剪式機(jī)構(gòu)陣列可展結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)分析方法與應(yīng)用研究

劉國(guó)林 王三民 尚 鵬

西北工業(yè)大學(xué)，西安，710072

0 引言

可展結(jié)構(gòu)是一種由收縮狀態(tài)展開成預(yù)先設(shè)定的展開狀態(tài)、承受載荷并保持穩(wěn)定構(gòu)型的結(jié)構(gòu)，因具有可收縮、可展開的特點(diǎn)，在航空、航天和建筑領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景?？烧菇Y(jié)構(gòu)可以看成是由某種類型的單元機(jī)構(gòu)按照某種方式陣列而成，這是這種機(jī)構(gòu)式結(jié)構(gòu)不同于于其他結(jié)構(gòu)的一個(gè)顯著特點(diǎn)。

隨著可展結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用，許多學(xué)者在從事其構(gòu)型設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)分析等方面的研究工作。土耳其學(xué)者Gokhan等［1］以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為對(duì)象進(jìn)行運(yùn)動(dòng)拓?fù)浞治觯l(fā)現(xiàn)了一種剪式單元機(jī)構(gòu)構(gòu)成環(huán)狀可展結(jié)構(gòu)和多面體可展結(jié)構(gòu)的方法。雅典學(xué)者Charis［2］采用剪式機(jī)構(gòu)構(gòu)成了平面和曲面可展結(jié)構(gòu)，研究了其展開過程中的幾何非線性現(xiàn)象和桿件的變形。Karpov等［3－4］根據(jù)有限元理論，采用離散傅里葉變換，研究了不同單元構(gòu)成的陣列組合結(jié)構(gòu)的邊值問題，并進(jìn)一步研究了因構(gòu)件尺寸誤差產(chǎn)生的構(gòu)件的初始裝配應(yīng)力的概率分布問題。Stephen［5］利用傳遞矩陣法研究了陣列組合結(jié)構(gòu)在不同的載荷和支撐下的彈性靜力學(xué)問題。EI－Raheb［6］根據(jù)周期對(duì)稱理論，研究了剪式機(jī)構(gòu)構(gòu)成的六邊形可展結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，獲得了各階固有頻率和陣型。楊毅等［7］利用凝聚矩陣法，進(jìn)行了剪式單元可展結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)分析與拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。陳向陽(yáng)等［8］利用主從自由度分析了剪式單元的真實(shí)力學(xué)模型，并推導(dǎo)了混合坐標(biāo)下剪式單元的剛度矩陣和自由振動(dòng)方程。張春等［9］進(jìn)行了空間可展機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)特性研究。

可展結(jié)構(gòu)的單元多、尺寸大，如果按照常規(guī)的有限元方法對(duì)其進(jìn)行建模和分析，計(jì)算量大，效率低，耗時(shí)長(zhǎng)。所以，如何在分析中有效地利用可展結(jié)構(gòu)由一個(gè)基本單元按照某種方式陣列而成的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，減小模型計(jì)算量，提高計(jì)算效率，成為目前研究的一個(gè)熱點(diǎn)。本文以剪式單元機(jī)構(gòu)線狀陣列可展結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，建立其靜力學(xué)分析有限元模型，根據(jù)總剛度矩陣的循環(huán)特性，通過離散傅里葉變換進(jìn)行求解，得到了該類型可展結(jié)構(gòu)各鉸鏈處的位移和約束力。因陣列組合可展結(jié)構(gòu)的總剛度陣總可以通過簡(jiǎn)單的變換而變成循環(huán)矩陣，所以該方法也可推廣應(yīng)用于其他類型的可展結(jié)構(gòu)中。該方法是進(jìn)行陣列組合結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析的一種新方法。

1 建模方法

剪式單元線狀陣列可展結(jié)構(gòu)如圖1所示。該類可展結(jié)構(gòu)以剪式機(jī)構(gòu)作為單元機(jī)構(gòu)，相鄰剪式機(jī)構(gòu)之間鉸接連接，通過線狀陣列，得到N個(gè)剪式單元組成的平面可展結(jié)構(gòu)，各剪式單元機(jī)構(gòu)編號(hào)分別為0，1，…，N－1，各鉸鏈點(diǎn)編號(hào)為i0、j0、k0，…，iN－1、jN－1、kN－1，iN、jN。

圖1 剪式機(jī)構(gòu)線狀陣列可展結(jié)構(gòu)

