末端質(zhì)量和關(guān)節(jié)慣量對(duì)柔性臂運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響分析

劉廣瑞 吳曉鈴 陳 園 虞正平

1.鄭州大學(xué)，鄭州，450001 2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400044 3.北方重工集團(tuán)公司，沈陽，110860

0 引言

自20世紀(jì)80年代以來，柔性結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)與控制問題的研究受到了國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注［1－8］。總的來說，該領(lǐng)域的研究分為動(dòng)力學(xué)、控制方法、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)三個(gè)方面，研究的目標(biāo)可以歸結(jié)為柔性臂末端位置彈性振動(dòng)的抑制。柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模與仿真的研究涉及航空航天、機(jī)器人、土木工程等許多應(yīng)用領(lǐng)域。文獻(xiàn)［9－12］用各種方法建立了柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型。柔性機(jī)械臂控制的研究主要集中在各種控制方法在柔性機(jī)械臂振動(dòng)抑制中的應(yīng)用［13－16］。柔性機(jī)械臂本身的一些動(dòng)力學(xué)參數(shù)，如末端質(zhì)量和驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)慣量等，對(duì)柔性機(jī)械臂的彈性運(yùn)動(dòng)有重要影響，但這方面的研究卻較少。滕悠優(yōu)［17］研究了末端附加質(zhì)量位置對(duì)響應(yīng)頻率特性的影響，得出了一些有益結(jié)論。但是，相關(guān)研究仍然不夠深入和系統(tǒng)。

在國外，從動(dòng)力學(xué)建模和控制方法角度研究柔性機(jī)械臂的例子比較多，但從機(jī)械設(shè)計(jì)角度研究柔性機(jī)械臂的例子比較少。文獻(xiàn)［18－20］用有限元方法和反饋線性化方法研究了柔性機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)載荷負(fù)載能力問題，提出了計(jì)算柔性機(jī)械臂最大許用載荷的方法，認(rèn)為柔性機(jī)械臂末端位置質(zhì)量有一上限，超過這一上限，柔性機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)精度和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性會(huì)受到影響。

本文在建立末端有集中質(zhì)量的柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)無限維的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了截?cái)唷Ｔ谶x取了狀態(tài)和輸出后，建立了柔性機(jī)械臂的狀態(tài)空間表達(dá)式，并推導(dǎo)出以驅(qū)動(dòng)力矩為輸入、以末端位置彈性振動(dòng)為輸出的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)傳遞函數(shù)。用勞斯判據(jù)判斷了系統(tǒng)穩(wěn)定性，得到了柔性機(jī)械臂系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，建立了末端位置彈性運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判據(jù)。在穩(wěn)定判據(jù)的基礎(chǔ)上，用MATLAB計(jì)算和推理，分析研究了末端附加質(zhì)量和驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)末端位置彈性振動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

1 柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 末端有集中質(zhì)量的柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的建立

本節(jié)用拉格郎日方程建立了單連桿柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)和計(jì)算所用柔性機(jī)械臂的有關(guān)參數(shù)如下：材質(zhì)為45鋼，全長1009mm，加持長 100mm，懸 伸 長 909mm，寬 48.5mm，厚3.8mm，密度為 7.8×103kg／m3，彈性模量為210GPa。

圖1所示的柔性機(jī)械臂的末端載有一個(gè)集中質(zhì)量塊，即mt≠0。此處柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的總動(dòng)能Ek包括電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子和夾頭的動(dòng)能Ek1、柔性機(jī)械臂本身的動(dòng)能Ek2、末端集中質(zhì)量塊所攜帶的動(dòng)能Ek3，因此有

電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子和夾頭的動(dòng)能為

式中，It為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，包括電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子和剛性夾頭的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖1 末端有集中質(zhì)量的某單連桿柔性機(jī)械臂示意圖

柔性機(jī)械臂本身的動(dòng)能為

式中，ρ為機(jī)械臂材料密度；A為機(jī)械臂橫截面面積；l為機(jī)械臂的縱向長度；x為機(jī)械臂縱向位置變量；w為縱向位置x處在時(shí)刻t的彈性變形量，是w（x，t）的簡寫；θ為t時(shí)刻機(jī)械臂的剛性轉(zhuǎn)角。

