一道函數解答題的探究與分析

羅文整

摘 要：在初中數學教學中，函數類型的綜合題，是教師最耗時，最難講清，能讓學生弄懂的題型。由于在教學中時間有限，又要讓學生熟悉掌握此類題型的解題思路與方法，在遇到此函數題型時，知道怎么來解，是每位在一線的教師來說，是必須熟知及思考的問題。

關鍵詞：課堂教學；探究；分析；解答

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）18-166-01

如圖（1）：已知拋物線的方程C1：y= （x+2）（x-m） （m）與x軸交于點B、C， 與y軸交于點E， 且點B在點C的左側。

若拋物線C1 過點M（2，2）， 求實數m的值。

在（1）的條件下，求ΔBCE的面積。

在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H， 使BH+EH最小，并求出點H的坐標。

在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F， 使得以點B、C、F為頂點的三角形與ΔBCE 相似？若存在，求m的值；若不存在請說明理由。

分析：此類題型是每年各地中考的必考題型，主要考察學生對函數的綜合運用能力。題目一般由3或4個問題要求學生解決，由易到難，一般來說，第（1）、（2）個問題大部分學生易解決，（3）或（4）問題大部分學生是可望不可求了。因為用到的知識點多，解題思路過程曲折。對于我們教師在教學中，此類題型如何探究、分析及講解，讓學生弄懂及掌握解題思路與方法？對于我們每一位數學教師來說，是值得思考的問題？

就多年從事數學教學，可以采用以下方法探究、分析及解答：

首先：要讓學生弄懂題目的已知條件告訴了我們什么，結合圖形理解，題目已知“拋物線的方程C1：y= （x+2）（x-m） （m） 此解析式形式是兩點式，由的大小確定開口方向，由附加條件m知開口向下，所求的m的值必須大于0，才能符合要求。通過觀察，此解析式只有一個待定系數m， 若需求出m， 是需知拋物線經過某待定的點的坐標，把該坐標的相關數代人，便可求出。本題中的（1）問拋物線C1：y= （x+2）（x-m） 過點M（2，2）， 可把當x=2時，y=2 代人拋物線解析式y= （x+2）（x-m） ， 即2= （2+2）（2-m）可求出m=4且符合m ，于是第（1）問題就這樣可解決了。此拋物線 的解析式為y= （x+2）（x-4）， 因為拋物線的解析式為交點式，便可知拋物線與x軸的交點的橫坐標為-2，4，即交點坐標為（-2，0）（4.0）兩點，事實上，要求出拋物線與x軸的交點的橫坐標，可通過令y=0，拋物線解析式變為- （x+2）（x-4）=0 求得x1 =-2，x2 =4。 所以與x軸的交點坐標為（-2，0）（4，0）結合圖形的已知條件，點B在點C的左側，即B（-2，0）C（4，0）所以BC=〡-2-4〡=6，在本題（2）問題中，要求出 ΔBCE的面積，可通過以BC為底OE為高即SΔBCE =求出，OE通過E的坐標得到，而E通過令x=0代人拋物線的解析式y= （x+2）（x-4） 得y= （0+2）（0-4）=2，故OE=2。所以SΔBCE = （面積單位）這樣，問題（2）在（1）條件下也解決了。

對于問題（3）用到物理鏡面反射的相關知識，在實際生活應用中通過用來解決最短距離問題，如圖（2）：A、B兩點在直線L 的同側，在L上找出點P使AP+BP的值最小。大家知道，通常我們是這樣找出點P的，作A（或B）關于直線的 L的對稱點A?（B?）連結線段BA?（AB?）與直線L的交點就是所求的點P，這時PA+PB的值最小。掌握此方法后，要解決問題（3）中，在拋物線的對稱軸上找一點H使BH+EH最小，結合圖形圖（3） 知點B與C已關于對稱軸對稱，現連結EC與對稱軸的交點，就是我們要找的點H，要求出點H的坐標，可通過直線EC解析式與對稱軸方程組成方程組來求解，設直線EC的解析式為y=kx+b（k），將 E（0，2）C（4，0）的坐標代入y=kx+b 得到解得b=2，k=。所以y=. 將x=1代入y=. 得y=. 所以H（1，）。

對于（4）問題，要求“使得以點B、C、F為頂點的三角形與ΔBCE 相似”，這樣的情況有如下幾種：①ΔBCF ～ ΔBCE； ②ΔBFC～ΔBCE； ③ΔCBF～ΔBCE； ④ΔCFB～ΔBCE； ⑤ΔFBC ～ΔBCE； ⑥ΔFCB～ΔBCE， 不同情況要求的圖形的位置也不一樣，如圖（4） ，若題目沒有限定條件“在第四象限內，拋物線 C1上是否存在點F，則6種情況都要考慮。根據題目的條件要求，結合圖形發現是有兩種情況進行分析探究了。

如圖（5）當ΔBCF～ΔBCE時則0， 2=BE.

作FD 軸垂直為D， 則BD=DF可設F（x，-x-2）（x） .又因為點F在拋物線C1上 ，∴-x-2= （x+2）（x-m）. 此時BF==2（m+1） 2 2=BE ∴=2·2（m+1） ∴ m=2±2 又 ∴m=2+2.

如圖（6） 當ΔΔFBC ～ΔBCE 時 ， 過F作 FHx軸于點H， 則= ∴ 可設F（x，-） （x） 又F在拋物線C1上，∴ - （x+2）（x-m） ∴x=m+2 ∴F（m+2，）。 由此題意知 EC= ∴ 整理 0=16顯然不成立，故綜合（1）（2）在第四象限內拋物線上存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與ΔBCE相似，此時m=2+2.

通過此題型的講解，要求學生必須熟練掌握二次函數解析式的三種不同表達方式的作用，會運用待定系數法求知的系數方法，會根據點坐標求出線段的長，會求經過某兩點的直線解析式，會求兩直線相交的坐標。當表達兩個三角形相似時，對應頂點字母當在對應的位置上，會找出相似三角形對應邊之間的關系及相等的角，會分不同情況進行綜合探究討論，來發現問題的結論，總之，解決任何問題必須要有扎實的基礎知識，通過不斷的訓練與學習，來提高解題的技巧與方法，不斷總結解題的經驗與方法，才能在今后的解答過程中找到行之有效的辦法和途徑。