1.1 剪式單元?jiǎng)偠汝?/h3>

剪式單元機(jī)構(gòu)如圖2所示，由兩根桿通過中間的樞軸節(jié)點(diǎn)鉸接構(gòu)成，展開角度用θ表示。由于相鄰的剪式機(jī)構(gòu)之間鉸接，而每個(gè)剪式單元機(jī)構(gòu)有6個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別為A、B、C、A′、B′、C′，故可將剪式機(jī)構(gòu)劃分為4個(gè)兩節(jié)點(diǎn)平面梁?jiǎn)卧?，分別為單元AB、BC、A′B′、B′C′。根據(jù)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚰捌湓谡w和局部坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換關(guān)系，組裝剪式機(jī)構(gòu)的4個(gè)梁?jiǎn)卧?，可得到整體坐標(biāo)系下剪式單元的剛度矩陣和平衡方程。對(duì)于圖2b所示的剪式單元，常用于環(huán)狀陣列可展結(jié)構(gòu)，其單元?jiǎng)偠染仃嚨慕⑸杂胁煌?/p>

圖2 剪式機(jī)構(gòu)單元

由于節(jié)點(diǎn)B、B′鉸接，所以其平動(dòng)自由度相等，即xB＝xB′、yB＝y(tǒng)B′，代入剪式單元的平衡方程，得

式中，f＊、q＊為16×1的列向量，分別為各節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)力和位移；k＊為對(duì)應(yīng)剛度陣。

節(jié)點(diǎn)A、C、A′、C′的外部力矩為0，可以釋放其轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，節(jié)點(diǎn)B、B′是單元機(jī)構(gòu)的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，不與其他單元機(jī)構(gòu)直接發(fā)生聯(lián)系，可以凝聚其自由度。根據(jù)保留自由度和被凝聚的自由度，式（1）分塊表示為

其中，qr、f＊r分別表示保留自由度及其對(duì)應(yīng)的力或力矩，為8×1的列向量，qo、f＊o分別表示被凝聚的自由度及其對(duì)應(yīng)的力或力矩，同為8×1的列向量。krr、kro、kor、koo為矩陣k＊的分塊表示，無特殊含義。保留自由度為節(jié)點(diǎn)A、A′、C、C′的兩個(gè)平動(dòng)自由度分量。由式（2）得凝聚后的平衡方程：

式中，kr為剪式機(jī)構(gòu)單元的剛度陣。

1.2 總剛度矩陣

將式（3）所得的剪式單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行組裝，得到總剛度矩陣K，平衡方程為

式中，F(xiàn)、q分別為節(jié)點(diǎn)力和位移矩陣。

由于相鄰剪式單元之間鉸接，所以有

將式（5）代入式（4），最后得平衡方程：

其中，qr（r＝0，1，…，N－1）為4×1的列向量，各分量分別為剪式單元r中節(jié)點(diǎn)A、A′的兩個(gè)平動(dòng)自由度分量，qN分量分別為剪式單元N－1中節(jié)點(diǎn)C、C′的兩個(gè)平動(dòng)自由度分量，F(xiàn)r（r＝0，1，…，N）為對(duì)應(yīng)于qr的載荷，矩陣K＊的各分量由前述計(jì)算過程確定。

將邊界條件代入式（6），得到一個(gè)靜定線性方程組，求解該方程組，可得到各節(jié)點(diǎn)的位移。但是當(dāng)剪式單元機(jī)構(gòu)數(shù)量較多時(shí)，剛度矩陣K＊的規(guī)模會(huì)很大，導(dǎo)致計(jì)算量增加，計(jì)算效率降低?？烧菇Y(jié)構(gòu)由剪式機(jī)構(gòu)線狀陣列構(gòu)成，結(jié)構(gòu)上規(guī)律性較強(qiáng)，剛度矩陣K＊也具有較強(qiáng)的規(guī)律性，這是該類結(jié)構(gòu)剛度矩陣不同于普通結(jié)構(gòu)的一個(gè)顯著特點(diǎn)，該特點(diǎn)為求解式（6）提供了新的方法。

1.3 平衡方程的卷積形式

式（6）中，矩陣K＊的第2行至第N行是循環(huán)的形式，下面通過等價(jià)變形，將矩陣K＊表示為循環(huán)矩陣。

式（6）可以展開表示為

綜合式（8）、式（10）、式（11）得式（6）的等價(jià)方程組，表示成離散卷積的形式為

1.4 環(huán)狀可展結(jié)構(gòu)的有限元模型

以上為剪式機(jī)構(gòu)線狀陣列可展結(jié)構(gòu)的有限元模型的建立過程，當(dāng)進(jìn)行環(huán)狀陣列時(shí)，因坐標(biāo)變換矩陣不同，使得總剛度陣不是循環(huán)矩陣，這時(shí)，采用以下方法處理。

