公平？”

感受可能性相等要比感受可能性不相等更不容易，因此，教師精心設(shè)計(jì)了這個(gè)環(huán)節(jié)，從感受游戲的不公平入手，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探究欲望，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生數(shù)學(xué)思考的問題情境。

指導(dǎo)分析，啟迪數(shù)學(xué)思維

師：現(xiàn)在我宣布，女生在這次游戲中贏了！而且是以絕對(duì)優(yōu)勢(shì)勝出！

眾男生：不公平！不公平！

師：同是兩個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)。按它們的乘積的奇偶性記分，為什么女生能贏得這么爽？

（學(xué)生分析、討論，大約3分鐘時(shí)間。）

生1：1×2的結(jié)果不是單數(shù)，只有1×3的結(jié)果才是單數(shù)（圖1所示），其他的乘積都是雙數(shù)。在這里單數(shù)只出現(xiàn)1次，而雙數(shù)出現(xiàn)了5次。所以游戲是不公平的。

生2：男生贏的機(jī)會(huì)只有兩次，也就是只有當(dāng)男生摸到1，女生摸到3；或者男生摸到3，女生摸到1的時(shí)候，兩張牌面的點(diǎn)數(shù)乘積才是單數(shù)。但雙數(shù)與任何數(shù)乘起來，結(jié)果都是雙數(shù)。在表格中（圖2所示）我們可以看到：乘積是單數(shù)只有兩個(gè)，雙數(shù)卻有10個(gè)，所以游戲不公平。

生3：我沒有計(jì)算，不過我想，只有奇數(shù)×奇數(shù)的積才會(huì)是奇數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)與偶數(shù)×偶數(shù)的積都是偶數(shù)。這四張牌中有兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)。在摸牌的時(shí)候，只要有一個(gè)人摸到一張偶數(shù)，那么，另一個(gè)不管摸到什么牌，它們的乘積一定是偶數(shù)；而當(dāng)其中一個(gè)人摸到的是奇數(shù)時(shí)，另一個(gè)人必須也是摸到奇數(shù)，它們的乘積才會(huì)是奇數(shù)；所以游戲是不公平的。

師：男生一定會(huì)輸嗎？

生：不一定。

師：為什么說“不一定”呢？

生：因?yàn)槌朔e是單數(shù)的情況也存在。只不過輸?shù)目赡苄员扰蟮枚啵猩袡C(jī)會(huì)贏，只是要運(yùn)氣特別好的時(shí)候會(huì)贏。

師：這樣的游戲規(guī)則怎么樣？

生（齊）：不公平！

師：到底怎樣的游戲才是公平、合理的呢？這節(jié)課，我們就借助數(shù)學(xué)思想來理性分析游戲規(guī)則的公平性。

通過“摸牌游戲”，學(xué)生充分感受了游戲的不公平，教師順勢(shì)問道：“同是兩個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)。按它們的乘積的奇偶性記分，為什么女生會(huì)贏得這么爽？”這個(gè)問題一提出，聚焦了學(xué)生思考的方向，引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)方法來分析、解釋現(xiàn)象。學(xué)生有的用枚舉的方法，有的用列表來分析，有的是通過推理進(jìn)行分析……學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)因深入的理性分析而得到進(jìn)一步發(fā)展。如何真正引發(fā)學(xué)生有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)課堂的重要課題。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師放手讓學(xué)生主動(dòng)探索，充分尊重、相信學(xué)生，給學(xué)生創(chuàng)造了進(jìn)行深刻、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思考的時(shí)間與空間，點(diǎn)燃了學(xué)生智慧的火花。endprint

深度對(duì)話，發(fā)展數(shù)學(xué)思考

師：既然剛才的游戲如此不公平，那么如何修改游戲規(guī)則使游戲公平呢？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在小組里交流。）

生：比單雙。

師：怎么比單雙？

生：就是如果兩個(gè)人摸到的牌面點(diǎn)數(shù)都是單數(shù)時(shí)，男生記1分；都是雙數(shù)時(shí)，女生記1分。

師：如果摸到的是一單一雙怎么辦？

生：那就兩個(gè)人都不記分，重新摸。

師：這樣的規(guī)則公平嗎？

生：公平。因?yàn)檫@里有兩個(gè)單數(shù)，兩個(gè)雙數(shù)，同時(shí)摸到單數(shù)的可能性有一次，同時(shí)摸到雙數(shù)的可能性也是一次，摸到一單一雙的可能性是兩次。

師：以兩人摸到牌面的點(diǎn)數(shù)的奇偶性記分，除了這種記分規(guī)則是公平的之外，還有沒有別的以奇偶性記分規(guī)則也是公平的？

生：我們以奇偶性相同時(shí)，男生記1分，奇偶性不同時(shí)女生記1分。也是公平的。

師：真的公平嗎？

生：是公平的，我們來看看奇偶性相同時(shí)，即都是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)共有兩種情況，奇偶性不同時(shí)也是有兩種情況。

