基于改進自適應遺傳算法的固定結合面動態特性參數優化識別

朱堅民 張統超 李孝茹 周冬兒

上海理工大學，上海，200093

0 引言

數控機床存在大量的結合面，結合面的存在破壞了機床結構的連續性，增加了機床建模的復雜性。結合面的接觸剛度和接觸阻尼是機床剛度和阻尼的重要組成部分，統計表明，機床靜剛度的30%～50%取決于結合面的剛度，機床阻尼的90%以上來源于結合面的阻尼，機床上出現的振動問題有60%以上來源于結合面，因此結合面對機床的靜動態特性有重要影響［1－2］。建立合理的結合面動力學模型和獲得準確的結合面動態特性參數一直是國內外相關學者研究的重點問題。

固定結合面是機床上最常用的一種結合面，主要為螺栓連接的結合面，起著固定連接和支撐的作用。目前，螺栓連接結合面的建模方法主要有粘接法、彈簧阻尼單元法和虛擬材料法等?；趶椈勺枘釂卧慕７椒ㄓ捎诮：唵巍M足工程實際要求而被廣泛采用。王禹林等［3］采用彈簧阻尼單元模擬結合面的接觸特性，建立了大型螺紋磨床的有限元模型并對其靜動態特性進行了優化；曹定勝等［4］采用自定義的彈簧阻尼單元模擬加工中心結合面的剛度，對機床進行了理論模態分析和試驗驗證；馮硯博等［5］采用彈簧阻尼單元模擬結合面的性能，建立了多線切割機床的有限元模型并對其進行了動力學分析。以上研究在建模時將螺栓剛度和結合面的接觸剛度疊加在一起由等效的彈簧剛度來代替，不符合結合面的實際情況，建模精度不高。結合面動態特性參數的識別方法主要有理論計算法、實驗測試法和理論計算與實驗測試相結合的方法。Fu等［6］提出了結合面剛度和阻尼參數的通用計算公式，但該理論計算法的可靠性較低；張華等［7］設計了滾動導軌結合面的試驗臺，通過消除基礎位移法測得結合面的動態特性參數，但該實驗測試法只能針對某些特定結構的結合面而通用性較差。理論計算與實驗測試相結合的方法既發揮了理論分析的便捷性，又利用了實驗測試結果的可靠性，因而得到了廣泛的應用。陳新等［8］使用無約束優化問題的梯度法識別了磨床固定結合面的剛度和阻尼參數；王立華等［9］基于ANSYS軟件的優化設計模塊獲得了銑床關鍵結合面的動態特性參數；黎定仕等［10］使用模擬退火優化算法識別了螺栓結合部的動力學參數，然而這些優化方法存在計算量大、收斂效率低等問題。

針對以上問題，本文以自行設計制作的螺栓連接固定結合面模型為研究對象，將螺栓和結合面的剛度分開考慮建立結合面的模型，提出一種改進的自適應遺傳算法用于固定結合面動態特性參數的識別，獲得了較高的識別精度。

1 固定結合面動態特性參數識別的基本原理

基于遺傳算法的固定結合面動態特性參數識別的基本原理如圖1所示，其基本思想是：①對固定結合面結構進行實驗模態分析，獲得其前若干階固有頻率、模態阻尼比和模態振型；②建立結合面結構的有限元模型，以結合面的剛度和阻尼參數為優化變量，以理論模態分析的固有頻率和阻尼比與其對應實驗模態分析結果的相對誤差最小為目標函數，采用改進的自適應遺傳算法對結合面有限元模型的剛度和阻尼參數進行尋優。

圖1 基于遺傳算法的固定結合面動態特性參數識別原理

2 固定結合面的建模方法

剛度和阻尼特性反映了固定結合面的本質屬性，對于圖2所示的由子結構M和子結構N組成的固定結合面，傳統的建模方法是在結合面之間構造一組彈簧阻尼單元，若能合理確定彈簧阻尼單元與子結構的連接位置、彈簧阻尼單元的數量以及剛度和阻尼參數，則可用此等效的彈簧阻尼單元代替原固定結合面對子結構的作用，并可根據彈簧阻尼單元的串并聯關系得出結合面的剛度和阻尼參數［11］。