環(huán)狀可展結(jié)構(gòu)如圖3所示，單元機(jī)構(gòu)如圖2b所示，每個(gè)單元機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的圓心角都是α。對(duì)每一個(gè)剪式單元建立固定坐標(biāo)系XrOYr，O點(diǎn)位于圓心，OYr軸過鉸鏈點(diǎn)ir、jr。仍然劃分為4個(gè)單元AB、BC、A′B′、B′C′，對(duì)應(yīng)6個(gè)節(jié)點(diǎn) A、B、C、A′、B′、C′。整體位移的選擇遵循以下原則：剪式單元r的節(jié)點(diǎn)A、B、A′、B′的整體位移以坐標(biāo)系XrOYr為參考系，節(jié)點(diǎn)C、C′的整體位移以坐標(biāo)系Xr＋1OYr＋1為參考系，從而保證不同剪式單元中的同一個(gè)梁?jiǎn)卧淖鴺?biāo)變換矩陣相同。

按照前述過程，組裝整體坐標(biāo)系下的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕⑦M(jìn)行自由度凝聚，可得到剪式單元的剛度矩陣。上述整體自由度選擇原則保證了不同的剪式單元具有完全相同的剛度矩陣。組裝剪式單元的剛度矩陣，可得到可展結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。由于單元0與單元N在鉸鏈i0、j0處鉸接，所以總剛度陣為循環(huán)矩陣，無需進(jìn)行式（12）所示的變換過程。另外，需要說明的是，載荷向量F的各分量應(yīng)表示在與對(duì)應(yīng)自由度相同的坐標(biāo)系下，即剪式單元r的節(jié)點(diǎn)A、B、A′、B′的載荷表示在坐標(biāo)系XrOYr中，節(jié)點(diǎn)C、C′的載荷表示在坐標(biāo)系Xr＋1OYr＋1中。最后可得式（12）所示的卷積形式的有限元方程。

圖3 剪式機(jī)構(gòu)環(huán)狀陣列可展結(jié)構(gòu)

2 求解方法

式（12）將剪式機(jī)構(gòu)線狀陣列可展結(jié)構(gòu)的有限元方程表示為離散卷積的形式，離散傅里葉變換和離散卷積的性質(zhì)為求解該方程組提供了新的方法。式（12）本質(zhì)上仍是一個(gè)非齊次線性方程組，其通解可以表示為一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通解之和。

2.1 F（n）＝q（n）＊K（n）的特解

首先將F（n）、K（n）、q（n）進(jìn)行拓展，使其成為周期性無限長(zhǎng)序列，即

式（12）的另一種等價(jià)形式為

對(duì)式（14）兩邊進(jìn)行離散傅里葉變換，然后在等式右側(cè)同時(shí)乘以和除以e－i2πsp／（N＋1），得

由式（15）得

對(duì)式（17）進(jìn)行離散傅里葉逆變換得

q（s）即為所求得的位移。

由式（22）、式（23）得

因此，式（12）的特解可以表示為

2.2 q（n）＊K（n）的通解

對(duì)式（27）進(jìn)行離散傅里葉逆變換得

式（29）即為q（n）＊K（n）＝0的通解。

以上求得了式（12）的特解及其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及式（25）、式（29），式（12）的通解可以表示為

2.3 計(jì)算各鉸鏈點(diǎn)位移和約束力

式（12）的通解可以表示為式（30）的形式，但是，式中系數(shù)向量C以及F（0）、F（N）未知，所以，需進(jìn)一步計(jì)算系數(shù)向量C和F（0）、F（N）。

由式（30）可得

將式（31）代入式（19），并根據(jù)F（N）＝FN＋FvN，得到一個(gè)靜定線性方程組，解之，得F（0）、F（N）、q（N）。

得到F（0）、F（N）后，代入式（25），可得各鉸鏈點(diǎn)的位移q（s），其中s＝1，2，…，N－1，將q（s）代入式（3），得到各剪式單元中節(jié)點(diǎn) A、A′、C、C′的節(jié)點(diǎn)力，減去各節(jié)點(diǎn)處的外部載荷，得到各鉸鏈點(diǎn)的約束力。另外，根據(jù)自由度凝聚過程，還可以求得各鉸鏈點(diǎn)B、B′的位移和約束力。得到各節(jié)點(diǎn)的位移后，在單元的局部坐標(biāo)系下，與幾何矩陣相乘，得到各單元的應(yīng)變，與應(yīng)力矩陣相乘，得到各單元的應(yīng)力。