師：嗯，分析得很到位。還有其他修改方法嗎？

生：把積改為和。這也就是把原來第二條規(guī)則改為“如果所摸出的兩張牌，牌面點(diǎn)數(shù)之和為奇（單）數(shù)時(shí)，男生記1分；否則女生記1分”。

師：這樣修改之后公平嗎？

生：不公平的。

師：說說看。

生：我是用一個(gè)一個(gè)列出來的方式也發(fā)現(xiàn)不公平。

師：很好，這個(gè)同學(xué)用分析的方法解決了問題，修改成計(jì)算兩數(shù)之和也是不公平的。還有別的修改方法嗎？

師：我們能否通過換牌面點(diǎn)數(shù)，還是按原來的記分規(guī)則來記分，使游戲公平？

生：把2或4換成5或許可以。我沒分析過。

師：會(huì)不會(huì)公平呢？那么我們現(xiàn)在就把4換成5，并按剛才方法分析一下，看看是否公平。

生：這是公平的。1×2=2是偶數(shù)，1×3=3是奇數(shù)，1×5=5是奇數(shù)，2×3=6是偶數(shù)，2×5=10是偶數(shù)，3×5是奇數(shù)。可以看出6個(gè)積中有3個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)出現(xiàn)的可能性一樣，所以是公平的。

有了之前對(duì)“不公平”游戲的體驗(yàn)與分析，學(xué)生對(duì)公平的游戲規(guī)則理解更深刻了，此時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了“修改游戲規(guī)則使游戲公平”的探究活動(dòng)。在富有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)中，師生進(jìn)行了深度對(duì)話，學(xué)生的思路開闊，各種方案在對(duì)話中逐一呈現(xiàn)，無論是簡(jiǎn)單的還是復(fù)雜的，都能抓住游戲公平的本質(zhì)——事件發(fā)生的可能性相等。在探究活動(dòng)過程中，學(xué)生得到了最鮮活的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，積累了真實(shí)有效的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

縱觀全課，教師成為了一名顧問、一個(gè)意見的參與者、一個(gè)幫助發(fā)現(xiàn)矛盾論點(diǎn)的人，通過有趣的摸牌游戲，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，營(yíng)造了一個(gè)富有張力的課堂，學(xué)生的真實(shí)思維得以展示和完善，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就在游戲中自然發(fā)生。（作者單位：廣東省深圳市福田區(qū)梅林小學(xué)）

□責(zé)任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyjxsxl@126.comendprint

深度對(duì)話，發(fā)展數(shù)學(xué)思考

師：既然剛才的游戲如此不公平，那么如何修改游戲規(guī)則使游戲公平呢？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在小組里交流。）

生：比單雙。

師：怎么比單雙？

生：就是如果兩個(gè)人摸到的牌面點(diǎn)數(shù)都是單數(shù)時(shí)，男生記1分；都是雙數(shù)時(shí)，女生記1分。

師：如果摸到的是一單一雙怎么辦？

生：那就兩個(gè)人都不記分，重新摸。

師：這樣的規(guī)則公平嗎？

生：公平。因?yàn)檫@里有兩個(gè)單數(shù)，兩個(gè)雙數(shù)，同時(shí)摸到單數(shù)的可能性有一次，同時(shí)摸到雙數(shù)的可能性也是一次，摸到一單一雙的可能性是兩次。

師：以兩人摸到牌面的點(diǎn)數(shù)的奇偶性記分，除了這種記分規(guī)則是公平的之外，還有沒有別的以奇偶性記分規(guī)則也是公平的？

生：我們以奇偶性相同時(shí)，男生記1分，奇偶性不同時(shí)女生記1分。也是公平的。

師：真的公平嗎？

生：是公平的，我們來看看奇偶性相同時(shí)，即都是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)共有兩種情況，奇偶性不同時(shí)也是有兩種情況。

師：嗯，分析得很到位。還有其他修改方法嗎？

生：把積改為和。這也就是把原來第二條規(guī)則改為“如果所摸出的兩張牌，牌面點(diǎn)數(shù)之和為奇（單）數(shù)時(shí)，男生記1分；否則女生記1分”。

師：這樣修改之后公平嗎？

生：不公平的。

師：說說看。

生：我是用一個(gè)一個(gè)列出來的方式也發(fā)現(xiàn)不公平。

師：很好，這個(gè)同學(xué)用分析的方法解決了問題，修改成計(jì)算兩數(shù)之和也是不公平的。還有別的修改方法嗎？

師：我們能否通過換牌面點(diǎn)數(shù)，還是按原來的記分規(guī)則來記分，使游戲公平？

生：把2或4換成5或許可以。我沒分析過。

師：會(huì)不會(huì)公平呢？那么我們現(xiàn)在就把4換成5，并按剛才方法分析一下，看看是否公平。

生：這是公平的。1×2=2是偶數(shù)，1×3=3是奇數(shù)，1×5=5是奇數(shù)，2×3=6是偶數(shù)，2×5=10是偶數(shù)，3×5是奇數(shù)。可以看出6個(gè)積中有3個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)出現(xiàn)的可能性一樣，所以是公平的。