圖2 固定結合面傳統建模方法的等效模型

螺栓連接固定結合面的動態特性參數，包括x、y、z三個方向的剛度和阻尼。其中，剛度包括螺栓和結合面x、y、z三個方向的剛度，阻尼主要為由螺栓的預緊力引起的結合面在x、y、z三個方向的阻尼。因此，傳統建模方法中的剛度實際是螺栓剛度和結合面剛度的疊加，該建模方法不能準確描述結合面的接觸特性。本文在建模時將螺栓的剛度和結合面的接觸剛度分開考慮，以提高理論模態分析的求解精度，進而保證結合面的參數識別精度。

本文在建立固定結合面模型時采用ANSYS13.0中提供的Matrix27單元，其特性和彈簧阻尼單元類似，通過設置剛度和阻尼參數使用Matrix27單元模擬螺栓的剛度和結合面的接觸特性。在螺栓連接處，將子結構螺栓孔兩端附近的節點利用耦合單元節點的方法連接到兩個獨立節點上，然后用Matrix27剛度單元將兩獨立的節點相連，如圖3所示，每個剛度單元包含參數Kx1、Ky1、Kz1，分別代表螺栓x、y、z 三個方向的剛度。在接觸面上，使用一定數量的Matrix27剛度單元和Matrix27阻尼單元將兩子結構連接起來，用以模擬結合面的剛度和阻尼。每個剛度單元包含參數Kx2、Ky2、Kz2，每個阻尼單元包含參數Cx、Cy、Cz。根據 Matrix27單元的特性和并聯彈簧阻尼單元的等效原理，從而求得固定結合面的剛度和阻尼參數。

圖3 螺栓的有限元模型

3 改進自適應遺傳算法

遺傳算法是一種模擬生物群體進化的高效并行的優化搜索算法。經典遺傳算法和某些改進遺傳算法的交叉概率和變異概率需要反復調整，且算法運行過程中的交叉概率和變異概率保持不變，導致算法局部搜索能力差、存在未成熟收斂等問題。

自適應遺傳算法（adaptive genetic algorithm，AGA）由Srinivas等［12］提出，它的基本思想是交叉概率和變異概率隨著適應度的變化而變化，采用相對某個解的最佳交叉概率和變異概率，算法具有較強的搜索能力和收斂能力。任子武等［13］提出了一種改進的自適應遺傳算法（improved adaptive genetic algorithm，IAGA），該算法作了如下調整：如果個體的適應度接近平均適應度，則交叉概率和變異概率接近最大值；如果個體的適應度接近最大適應度，則交叉概率和變異概率很小。這種調整方法有利于進化后期優良個體的保存，但對于進化初期是不利的，因為一些適應度較好的個體處于一種幾乎不變的狀態，容易造成局部收斂。針對該問題，基于現有的自適應遺傳算法，本文提出一種與進化代數相關的改進自適應遺傳算法，其交叉概率和變異概率的調節公式如下：

式中，Pc為交叉概率，Pc1＝0.9，Pc2＝0.6；Pm為變異概率，Pm1＝0.1，Pm2＝0.05；F為待交叉的兩個個體中適應度的較大值；F′為待變異個體的適應度值；Favg為當前群體的平均適應度值；Fmax為當前群體中適應度的最大值；n為當前迭代次數；N為最大迭代次數；λ為與進化代數有關的系數。

本文改進的自適應遺傳算法的基本思想為：小于平均適應度的個體總是取較大的交叉概率和變異概率，有利于淘汰較差的個體；大于等于平均適應度的個體，其交叉概率和變異概率隨著適應度的增大而減小，且隨著進化代數的增加，交叉概率和變異概率越來越小。這種調節方法使得在進化初期適應度較大的個體可取到合適的交叉概率和變異概率，算法具有較強的全局搜索能力，隨著進化代數的增加，算法的全局搜索能力減弱，局部搜索能力增強，便于找到全局最優解。

將上述改進的自適應遺傳算法應用于固定結合面參數尋優時，剛度參數影響結合面結構的固有頻率、模態振型和振動幅值，而阻尼參數不影響結合面結構的固有頻率和模態振型，只影響振動幅值。在本文研究中，首先以結合面和螺栓的剛度參數為優化變量，在ANSYS中對結合面結構進行無阻尼實模態分析，基于本文改進自適應遺傳算法尋優剛度參數；然后基于已識別的結合面剛度參數，以結合面阻尼參數為優化變量，在ANSYS中對固定結合面結構進行復模態分析，由改進自適應遺傳算法尋優結合面阻尼參數。