3 算例

表1 直線陣列結(jié)構(gòu)鉸鏈點(diǎn)C、C′的位移 mm

表2 直線陣列結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)B、B′的最大應(yīng)力 MPa

例二為環(huán)狀陣列可展結(jié)構(gòu)，5個(gè)單元機(jī)構(gòu)，約束i0、j0處x、y方向位移，單元2、3的節(jié)點(diǎn)B、B′處受到100N的徑向力作用，其余條件同例一。計(jì)算結(jié)果如表3、表4所示。比較計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，環(huán)狀可展結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和變形遠(yuǎn)小于直線可展結(jié)構(gòu)。

表3 環(huán)狀陣列結(jié)構(gòu)鉸鏈點(diǎn)C、C′的位移 mm

表4 環(huán)狀陣列結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)B、B′的最大應(yīng)力 MPa

4 結(jié)論

（1）本文根據(jù)有限單元法，將剪式單元機(jī)構(gòu)劃分為四個(gè)平面梁?jiǎn)卧ㄟ^對(duì)其自由端和鉸接點(diǎn)自由度進(jìn)行凝聚，建立了剪式單元機(jī)構(gòu)的剛度矩陣，然后組裝剪式機(jī)構(gòu)的剛度矩陣得到可展結(jié)構(gòu)的總剛度陣和有限元方程。通過等價(jià)變形，將總剛度陣表示為循環(huán)矩陣，平衡方程表示為離散卷積的形式。

（2）根據(jù)離散傅里葉變換和離散卷積的性質(zhì)以及非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，提出了一種新的方法求解平衡方程，得到了各單元的變形和應(yīng)力，以及各鉸鏈點(diǎn)的約束力，最后采用兩個(gè)算例驗(yàn)證了方法的有效性。

（3）由于陣列組合結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)上的循環(huán)對(duì)稱的特點(diǎn)，文中所用方法不僅適用于剪式機(jī)構(gòu)陣列形成的可展結(jié)構(gòu)，也適用于其他類型的單元機(jī)構(gòu)陣列形成的各種形式的可展結(jié)構(gòu)。該方法相對(duì)于常規(guī)的有限元方法，計(jì)算量減小了，提高了計(jì)算效率。

［1］Gokhan K，Eres S，Ozgur Kisisel A U.A Family of Deployable Polygons and Polyhedra［J］.Mechanism and Machine Theory，2008，43：627－640.

［2］Charis G.An Improved Analytical Model for the Prediction of the Nonlinear Behavior of Flat and Curved Deployable Space Frames［J］.Journal of Constructional Steel Research，1997，44（1／2）：129－158.

［3］Karpov E G，Stephen N G，Dorofeev D L.On Static Analysis of Finite Repetitive Structures by Discrete Fourier Transform［J］.International Journal of Solids and Structures，2002，39（16）：4291－4310.

［4］Karpov E G，Stephen N G，Liu W K.Initial Tension in Randomly Disordered Periodic Lattices［J］.International Journal of Solids and Structures，2003，40（20）：5371－5388.

［5］Stephen N G.Repetitive Beam－like Structures：Distributed Loading and Intermediate Support［J］.International Journal of Solids and Structures，2009，46（20）：3664－3668.

［6］EI－Raheb M.Modal Properties of a Cyclic Symmetric Hexagonal Lattice［J］.Computers and Structures，2011，89（23／24）：2249－2260.

［7］楊毅，丁希侖.剪式單元可展機(jī)構(gòu)靜力學(xué)分析與拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2010，21（2）：184－189.Yang Yi，Ding Xilun.Analysis and Topology Optimization of Deployable Mechanism Based on Pantograph［J］.China Mechanical Engineering，2010，21（2）：184－189.

［8］陳向陽(yáng)，關(guān)富玲，陳務(wù)軍.折疊結(jié)構(gòu)的主從自由度分析［J］.工程力學(xué)，1999，16（5）：83－88.Chen Xiangyang，Guan Fuling，Chen Wujun.Master／Slave Freedom Analysis for Foldable Structures［J］.Engineering Mechanics，1999，16（5）：83－88.

［9］張春，王三民，袁茹.空間可展機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)特性研究［J］.機(jī) 械 科 學(xué) 與 技 術(shù)，2007，26（11）：1479－1482.Zhang Chun，Wang Sanmin，Yuan Ru.On Elastodynamic Characteristics of Space Deployable Mechanism［J］.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2007，26（11）：1479－1482.