基于蟻群算法優化選取閾值的EMD消噪方法

張根保 范秀君

重慶大學，重慶，400044

0 引言

在機械故障診斷領域中如何有效地消除信號的噪聲一直是研究的熱點和難點。目前，較為常用的消噪方法為基于小波的非線性處理方法，但是該方法存在算法復雜、對參數敏感、計算量大等問題，尤其是需要選取母小波，若選擇不當將會對濾波效果產生較大影響，因此，在實際的信號消噪中該方法具有一定的局限性。經驗模式分解（EMD）方法作為近年來發展起來的非線性時頻分析方法，在信號特征提取、消噪等方面具有獨特的優勢。整個EMD分解過程是根據數據的自身進行的處理，自適應性強，不需要像小波分解變換那樣需人為地選取基函數，因此得到了廣泛的應用［1－2］。

在傳統的EMD消噪方法基礎上，為了更好地消除信號分量，很多學者結合小波閾值的去噪方法［3－5］，在經 典 的 軟 硬 閾 值 消 噪 方 法 基 礎 上［6］，提出了基于不同閾值算法的EMD消噪方法。行鴻彥等［7］提出基于軟閾值的EMD消噪方法，對心電信號進行消噪，但是軟閾值濾波后的信號和真實值之間存在一定的偏差。周小林等［8］提出基于半軟閾值的EMD消噪方法，作為軟硬閾值去噪的折中，但是閾值同樣不具有自適應性。李惠光等［9］提出了自適應閾值的BEMD去噪方法，該方法通過引入熵值函數確定閾值的選取，但在引入函數的過程中必然會引入相應的誤差。因此，雖然閾值的引入提高了EMD分解的消噪能力，但是以上的閾值選取方法仍不能實現基于最優閾值的EMD自適應消噪。

針對以上問題，本文在傳統基于閾值的EMD分解的基礎上，結合仿生學的全局優化參數選取算法，提出了一種基于自適應閾值的選取方法。由于高斯白噪聲是較為常見的噪聲，本文在假設噪聲信號為高斯白噪聲的基礎上，建立了IMF分量的均方誤差（mean square error，MSE）閾值函數，然后利用蟻群算法實現了最小MSE條件下的最優閾值的選取。

1 基于閾值的EMD去噪方法

假設噪聲信號的模型表示如下：

式中，f（t）為噪聲觀察信號；s（t）為真實信號；n（t）為方差為σ2的高斯白噪聲。

則基于閾值消噪的處理方法如圖1所示。

圖1 基于閾值的EMD去噪原理圖

圖1中，si（t）表示s（t）的各個IMF分量（i＝1，2，3，…，n），~fi（t）表示閾值處理后的各個IMF（intrinsic mode functions）分量，n（t）為噪聲。

1.1 基于軟硬閾值函數去噪存在的問題

根據傳統的硬閾值［6］處理方法，對s（t）各分量建立閾值處理函數：

其中，T為傳統閾值。通過閾值函數的處理，將分解系數高于閾值的予以保留，將分解系數低于閾值的進行置零，從而實現濾波的效果，但是硬閾值的選取存在不連續性，在后期的信號重構過程中將產生振蕩。

軟閾值［6］的函數表達式為

式中，λ為軟閾值。

1.2 基于均方誤差的閾值函數模型的建立

參考閾值消噪的處理函數，本文首先令

其中，f（t）＋、s（t）＋、n（t）＋分別代表閾值處理中高于閾值部分的分解系數，f（t）－、s（t）－、n（t）－分別代表閾值處理中低于閾值部分的分解系數，則新的閾值表達可以表述為