末端集中質(zhì)量塊所攜帶的動(dòng)能為

彎曲變形彈性勢(shì)能為

拉格郎日函數(shù)為

考慮到小變形、邊界條件及其變化、模態(tài)型函數(shù)等因素，用假設(shè)模態(tài)法對(duì)拉格郎日函數(shù)進(jìn)行簡化，得到

式中，Πi為第i階振型的廣義剛度；γi為積分系數(shù)；φi、φj為柔性機(jī)械臂彈性運(yùn)動(dòng)的第i階、第j階模態(tài)型函數(shù)；qi、qj為柔性機(jī)械臂彈性運(yùn)動(dòng)的第i階、第j階廣義模態(tài)坐標(biāo)。

列寫拉格朗日方程并化簡，得到：

式中，Mi為第i階振型的廣義質(zhì)量；τ為力矩。

在式（8）、式（9）中加入結(jié)構(gòu)阻尼：

式中，ξi為柔性機(jī)械臂第i階彈性模態(tài)結(jié)構(gòu)阻尼；ωi為第i階模態(tài)固有頻率。

寫成矩陣形式：

1.2 模態(tài)截?cái)嗉夹g(shù)與模型降階

利用文獻(xiàn)［4］中介紹的模型降階方法，根據(jù)本例的實(shí)際情況，取二階彈性模態(tài)，得到末端有集中質(zhì)量的平面單連桿柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，形如式（12），其中的變量變?yōu)?/p>

驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量It＝0.3664kg·m2，材料密度與截面積的乘積ρA＝1.4375kg／m，柔性臂的長度l＝0.909m，彈性模量E＝210GPa，截面慣性矩I＝2.22×10－10m3，取末端質(zhì)量mt＝2kg，得到式（12）中的矩陣M、R、K：

慣量矩陣M中每個(gè)元素的單位是kg·m2；阻尼矩陣R中每個(gè)元素的單位是N·s／m，剛度矩陣K中每個(gè)元素的單位是N／m。

2 狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)

2.1 狀態(tài)空間表達(dá)式

選取狀態(tài)變量：

取末端位置彈性振動(dòng)為輸出，即取y＝w（l，t）＝φ1（l）q1（t）＋φ2（l）q2（t）為輸出。得到如下狀態(tài)空間表達(dá)式：

2.2 傳遞函數(shù)

以柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩u為輸入，以末端位置彈性振動(dòng)y為輸出，用MATLAB的Control Toolbox中的控制模型轉(zhuǎn)換函數(shù)，編寫簡單的程序就可得到如下傳遞函數(shù)：

用MATLAB繪出如圖2、圖3所示的階躍響應(yīng)曲線。對(duì)比圖2、圖3可知，增加末端附加質(zhì)量使末端彈性運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性降低。

圖2 有末端附加質(zhì)量時(shí)的末端位置階躍響應(yīng)

圖3 無末端附加質(zhì)量時(shí)的末端位置階躍響應(yīng)

3 末端質(zhì)量變化對(duì)末端振動(dòng)的影響

從計(jì)算的結(jié)果來看（與無末端附加質(zhì)量的情形對(duì)比），末端集中質(zhì)量的存在使柔性機(jī)械臂彈性振動(dòng)的穩(wěn)定性變差，并有可能使使之失穩(wěn)。上面的計(jì)算是以末端質(zhì)量取2kg得到的，據(jù)此有理由相信，應(yīng)該存在一個(gè)使柔性機(jī)械臂彈性運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的最大末端位置質(zhì)量，超過該質(zhì)量便會(huì)失穩(wěn)，可是如何得到這個(gè)臨界質(zhì)量呢？下面對(duì)此進(jìn)行探討。

探討的總體思路是：要得到系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界質(zhì)量，首先要得到系統(tǒng)穩(wěn)定的判別式（判別式包含末端位置附加質(zhì)量的表達(dá)式），然后通過解析或計(jì)算的方法分析末端位置附加質(zhì)量對(duì)穩(wěn)定性的影響。所以，分析的具體步驟是：①進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，得到包含末端附加質(zhì)量的狀態(tài)空間表達(dá)式；②將該狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)表達(dá)式；③構(gòu)造勞斯表；④根據(jù)勞斯判據(jù)得到輸入輸出穩(wěn)定的充要條件（穩(wěn)定判別式）；⑤由判別式分析計(jì)算末端位置附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得到臨界穩(wěn)定質(zhì)量（保證末端位置彈性振動(dòng)穩(wěn)定的最大末端位置質(zhì)量）。在該階段的分析中，假定驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Id保持不變。