改進的自適應遺傳算法主程序采用MALTAB語言編制，在優化過程中動態調用由APDL語言編制的ANSYS模態求解子程序，改進的自適應遺傳算法應用于結合面動態特性參數尋優的基本流程如圖4所示。

圖4 基于改進遺傳算法的固定結合面動特性參數尋優流程

在固定結合面動態特性參數優化識別過程中，需要考慮以下幾點：

（1）優化變量。剛度參數識別時，變量為Kx1、Ky1、Kz1、Kx2、Ky2、Kz2，記為K；阻尼參數識別時，變量為Cx、Cy、Cz，記為C。

（2）目標函數。剛度參數識別時，以固定結合面固有頻率的有限元計算值與其對應的實驗測試值建立的優化目標函數如下：

式中，fjtest為固定結合面第j階的實驗固有頻率；fjcal為與實驗固有頻率相對應的理論固有頻率。阻尼參數識別時，以固定結合面阻尼比的有限元計算值與其對應的實驗測試值建立的優化目標函數如下：

式中，ζjtest為固定結合面第j階實驗阻尼比；ζjcal為與實驗阻尼比相對應的理論阻尼比。

（3）染色體編碼方式。由于結合面剛度參數和阻尼參數的變化范圍較大，使用二進制編碼方式將使遺傳算法不能兼顧編碼精度和計算效率的要求。本文采用十進制浮點數對染色體進行編碼，待識別的一組剛度或阻尼參數構成一條染色體，每一個基因位置對應一個待識別參數，如圖5所示。

圖5 染色體編碼方式

（4）適應度函數。適應度函數用來評價個體的適應度，個體適應度越高，其存活的概率就越大。根據本文優化問題的目標函數（式（4）和式（5）），設置剛度參數識別時的適應度函數如下：

阻尼參數識別時的適應度函數如下：

（5）遺傳算子。選擇算子采用賭輪盤選擇與精英保留策略相結合的方法，個體按照與適應度成正比例的概率向下一代群體繁殖，如果子代最佳個體的適應度值小于父代最佳個體的適應度值，則將父代最佳個體直接復制到子代。交叉算子采用單點交叉的方法，并按式（1）確定交叉概率，對個體進行交叉操作。變異算子采用均勻變異的方法，并按式（2）確定變異概率，對個體進行變異操作。

（6）收斂準則。本文以設置進化代數終止遺傳操作。

4 應用實例

4.1 固定結合面的物理模型

目前，機床上的螺栓連接固定結合面主要有三種形式：立柱與底座的結合面、滑塊與滑板的結合面和導軌與床身的結合面，如圖6所示。其中，立柱與底座的結合面、導軌和床身的結合面為“線性式”連接結合面，滑塊與滑座的結合面為“陣列式”連接結合面，分別如圖7a和圖7b所示［14］。

圖6 機床固定結合面的三種形式

圖7 “線性式”連接結合面和“陣列式”連接結合面

根據圣維南原理，連接螺栓的數量大于等于2且呈單列排布的結合面被稱為“線性式”連接結合面，連接螺栓的數量大于等于4且呈陣列排布的結合面被稱為“陣列式”連接結合面。國內外學者對“線性式”螺栓連接結合面已經進行了大量的研究［15－20］，而對“陣列式”螺栓連接結合面的研究較少。本文以“陣列式”螺栓連接結合面為研究對象，自行設計制作了結合面的物理模型，如圖8所示。在該結合面物理模型中，上實驗板和下實驗板由4個位置對稱的M12鎖緊螺栓連接在一起，螺栓的強度等級為8.8級。上實驗板的物理參數如表1所示，下實驗板與上實驗的物理參數相同，僅多了兩個固定端用于實驗時的安裝固定。

圖8 “陣列式”螺栓連接固定結合面的模型

表1 結合面實驗板的物理參數

4.2 固定結合面的實驗模態分析

為了獲得圖8所示固定結合面模型的固有頻率、阻尼比和模態振型，對其進行實驗模態測試。實驗中使用的測試設備主要包括Kistler SN2075427型激振力錘、3個BK 4525B型三向加速度傳感器、搭載了3個NI 9234采集模塊的NI cDAQ－9172數據采集系統、Exploit 135型力矩扳手。實驗數據的采集和分析使用 Modal－View模態分析軟件。

