基于LM的電阻抗成像的圖像重建算法

陸鑫 （北京航空航天大學北海學院軟件與信息工程學院，廣西 北海536000）

電阻抗成像（Electrical impedance tomography，EIT）技術，是一項新興的圖像重建技術［1］。該技術要求在物體表面布上一層或者一圈電極，通過邊緣注入電流時觀察各個方向的電勢情況，進行物體內部圖像重建。與其他的醫學成像方式比較而言，EIT技術具有成像的空間分辨率低但時間分辨率高的特點，可以在醫學上用于腫瘤、骨傷、中風等傷情的監控［2］。

1 EIT問題的基本模型

EIT問題自70年代研究以來，已經提出許多圖像重建算法［3－5］。

在磁場內部，由于生物組織磁導率低，所以磁場效應可以忽略不計，根據MaxWell方程及歐姆定律，可得出如下描述：

式中，ρ為電阻率分布函數；φ為電位分布；J為邊界電流密度函數。由于生物組織內部無電流通過，故：

由式（2）可以得到生物內部電阻率與電位分布的關系：

該微分方程需滿足的Dirichlet邊界條件：

式中，Ω為物體所在的空間區域。

對于有電流注入的電極，Neumann邊界條件為：

式（3）、（4）、（5）構成了EIT問題的基本模型［6］。

2 EIT問題的求解算法

2.1 LM反問題求解法

由問題（3）～（5）可知，求解電阻率分布函數ρ是一個非線性的反問題。由于非線性反問題的Tikhonov泛函不嚴格凸，且非線性算子不可微等，因此無法繼續使用線性反問題使用的正則化方法。該問題可以用以下形式描述：

式中，F為ρ→V的非線性算子，并且ρ和V都屬于Hilbert空間。

然而，在真正的EIT試驗中，該方程往往是不適定的，測得的數據V往往帶有擾動誤差，筆者用δ表示，滿足‖V－Vδ‖≤δ。為了找到解使得‖F（ρ＊）－Vδ‖，ρ∈Ρ取到最小值，筆者使用Levenberg－Marpuardt（LM）方法解決。

1）線性化。取其中的一個點的值為ρδk，在此基礎上，將F（ρ）＝V線性化得到：

2）正則化。為了解決線性化后不適定的問題，筆者使用正則化。該問題可以描述成式（8）的形式，并且要解得其最小解：

通過式（8）可以得到LM方法的迭代函數：

式中，αn是LM方法的調節因子。

2.2 負梯度算法

求解EIT電阻率分布函數問是一個多維無約束問題，可應用多維無約束優化方法。負梯度算法的過程如下：在初步測量時取出數據ρ（k），一維尋優解的方向為s，根據負梯度方向為－▽f（ρ（k））進行迭代：

用φ（ρ）來表示函數表達式（10）的目標函數，根據函數（12）的求導結果，可以計算出步長αk：

通過求極值點可以得到α的值，再將該值引入到下一輪尋優中。其收斂精度為：

在實際構圖的過程中，筆者發現原始的LM算法收斂速度較為穩定，雖然它與非線性最小二乘問題的高斯－牛頓算法都被認為是解決EIT問題的有效方法之一，但是實際的圖像重建中效果并不理想。負梯度算法的收斂圖像存在鋸齒現象，雖然在開始的迭代中收斂速度很快，但是靠近極小值時收斂速度較慢。

3 基于負梯度法的LM算法

考慮到LM算法以及負梯度算法的各自優缺點，筆者采用負梯度算法與LM算法的聯合算法。在EIT計算中前期可以用負梯度法迭代，提高收斂速度，后期使用LM算法，保證收斂的精準。對于負梯度算法，筆者給出一個收斂最小值ε用以控制迭代精度。

下面給出基于負梯度法的LM算法的具體流程：

1）取定ρ0，測得邊緣電壓V，邊界電流分布J。設置負梯度算法迭代收斂最小值ε，LM算法結束閥值εlm，n為迭代次數。

2）取ρk初值為ρ0，設定初值αk。

3）根據式（11）、（12）計算ρk＋1。

4）令φ′（α）＝0，解得最優步長αk。

5）檢驗是否▽f（ρk）＞ε，若是轉2）。

6）令ρn＝ρk，引入擾動算子后ρδn。

7）求解Φ（ρ，ρδn）的極小值，依據式（8）、（9）計算出ρδn－1。

8）檢驗是否αn＞εlm，若是轉7）。

9）完整算法結束，得出最優解ρ。

4 Matlab試驗及結果分析

在該網格建立的試驗中，網格數量為2000個，節點數量為1000，如圖1所示。在模擬的區域的中下方放置了一塊圓形塊狀區域，用作模擬測試。圖2為負梯度法的重建結果，圖3為LM迭代算法的重建結果，圖4為基于負梯度法的LM算法的圖像重建結果。

圖1 建立網格的圖像

圖2 基于負梯度法重建的圖像

圖3 基于LM迭代法重建的圖像

圖4 基于負梯度法的LM迭代法重建的圖像

圖5 網格內放置物體的模擬圖

與圖5的原始放置物體的模擬圖相比，顯而易見，負梯度法圖像失真最大，而基于負梯度法的LM算法最為靠近真實情況。

5 結語

研究并總結了負梯度法以及LM迭代算法，并提出了將負梯度法與LM迭代算法的結合算法。該結合算法具有一定的優化效果，改善求解問題的病態，但是在現實中應用電阻抗成像技術時仍存在許多難點與挑戰，如圖像分辨率不夠高，重建過程時間長等問題。由于該技術還不夠成熟，現有的條件還不可能讓電阻抗成像技術能在臨床醫學上取代CT、MRI等傳統技術。在該問題的進一步研究中，還需要國內外學者付出巨大的努力。

［1］ 董秀珍 .生物電阻抗成像研究的現狀與挑戰 ［J］.中國生物醫學工程學報，2008，27（5）：641－646.

［2］ Bayford R.Bioimpedance tomography（Electrical impedance tomography） ［J］.Annual Review of Biomedical Engineering，2006，8：63－91.

［3］ Weberster J G.Electrical Impedance Tomography ［M］.Adam Hilger，Bristol and New York，1990：97－137.

［4］ Yorkey T J，Webster J G，Tompkins W J.Comparing reconstruction algorithm for electrical impedance tomography ［J］.IEEE Trans Biomed Eng，1987，34（11）：843－852.

［5］ Woo E J，Hua P，Webster J G，et al.A Robust image reconstruction algorithm for electrical impedance tomography ［J］.IEEE Trans Med Imaging，1993，12（2），137－146.

［6］ 杜巖，程吉寬，柳重堪 .用組合變尺度法求解電阻抗成像問題 ［J］.中國生物醫學工程學報，1997（2）：18－20.