3.1 狀態(tài)空間表達(dá)式

選取狀態(tài)變量：

控制輸入：

輸出變量：

得到狀態(tài)空間表達(dá)式：

用MATLAB符號(hào)推理功能，得到A、B中的各個(gè)元素：

3.2 推求傳遞函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式

借助MATLAB的符號(hào)推理功能得到傳遞函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式：

將傳遞函數(shù)的分母（決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式）進(jìn)一步改寫為

3.3 構(gòu)造勞斯表

按照勞斯判據(jù)，構(gòu)造勞斯表（表1）。

表1 勞斯表

3.4 根據(jù)勞斯判據(jù)得到輸入輸出穩(wěn)定的充要條件

經(jīng)過仔細(xì)分析得到了保證以驅(qū)動(dòng)力矩為輸入、以末端位置彈性振動(dòng)為輸出的柔性臂控制系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定的充要條件。

穩(wěn)定性準(zhǔn)則1：

穩(wěn)定性準(zhǔn)則2：

3.5 末端位置附加質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

分析計(jì)算方法思路：借助MATLAB，令末端質(zhì)量mt從0開始以一定步長不斷增加直至上限，在此過程中不斷計(jì)算參數(shù)ki、ωi、φi、Mi、Πi、γi，判斷式（18）、式（19）是否成立。若成立，則繼續(xù)循環(huán)，否則停止運(yùn)算，記下此時(shí)的mt，此值即是mt的穩(wěn)定上限，超過此值系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定。程序如4所示。

運(yùn)行結(jié)果如下：

（1）柔性機(jī)械臂存在末端附加質(zhì)量時(shí)，特征值、固有頻率、型函數(shù)發(fā)生變化，模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度也相應(yīng)發(fā)生變化。

圖4 用MATLAB計(jì)算流程圖

（2）mt≠0情況下，mt對(duì)特征值、固有頻率、型函數(shù)、模態(tài)剛度沒有影響，但對(duì)模態(tài)質(zhì)量有影響，即mt對(duì)特征值ki、模態(tài)固有頻率ωi、模態(tài)型函數(shù)φi、模態(tài)剛度系數(shù)γi及模態(tài)剛度Πi沒有影響，但對(duì)模態(tài)質(zhì)量Mi有影響。這一點(diǎn)非常重要。

（3）存在一個(gè)末端質(zhì)量區(qū)域，使柔性機(jī)械臂在該區(qū)域內(nèi)輸入輸出穩(wěn)定。

（4）第一個(gè)條件（式（18））不一定滿足，第二個(gè)條件（式（19））總滿足。

（5）驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子及夾頭處的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)輸入輸出穩(wěn)定性有較大的影響。這個(gè)慣量越大，穩(wěn)定的區(qū)域越大。圖5～圖8中的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量It分別為0.3664kg·m2、0.5kg·m2、1kg·m2、1.5kg·m2。

圖5 穩(wěn)定性隨末端質(zhì)量的變化（It＝0.3664kg·m2）

圖6 穩(wěn)定性隨末端質(zhì)量的變化（It＝0.5kg·m2）

3.6 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化對(duì)末端位置彈性振動(dòng)的影響

由圖5～圖8可知，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量It為0.3664kg·m2、0.5kg·m2、1kg·m2、1.5kg·m2時(shí)，對(duì)應(yīng)末端位置彈性振動(dòng)穩(wěn)定的末端附加質(zhì)量上限分別約為0.1kg、0.1kg、0.5kg、0.9kg。可見，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，末端位置彈性振動(dòng)穩(wěn)定的末端附加質(zhì)量上限越高。

圖7 穩(wěn)定性隨末端質(zhì)量的變化（It＝1.0kg·m2）

圖8 穩(wěn)定性隨末端質(zhì)量的變化（It＝1.5kg·m2）

4 結(jié)論

（1）柔性機(jī)械臂的末端附加質(zhì)量對(duì)其末端位置彈性振動(dòng)是有影響的。

（2）末端附加質(zhì)量的大小對(duì)特征值、固有頻率、型函數(shù)、模態(tài)剛度沒有影響，對(duì)模態(tài)質(zhì)量有影響。

（3）末端附加質(zhì)量存在一個(gè)上限，超過這個(gè)上限，柔性機(jī)械臂末端位置彈性振動(dòng)將會(huì)失穩(wěn)。該上限與該機(jī)械臂的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，末端附加質(zhì)量的上限越高。

（4）上述驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和末端位置附加質(zhì)量可以通過建立柔性機(jī)械臂末端位置彈性運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判據(jù)來計(jì)算。

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