由EMD分解獲得的各個IMF分量的均方誤差表達式可知：

由于s（t）和n（t）之間不存在關聯，因此，兩者之間的內積近似為零，從而化簡式（6）得

本文用中值估計器估計噪聲方差σ：

其中，wi為EMD的IMF分量的系數，Median（）為求中值函數。可以看出，當信號噪聲經過EMD變換后，它們在不同的IMF中表現出不同的統計特性，其方差也隨著IMF的改變而改變。由于噪聲是時變的，為達到較高的消噪水平，閾值也應該是時變的，因此，對不同的IMF分量使用不同的閾值，這就需要采用必要的優化選取方法，本文通過具有較好全局搜索性能的蟻群算法進行閾值的優化選取。

1.3 基于蟻群算法的最優閾值函數的選取

蟻群算法是一種能較好求解組合最優化問題的通用啟發式方法［10］，本文利用蟻群算法進化搜索在MSE（T）取得最小值情況下的最優閾值Tbest。整個優化過程描述如下：

（1）初始化相關參數。如螞蟻的數目m，迭代的次數n，系統信息素強度的初始值τ0，代表信息素重要程度的參數α，表征啟發式因子重要程度的參數β，信息素增加強度系數Q，轉移概率P，信息素量的蒸發系數ρ。

（2）將m個螞蟻置于各自的初始鄰域，每個螞蟻按概率Pi，j移動或做鄰域搜索：

式中，Pi，j為螞蟻從位置i移動到位置j的概率；τj為螞蟻j的鄰域吸引強度；ηi，j定義為MSE（Ti）－MSE（Tj）。

即目標函數的差值。

（3）更新強度τj：

式中，Δτj為第j只螞蟻在本次循環中吸引強度的增加量；Lj為本次循環中MSE（T）的變化量。

（4）判斷預先設置的算法收斂準則是否滿足，如果滿足則優化過程結束，可得最優閾值Tbest，否則，轉至過程（2）。

2 仿真分析

首先構造一個信號s（t），采樣頻率為1000，采樣點數為500，s（t）的表達式如下：

式中，r為高斯白噪聲（信噪比為16dB）。

仿真信號如圖2所示。

圖2 仿真信號

設定螞蟻數量為30，迭代次數為50，α＝1，β＝5，ρ＝0.1，Q＝100，τ0＝1，P＝0.9，則通過蟻群算法的迭代可獲得優化閾值，過程如圖3～圖5所示。

圖3 蟻群算法優化選取閾值過程1

圖4 蟻群算法優化選取閾值過程2

圖5 蟻群算法優化選取閾值過程3

經過優化選取閾值后（獲得的最優閾值為0.5447，2.625，2.2675），對各個IMF分量進行濾波，重構的濾波信號如圖6所示。

圖6 經過蟻群算法優化選取閾值后的濾波信號

通過蟻群算法可以較快且較為準確地獲得最優閾值。為了能夠定量地衡量各種算法的去噪效果，本文與文獻［11］提出的改進EMD去噪方法、經典硬閾值消噪方法（全局閾值系數為2.3）以及軟閾值消噪方法（全局軟閾值為2.3）進行了對比，在實驗過程中根據文獻［6，12－14］中典型軟硬閾值選取原則選擇確定了最佳閾值，并與本文提出的基于蟻群迭代算法的優化閾值消噪方法的消噪效果進行了對比，采用均方誤差（MSE）和信噪比（SNR）作為判定標準（MSE越小、SNR越大代表濾波效果越好），比較結果如表1所示，可見本文提出的方法具有較好的濾波效果。

表1 去噪性能的比較

為了驗證本文所提方法的有效性，將以上所提方法的計算時間進行對比分析，結果如表2所示。

表2 各種算法運行時間的比較

通過表2可以看出，本文所提的方法由于采用優化選取閾值的方式，因此計算時間較傳統的軟硬閾值消噪方法的計算時間有所增加，但是在保證消噪效果的基礎上，運行時間并沒有增加較多，仍然和經典的軟硬閾值在一個數量級上。