圖9 模態測試系統原理圖

圖10 結合面的支撐方式

模態測試系統的工作原理如圖9所示，實驗時固定結合面的支撐方式如圖10所示，結合面由兩個支撐塊支撐，通過T形螺栓連接固定在實驗臺上。T形固定螺栓的預緊力矩很大，可以認為結合面的支撐為剛性連接。如圖11所示，在ModalView軟件中建立結合面的模型，在該模型表面設置了24個測點，力錘錘擊位置在第17號測點。使用單點激振多點拾振的錘擊法對結合面進行模態測試，其基本過程主要為：對結構激振、輸入輸出信號的采集與處理、頻響函數的計算和模態參數的識別。

圖11 實驗模型及測點布置

結合面4個螺栓連接的預緊力矩為55N·m時，模態測試結果如表2所示。

表2 實驗模態分析結果

4.3 固定結合面的理論模態分析

在ANSYS13.0中建立固定結合面的有限元模型，如圖12所示，該模型的節點數目為9032，單元數目為6116。在該有限元模型中，在螺栓連接處設置了4個Matrix27單元來模擬4個螺栓連接。在保證計算精度和效率的基礎上，在結合面上通過均布的35個Matrix27剛度單元和35個Matrix27阻尼單元將上下實驗板連接起來。根據剛度單元和阻尼單元的并聯關系，該固定結合面x、y、z三個方向的剛度分別為35 Kx2、35 Ky2、35 Kz2，結合面x、y、z 三個方向的阻尼分別為35Cx、35Cy、35Cz。

圖12 固定結合面的有限元模型

根據實驗模態測試時的實際約束情況，在結合面有限元模型兩個固定端的底面施加了全約束。結合面剛度參數優化識別時，采用ANSYS中的Block Lanczos法進行模態求解。結合面阻尼參數優化識別時，采用ANSYS的QR Damped法進行模態求解。

4.4 尋優算法的有效性驗證

為了驗證本文優化算法的有效性，以圖12中螺栓連接固定結合面的有限元模型為對象，用隨機生成的若干組計算數據進行驗證。隨機設定3組螺栓和結合面的剛度參數Kx1～Kz2（表3中的“設定”行數據），代入有限元模型進行理論模態計算，將得到的前4階理論固有頻率f1～f4作為參考值代入式（4）建立目標函數，以螺栓和結合面的剛度參數Kx1～Kz2為優化變量，使用改進自適應遺傳算法反向識別固定結合面剛度參數（表3中的“識別”行數據），如果識別值與設定值接近，則說明本文尋優算法是有效的。同理，對固定結合面阻尼參數進行驗證的結果如表4所示。

表3 剛度參數的設定值和識別值的比較

表4 阻尼參數的設定值與識別值的比較

表3和表4中，“設定”行數據是事先隨機設定的剛度和阻尼參數，“識別”行數據是使用改進自適應遺傳算法識別得到的剛度和阻尼參數。由表3、表4中的計算結果可以看出：使用本文改進自適應遺傳算法識別的剛度和阻尼參數與真值（設定值）非常接近，誤差很小，說明采用改進自適應遺傳算法用于固定結合面動態特性參數的識別是可行的、有效的。

4.5 結合面剛度參數的識別

基于有限元分析的收斂性法則，以固定結合面待識別剛度參數為優化變量，對圖12所示螺栓連接結合面有限元模型的前4階固有頻率進行收斂性分析，初步確定待識別固定結合面剛度參數的變化范圍。

分析結果如圖13所示，剛度參數從106N／m數量級開始改變5次到1011N／m數量級，每一次是上一次的10倍。螺栓連接固定結合面前4階固有頻率的計算值隨著剛度變量的增加有收斂于某一確定值的趨勢，當變量的數值超過109N／m數量級時，前4階固有頻率幾乎不再變化。當剛度參數變化范圍為107N／m數量級到109N／m數量級時，前4階固有頻率變化較為明顯，在這一范圍內種群個體的多樣性較好，并根據結合面剛度參數的經驗值設置其變化范圍為107N／m數量級到1010N／m數量級。

