淺談點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱的運(yùn)用

黃君明

(杭州財(cái)稅會(huì)計(jì)學(xué)校,浙江杭州 310012)

淺談點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱的運(yùn)用

黃君明

(杭州財(cái)稅會(huì)計(jì)學(xué)校,浙江杭州 310012)

本文就點(diǎn)關(guān)于線成軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行演變、挖掘,通過(guò)幾何圖形、距離、光線等一些問(wèn)題的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)變、求異、探索能力,啟迪學(xué)生綜合運(yùn)用發(fā)散思維。

對(duì)稱性 圖形 距離 光線

在關(guān)于直線的對(duì)稱性問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，不僅要讓學(xué)生理解和掌握基本的知識(shí)內(nèi)容，能熟練地解決一些基礎(chǔ)問(wèn)題，而且要引導(dǎo)學(xué)生從這些基礎(chǔ)問(wèn)題為藍(lán)本，培養(yǎng)學(xué)生的思維拓展、求異、探索的能力。本文就以點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱為例，談?wù)劷虒W(xué)的體會(huì)。

基礎(chǔ)問(wèn)題:試求點(diǎn)A(1，3)關(guān)于直線L:2x-3y-6=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。

解:設(shè)A(1，3)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x0，y0)，則AA'的中點(diǎn)為M，又因M在直線L上，

所以點(diǎn)A(1，3)關(guān)于直線L:2x-3y-6=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，-3)。

另解:設(shè)A(1，3)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x0，y0)，因?yàn)锳A'⊥L，所以直線AA'的斜率

所以點(diǎn)A(1，3)關(guān)于直線L:2x-3y -6=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，-3)。

這兩種解題方法，雖然過(guò)程方法有所不同，但實(shí)質(zhì)都基于軸對(duì)稱問(wèn)題的一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，即:點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)的充要條件線段AA′⊥L且線段AA′的中點(diǎn)在直線L上。在教學(xué)過(guò)程，大部分學(xué)生都能理解而且能夠掌握，但僅此不夠，還需引導(dǎo)學(xué)生從這類基礎(chǔ)問(wèn)題出發(fā)，展開(kāi)想象，去解決一些實(shí)際問(wèn)題。先來(lái)總結(jié)一下某一點(diǎn)關(guān)于基本直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo):

①A(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(x，-y);

②B(x，y)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'(-x，y);

③C(x，y)關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)C'(y，x);

④D(x，y)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)D'(-y，-x);

⑤P(x，y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)P'(2a-x，y);

⑥Q(x，y)關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)Q'(x，2b-y)。

1 有關(guān)光線問(wèn)題

例1.一束光線通過(guò)點(diǎn)A(-2，4)，在直線L:2x-3y-6=0反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(6，8)，求射入光線和反射光線所在的直線方程。

分析:從表面上看好象是物理光線問(wèn)題，但實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題。由幾何光線知識(shí)可知:點(diǎn)A關(guān)于直線2x-3y-6=0的對(duì)稱點(diǎn)A′在反射光線所在的直線上，即:反射光線在直線A′B上;同理，入射光線在直線AB′(點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于直線2x-3y-6=0的對(duì)稱點(diǎn))上。

例2.一束光線通過(guò)點(diǎn)A(-3，2)照射到x軸上，經(jīng)x軸的反射，反射光線與圓x2+y22-8x+6y=0相切，求反射光線所在的直線方程。

分析:首先找出點(diǎn)A(-3，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-3，-2)，然后再求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′(-3，-2)的圓x2+y22-8x+6y=0的切線方程，即反射光線所在的這直線就是所求的切線方程。

解:顯然點(diǎn)A(-3，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(-3，-2)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A′(-3，-2)

與圓x2+y2-8x+6y=0相切的直線斜率為k，則切線方程為:y+2=k(x+3)，即kx-y-2+3k=0。根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知，圓心到切線的距離等于半徑，圓x2+y2-8x+6y=0的圓心坐標(biāo)為(4，-3)，半徑等于5，從而圓心(4，-3)到切線kx-y-2+3k=0的距離

