一種避免除法運算的矩陣的秩的計算方法

鄧勇 （喀什師范學院數學系，新疆 喀什844006）

目前，通常采用初等行變換求解矩陣A的秩及其行空間的基，即將矩陣A化為一個行階梯形矩陣，該行階梯形矩陣中非零行的個數就是行階梯形矩陣的秩。然后利用“矩陣的初等變換不改變矩陣的秩”這個結論，得到矩陣A的秩就是與其等價的行階梯形矩陣的秩，并且行階梯形矩陣的非零行構成了其行空間的一組基［1］。具體做法如下：設A是一個m×n整數矩陣，用初等行變換求A的秩，實際上是按下面2種基本方法分步將A化為行階梯形矩陣。

第1種方法：用初等行變換將A的第一列中除第一個元素外的其他所有元素都化為0。

第2種方法：先用左上角元素a11除第一行所有元素（假設a11≠0），然后其他所有行減去第一行的適當倍數，將第1列中除第1個元素（實際上是1）外的其他所有元素都化為0。

這2種計算方法的最終目的就是為了把矩陣A化成形如：

的矩陣。這時有：

上述2種方法的一個共同特點就是需要對矩陣中的數字做大量除法運算，導致計算中會出現很多分數，潛在的運算錯誤會迅速增加，同時，究竟使用哪些行操作可減少計算量也具有不確定性。基于上述原因，筆者總結出一種不做除法運算就可求得矩陣秩的方法。

1 算法

設P是一個數域，Pm×n是數域P上的m×n矩陣集合，～表示矩陣的等價。對任何一個矩陣A＝（aij）∈Pm×n，當其元素aij的任何一對下標i、j滿足2≤i≤m、2≤j≤n時，可定義2×2子行列式：

定理1 設A＝（aij）∈Pm×n，且a11≠0，則：

證明 用a11分別乘第2行到第m行，得到：

在矩陣B中，由于它的行標i和列標j分別滿足2≤i≤m，2≤j≤n，所以再用ai1乘以第一行后減去后面的第i行（i＝2，3，…，m），得到：

因為a11≠0，所以：

按照定理1，可以得到不做除法運算來求矩陣A的秩的算法。算法的具體步驟如下：

1）如果給定非零矩陣A＝（aij）m×n的第一列元素全為0，那么刪去這一列后，矩陣的秩不會改變。2）假設A＝（aij）m×n的第1列是非零列。不失一般性，設a11≠0。利用初等行變換將A化為與之等價的矩陣于是

2 具體算例

解

陣行空間的一組基。即：

3 幾點說明

1）在求矩陣A行空間的一組基時，筆者用初等行變換建立起了一個與A等價的行階梯形矩陣，而這個行階梯形矩陣的非零行就構成了原矩陣行空間的一組基。因此，在建立這個行階梯形矩陣中，必須注意重新插入在計算矩陣秩的過程中被刪除的所有零列。

2）設A是一個n×n矩陣。如果把一個k×k矩陣減少為一個（k－1）×（k－1）矩陣，那么需要做2（k－1）2次乘法。當k從2增加到n時，對A共需要做次乘法，它與計算A的行列式所需要的計算量是相同的。

［1］ 張禾瑞，郝炳新 .高等代數 ［M］.第4版 .北京：高等教育出版社，1999：127－136.

［2］ 齊民友，蔡德祺，劉丁酉 .線性代數 ［M］.北京：高等教育出版社，2003：72－81 .