圖13 固有頻率的收斂性分析

在剛度參數的變化范圍內，比較實驗模態分析的振型和理論模態分析的振型，得出實驗模態分析的第1、第2、第3、第4階模態振型分別和理論模態分析的第1、第3、第5、第7階模態振型符合較好，故由式（4）可得剛度參數優化識別的目標函數如下：

分別采用經典遺傳算法（SGA）、文獻［13］的改進自適應遺傳算法（IAGA）和本文的改進自適應遺傳算法對固定結合面剛度參數進行尋優，三種算法種群最優解的變化分別如圖14a、圖14b、圖14c所示。由圖14可知：采用SGA進行識別時，算法在70～80代時才能接近最優解，對應的目標函數最小值為0.3310；采用IAGA進行識別時，算法在40～50代時達到最優解，對應的目標函數最小值為0.3309；采用本文改進的自適應遺傳算法進行識別時，算法在20～30代就已經達到最優解，對應的目標函數最小值為0.3309。采用本文優化算法時，最優解對應的螺栓和結合面的剛度參數如表5所示。

圖14 剛度參數識別中最優解的變化

表5 剛度參數的識別結果 108 N／m

由表5中數據可知，螺栓x、y和z三個方向的剛度分別約為結合面三個方向剛度的5、7和5倍，螺栓的剛度和結合面的剛度相差較大，傳統建模方法認為結合面剛度均勻分布將產生較大的建模誤差，這驗證了本文改進建模方法的必要性和正確性。在所識別的剛度參數條件下，結合面實驗模態分析的固有頻率和理論模態分析的固有頻率如表6所示，實驗模態振型和理論模態振型如圖15所示。由表6中的數據可以看出，理論固有頻率和實驗固有頻率誤差均在5%以內，同時由圖15中振型對比可知：理論振型和實驗振型非常符合，驗證了剛度參數識別的正確性。

表6 實驗固有頻率和理論固有頻率的對比

圖15 實驗模態振型與理論模態振型的對比

4.6 結合面阻尼參數的識別

將已識別的固定結合面剛度參數作為已知量，以結合面待識別的阻尼參數為優化變量，由式（5）可確定阻尼參數的優化目標函數：

分別采用經典遺傳算法、文獻［13］的改進自適應遺傳算法和本文的改進自適應遺傳算法對結合面阻尼參數進行尋優，三種算法種群最優解的變化分別如圖16a、圖16b、圖16c所示。由圖16可知：采用SGA進行識別時，算法在70～80代時才能接近最優解，對應的目標函數最小值為0.3079；采用IAGA進行識別時，算法在50～60代時達到最優解，對應的目標函數最小值為0.2960；采用本文的改進自適應遺傳算法進行識別時，算法在30～40代就已經達到最優解，對應的目標函數最小值為0.2955。采用本文優化算法時，最優解對應的固定結合面的阻尼參數如表7所示。

圖16 阻尼參數識別中最優解的變化

表7 阻尼參數的識別結果 N·s／m

在所識別的阻尼參數條件下，結合面理論模態分析的阻尼比和實驗模態分析的阻尼比如表8所示。由表8可以看出，理論模態分析的阻尼比和實驗測試值誤差均在5%以內，驗證了阻尼參數識別的正確性。

表8 理論模態阻尼比和實驗模態阻尼比的對比

5 結論

（1）提出了在固定結合面建模中將螺栓和結合面的剛度分開考慮，在ANSYS中基于彈簧阻尼單元建立固定結合面有限元模型的方法，從而提高了固定結合面的建模精度。

（2）提出了與進化代數有關的改進自適應遺傳算法，并將其應用于固定結合面動態特性參數的識別。對固定結合面剛度和阻尼參數識別的結果表明：與經典遺傳算法和文獻［13］的改進自適應遺傳算法相比，本文提出的改進自適應遺傳算法識別時間短、識別精度高。

（3）提出了基于遺傳算法的固定結合面動態特性參數的識別方法，以有限元理論計算的固有頻率和阻尼比與其對應實驗模態分析結果的相對誤差最小為優化目標函數，使用改進的自適應遺傳算法優化識別固定結合面的剛度和阻尼參數，實際識別結果驗證了本文方法的正確性和有效性。

（4）本文的方法適用于固定結合面的同時，也適用于機床導軌、絲杠、軸承等結合面動態特性參數的優化識別，可為機床整機理論分析提供準確的結合面參數，并為復雜機械結合面動態特性參數的識別提供參考。

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