化簡(jiǎn)、整理得:12k2+7k-12=0，解得

從而反射光線所在的直線方程為:3x-4y+1=0。

2 有關(guān)最小值問(wèn)題

例3.在一條公路同一邊有2個(gè)村莊A、B，它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系下，坐標(biāo)分別為A(-2，1)、B(3，4)，公路所在直線位置為3x-2y-6=0。現(xiàn)需在公路邊建一個(gè)電力輸送站，問(wèn)輸送站建在什么位置到A、B兩村莊的輸送線路最短？

分析:如果A、B村莊分別在公路的二邊，那么直線段AB與公路的相交位置(M)就是要尋找的輸送站的位置。現(xiàn)在A、B村莊在公路的同一邊，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離最短的是直線段和對(duì)稱性的知識(shí)可知，這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)仍為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題。村莊A關(guān)于公路(直線3x-2y-6=0)的對(duì)稱點(diǎn)A′與B村莊的距離為|AM|+|BM|，因此直線段A′B與公路(直線3x-2y-6=0)相交的位置(M)，就是要找的輸送站位置。因?yàn)榇藭r(shí)的M位置能使|AM|+|BM|的值最小。求解過(guò)程:(1)先求出點(diǎn)A(-2，1)關(guān)于直線3x-2y-6=0的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，(2)求過(guò)A′、B兩點(diǎn)的直線方程，(3)求直線A′B與直線3x-2y-6=0的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，則該交點(diǎn)M就是公路邊建一個(gè)電力輸送站位置。

3 有關(guān)幾何圖形的對(duì)稱性問(wèn)題

例4:△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，4)，∠B與∠C的平分線的方程分別為L(zhǎng)1:x-y-2=0和L2:x+2y-5=0，求BC所在直線的方程。

分析:該題表面上求直線方程的條件不明顯，但根據(jù)角平分線和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱有關(guān)知識(shí)，就可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A關(guān)于∠B，∠C的平分線的對(duì)稱點(diǎn)都在BC所在直線上。求解過(guò)程:(1)求出點(diǎn)A關(guān)于∠B與∠C的平分線L1和L2的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，(2)求直線A1A2方程，(3)BC所在的直線方程就是直線A1A2的方程。

解:先求點(diǎn)A關(guān)于∠B的平分線L1:x-y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)，顯然L1:x-y-2=0 k=1的斜率，且AA1⊥L1，則直線AA1的斜率k=-1，

從而有:y-4=-1(x-2)，即直線AA1的方程為x+y-6=0，

從而A1的坐標(biāo)為(6，0)。

同理:A2的坐標(biāo)為(0，0)。(A2是點(diǎn)A關(guān)于∠C的平分線L2:x+2y-5=0的對(duì)稱點(diǎn))

則直線A1A2方程為y=0。

根據(jù)角平分線和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱的性質(zhì)，可知點(diǎn)A關(guān)于∠B，∠C的平分線的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2都在BC所在直線上，所以BC所在的直線方程就是直線A1A2的方程，即:y=0。

例5:已知雙曲線C:3x2-y2=1與直線L:y=kx+1相交于M、N兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線x-2y=0對(duì)稱？

解:設(shè)M(x1，y2)、N(x2，y2)，且M、N的中點(diǎn)P(x0，y0)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使M、N兩點(diǎn)關(guān)于x-2y=0對(duì)稱，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱的性質(zhì)，可知直線MN的斜率

且點(diǎn)P(x0，y0)滿足直線方程x-2y=0，即x0-2y0=0，

因?yàn)镸、N兩點(diǎn)在雙曲線C:3x2-y2=1上，因此有

從而y0=0，x0=0。

即M、N的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0)，顯然點(diǎn)P(0，0)不在直線MN(L:y=kx+1)上，

所以假設(shè)不成立，即不存在實(shí)數(shù)k，使M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線x-2y=0對(duì)稱。