有了之前對(duì)“不公平”游戲的體驗(yàn)與分析，學(xué)生對(duì)公平的游戲規(guī)則理解更深刻了，此時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了“修改游戲規(guī)則使游戲公平”的探究活動(dòng)。在富有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)中，師生進(jìn)行了深度對(duì)話，學(xué)生的思路開闊，各種方案在對(duì)話中逐一呈現(xiàn)，無論是簡(jiǎn)單的還是復(fù)雜的，都能抓住游戲公平的本質(zhì)——事件發(fā)生的可能性相等。在探究活動(dòng)過程中，學(xué)生得到了最鮮活的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，積累了真實(shí)有效的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

縱觀全課，教師成為了一名顧問、一個(gè)意見的參與者、一個(gè)幫助發(fā)現(xiàn)矛盾論點(diǎn)的人，通過有趣的摸牌游戲，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，營(yíng)造了一個(gè)富有張力的課堂，學(xué)生的真實(shí)思維得以展示和完善，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就在游戲中自然發(fā)生。（作者單位：廣東省深圳市福田區(qū)梅林小學(xué)）

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深度對(duì)話，發(fā)展數(shù)學(xué)思考

師：既然剛才的游戲如此不公平，那么如何修改游戲規(guī)則使游戲公平呢？

（學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在小組里交流。）

生：比單雙。

師：怎么比單雙？

生：就是如果兩個(gè)人摸到的牌面點(diǎn)數(shù)都是單數(shù)時(shí)，男生記1分；都是雙數(shù)時(shí)，女生記1分。

師：如果摸到的是一單一雙怎么辦？

生：那就兩個(gè)人都不記分，重新摸。

師：這樣的規(guī)則公平嗎？

生：公平。因?yàn)檫@里有兩個(gè)單數(shù)，兩個(gè)雙數(shù)，同時(shí)摸到單數(shù)的可能性有一次，同時(shí)摸到雙數(shù)的可能性也是一次，摸到一單一雙的可能性是兩次。

師：以兩人摸到牌面的點(diǎn)數(shù)的奇偶性記分，除了這種記分規(guī)則是公平的之外，還有沒有別的以奇偶性記分規(guī)則也是公平的？

生：我們以奇偶性相同時(shí)，男生記1分，奇偶性不同時(shí)女生記1分。也是公平的。

師：真的公平嗎？

生：是公平的，我們來看看奇偶性相同時(shí)，即都是奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)共有兩種情況，奇偶性不同時(shí)也是有兩種情況。

師：嗯，分析得很到位。還有其他修改方法嗎？

生：把積改為和。這也就是把原來第二條規(guī)則改為“如果所摸出的兩張牌，牌面點(diǎn)數(shù)之和為奇（單）數(shù)時(shí)，男生記1分；否則女生記1分”。

師：這樣修改之后公平嗎？

生：不公平的。

師：說說看。

生：我是用一個(gè)一個(gè)列出來的方式也發(fā)現(xiàn)不公平。

師：很好，這個(gè)同學(xué)用分析的方法解決了問題，修改成計(jì)算兩數(shù)之和也是不公平的。還有別的修改方法嗎？

師：我們能否通過換牌面點(diǎn)數(shù)，還是按原來的記分規(guī)則來記分，使游戲公平？

生：把2或4換成5或許可以。我沒分析過。

師：會(huì)不會(huì)公平呢？那么我們現(xiàn)在就把4換成5，并按剛才方法分析一下，看看是否公平。

生：這是公平的。1×2=2是偶數(shù)，1×3=3是奇數(shù)，1×5=5是奇數(shù)，2×3=6是偶數(shù)，2×5=10是偶數(shù)，3×5是奇數(shù)。可以看出6個(gè)積中有3個(gè)奇數(shù)和3個(gè)偶數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)出現(xiàn)的可能性一樣，所以是公平的。

有了之前對(duì)“不公平”游戲的體驗(yàn)與分析，學(xué)生對(duì)公平的游戲規(guī)則理解更深刻了，此時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了“修改游戲規(guī)則使游戲公平”的探究活動(dòng)。在富有挑戰(zhàn)性的活動(dòng)中，師生進(jìn)行了深度對(duì)話，學(xué)生的思路開闊，各種方案在對(duì)話中逐一呈現(xiàn)，無論是簡(jiǎn)單的還是復(fù)雜的，都能抓住游戲公平的本質(zhì)——事件發(fā)生的可能性相等。在探究活動(dòng)過程中，學(xué)生得到了最鮮活的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，積累了真實(shí)有效的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

縱觀全課，教師成為了一名顧問、一個(gè)意見的參與者、一個(gè)幫助發(fā)現(xiàn)矛盾論點(diǎn)的人，通過有趣的摸牌游戲，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，營(yíng)造了一個(gè)富有張力的課堂，學(xué)生的真實(shí)思維得以展示和完善，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就在游戲中自然發(fā)生。（作者單位：廣東省深圳市福田區(qū)梅林小學(xué)）

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