3 應用實例

為了檢驗所提方法的工程實用性，通過采集滾動軸承的失效數據進行檢驗，圖7為在某試驗臺進行現場采集數據圖。采集了軸承的外圈故障數據作為本文方法的驗證數據。轉速為1721r／min，采樣頻率為12kHz（經計算得知，外圈故障頻率fout為104.5Hz），選取1024個采樣數據點進行分析。設定螞蟻數量為30，迭代次數為100，α＝1，β＝5，ρ＝0.1，Q＝100，τ0＝1，P＝0.9，全局硬閾值系數為2.6，軟閾值系數為2.6。圖8為獲取的外圈故障信號圖，圖9和圖10分別為經硬閾值和軟閾值濾波后的信號圖。

圖7 軸承外圈故障數據現場采集圖

圖8 外圈故障的信號顯示圖

圖9 基于硬閾值濾波后的信號

圖10 基于軟閾值濾波后的信號

通過粒子群算法對閾值進行優化選取，在分解的過程中EMD將信號分解為6個IMF分量，經過選取后每個IMF分量的優化閾值為（4.1775，1.3618，1.1049，0.1687，0.4596，0.0112）。

從以上的對比結果可以看出，3種閾值方法都基本消除了信號的噪聲，但硬閾值方法得到的信號在部分區域仍含有噪聲，軟閾值方法得到的信號也不能夠很好地消除信號噪聲，本文所提的優化閾值的消噪方法通過蟻群算法優化獲取了最優閾值，保證了消噪的質量。從圖11中可以看出，在消噪的基礎上，周期性沖擊信號也被有效地提取出來了，時間間隔為9.6ms，對應外圈的故障特征頻率為104.5Hz，雖然在圖11中相關部位的幅值有所減小，但是主要是由于對噪聲進行消除的過程中導致的相關幅值的衰減，將不必要的噪聲幅值有效消除的結果，這并不影響對微弱特征信息的提取效果。圖12所示的包絡譜也證明了濾波信號的頻域特性。因此，通過本文提出的濾波方法有效地濾除了背景噪聲，展現了外圈故障的特征信息。

圖11 基于優化閾值濾波后的信號

圖12 基于優化閾值濾波后的信號的包絡譜

4 結語

本文首先分析了基于軟硬閾值的EMD分析方法所存在的問題，即基于硬閾值的濾波信號會存在跳變，軟閾值的濾波信號與真實信號之間會存在偏差的特點，通過建立基于均方誤差的最優閾值選取函數，結合全局優化效果較好的蟻群算法，獲得了最小均方誤差條件下的最優閾值，將其應用到仿真信號和軸承實際信號的濾波中，結果表明，通過獲取的優化閾值，可以將各個IMF分量中的噪聲有效地消除，效果明顯好于基于軟硬閾值的濾波方法，證明了本文所提方法的有效性。

相對于以前傳統的EMD方法，本文在進行濾波的過程中優化選取了閾值，這樣，既能夠采用自適應性較強的EMD方法進行濾波，避免了采用小波方法進行濾波需要選擇小波基的問題，同時，采用優化的閾值濾波，克服了傳統EMD方法濾波過程中閾值的不確定性，以及各個IMF分量閾值的單調一致性。但是，由于計算程序的增加，算法的時間也相對增加，這是本算法存在的缺點。

［1］熊炘，楊世錫，周曉峰.旋轉機械振動信號的固有模式函數降噪方法［J］.浙江大學學報（工學版），2011，45（8）：1376－1381.Xiong Xin，Yang Shixi，Zhou Xiaofeng.IMF－based Denoising Method for Vibration Signal in Rotating Machinery［J］.Journal of Zhejiang University（Engineering Science），2011，45（8）：1376－1381.

［2］冷軍發，荊雙喜，陳東海.基于EMD與同態濾波解調的礦用齒輪箱故障診斷［J］.振動、測試與診斷，2011，31（4）：435－438.Leng Junfa，Jing Shuangxi，Chen Donghai.The Fault Diagnosis Method for Mine Based on the EMD and Homomorphic Filtering［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2011，31（4）：435－438.

