分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制

方園，王先超，馬玉田 （阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 阜陽236037）

分?jǐn)?shù)階微積分自被提出以來便被學(xué)者們廣泛用于描述各類系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題也越來越受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注［1－4］。下面，筆者主要針對帶Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，討論了狀態(tài)反饋控制問題。

1 預(yù)備知識(shí)及問題描述

定義1 若α（n－1＜α＜n），函數(shù)ft（）的Riemann－Liouvill導(dǎo)數(shù)定義如下：

考慮帶Riemann－Liouvill導(dǎo)數(shù)的線性分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

定理1［3］若矩陣A中所有特征值滿足則系統(tǒng)所有零解是漸近穩(wěn)定的。

引理1［4］分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（2）漸近穩(wěn)定的條件是當(dāng)且僅當(dāng)存在2個(gè)實(shí)對稱矩陣Pk1∈Rn×n（k＝1，2）和2個(gè)反對稱矩陣Pk2∈Rn×n（k＝1，2），使得：

引理2［5］若系統(tǒng)（2）中矩陣A∈Rn×n，且1≤α＜2，則成立當(dāng)且僅當(dāng)存在對稱矩陣P＞0使得：

引理3［6］假設(shè)X、Y為適當(dāng)維數(shù)的矩陣，則成立不等式：

2 主要結(jié)果

考慮帶R－L導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)：

式中，x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)；u（t）是系統(tǒng)的輸入；常數(shù)矩陣A∈Rn×n，B∈Rn×m，且矩陣A不滿足為初始狀態(tài)。

考慮反饋控制器u（t）＝Kx（t），帶入系統(tǒng)（3）中可得：

2.1 0＜α＜1

定理2 若存在正定矩陣P11，P21，常數(shù)矩陣K，實(shí)數(shù)εi＞0（i＝1，2），使得矩陣：

則帶R－L導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。

證明 利用引理1可知，存在2個(gè)正定矩陣Pk1∈Rn×n，k＝1，2。 反對稱矩陣Pk2∈Rn×n，k＝1，2。使得假設(shè)P12＝P22＝0，此時(shí)可以得出當(dāng)滿足條件時(shí)，系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。其中不等式Φ＜0等價(jià)于：

記Θi1Θi1＝I，并利用引理3可知：對于任意實(shí)數(shù)εi＞0（i＝1，2），有：

再利用矩陣Kronecker product性質(zhì)，有：

最后由矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，式（5）、（6）、（7）等價(jià)于Ξ＜0。

2.2 1≤α＜2

定理3 存在正定矩陣P，常數(shù)矩陣K 和常量ε＞0，使得（線性矩陣不等式（LMI））：

證明 由引理2可知，當(dāng)下列條件滿足時(shí)，系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的。

再利用引理3可得，式（8）中第2部分可以作如下分解：

將式（9）帶入式（8）中，并利用Schur補(bǔ)引理，可得線性矩陣不等式Φ0。證畢。

3 結(jié)語

針對階數(shù)α的2種情況，分別用不同的方法得到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。下一步可考慮系統(tǒng)中含有時(shí)滯情況，進(jìn)一步討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。

［1］ 方園，蔣威 .一類分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定 ［J］.信息與控制，2013，42（1）：33－38.

［2］ 方園 .分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ［J］.阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，29（3）：11－13.

［3］ Qian D L，Li C P，Afarwal R P，et al.Stability analysis of fractional differential system with Riemann－Liouville derivative ［J］.Mathematical and Computer Modelling，2010，52：862－874.

［4］ Lan Y H，Zhou Y.LMI－based robust control of fractional－order uncertain linear systems ［J］.Computers and Mathematics with Applications，2011，62：1460－1471.

［5］ Chilali M，Gahinet P，Apkarian P.Robust pole placement in LMI regions ［J］.IEEE Transtctions on Automatic Control，1999，44（12）：2257－2270.

［6］ Chai L，F(xiàn)ei S M，Xin Y B.A new type of adaptive control for time－delay systems with input delay［J］.Journal of systems science and Mathematical Sciences，2008，28（12）：1535－1544.