［3］劉智.改進的正交小波變換閾值去噪算法研究［J］.計算機仿真，2011，28（8）：272－275.Liu Zhi.Image Denoising Threshold Method Based on Improved Coefficient Weighted Mean［J］.Computer Simulation，2011，28（8）：272－275.

［4］張弦，王宏力.進化小波消噪方法及其在滾動軸承故障診斷中的應用［J］.機械工程學報，2010，46（15）：76－80.Zhang Xian，Wang Hongli.Evolutionary Wavelet Denoising and Its Application to Ball Bearing Fault Diagnosis［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46（15）：76－80.

［5］涂建成，席旭剛，羅志增.一種改進閉值的平移不變量小波消噪方法［J］.信息與控制，2011，40（2）：150－154.Tu Jiancheng，Xi Xugang，Luo Zhizeng.A Tanslation－invariant Wavelet Denoising Method Based on Improved Threshold［J］.Information and Control，2011，40（2）：150－154.

［6］Donoho D L，Johnstone I M.Adapt to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage［J］.Journal of the American Statistical Association，1995，90（432）：1200－1224.

［7］行鴻彥，黃敏松.基于Hilbert－Huang變換的QRS波檢測算法研究［J］.儀器儀表學報，2009，30（7）：1469－1475.Xing Hongyan，Huang Minsong.Research on QRS Complex Detection Algorithm Based on Hilberthuang Transform［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2009，30（7）：1469－1475.

［8］周小林，孫東松.基于多尺度EMD的激光雷達信號分段去噪［J］.紅外與激光工程，2006，35：477－482.Zhou Xiaolin，Sun Dongsong.Lidar Signal Subsection Denoising Based on Multi－dimension EMD［J］.Infrared and Laser Engineering，2006，35：477－482.

［9］李惠光，尹玉.基于BEMD和自適應閾值的多尺度邊緣檢測［J］.工業控制計算機，2008，21（6）：63－67.Li Huiguang，Yin Yu.Multi－scale Edge Detection Based on EMD and Adaptive Thresholds［J］.Industrial Control Computer，2008，21（6）：63－67.

［10］武仁杰.蟻群算法在自動組卷建模中的應用研究［J］.電子與信息學報，2011，28（8）：380－383.Wu Renjie.Study on Intelligently Composing Test Paper Based on Ant Colony Optimization［J］.Computer Simulation，2011，28（8）：380－383.

［11］胡小麗，金明.基于EMD的圖像信號去噪的改進算法［J］.電子測量技術，2009，32（11）：58－61.Hu Xiaoli，Jin Ming.Improved Algorithm of Image Signal Denoising Based on EMD［J］.Electronic Mea－surement Technology，2009，32（11）：58－61.

［12］王靜，范毅方.基于小波閾值的sEMG信號消噪方法研究［J］.計算機仿真，2010，27（2）：325－327.Wang Jing，Fan Yifang.Denoising of sEMG Signal－Based on Wavelet Threshold Shrinkage［J］.Computer Simulation，2010，27（2）：325－327.

［13］張通，張駿，張怡.基于改進小波閾值的激光陀螺漂移信號降噪［J］.儀器儀表學報，2011，32（2）：258－262.Zhang Tong，Zhang Jun，Zhang Yi.Ring Laser Gyro Drift Signal Denoising Based on Improved Wavelet Threshold［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2011，32（2）：258－262.

［14］臧玉萍，張德江，王維正.小波分層閾值降噪法及其在發動機振動信號分析中的應用［J］.振動與沖擊，2009，28（8）：57－60.Zang Yuping，Zhang Dejiang，Wang Weizheng.A Wavelet Layered Threshold De－noising Method and Its Application in the Engine Vibration Signal Analysis［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28（8）：57－60.