集群系數與度同類性之間的依賴關系

傅春花

摘 要：復雜網絡已經成為研究復雜系統的強有力工具。該文主要探討了網絡的兩個重要統計性質集群系數與度同類性之間的依賴關系，通過大量的實證統計發現，集群系數與度同類性滿足指數衰減關系，即網絡的集群系數越大，其度同類性反而越小。

關鍵詞：復雜網絡 集群系數 度同類性 依賴關系 指數衰減

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（c）-0055-02

復雜網絡的研究和發展以圖論作為重要基礎，圖論的大量知識在網絡研究過程中得到了廣泛的應用。如在復雜網絡研究中，提出了各種描述和表征網絡特性的統計量，包括網絡的距離分布、集群系數、度與度分布、同類性、群落、層次等。

1 集群系數

集群系數，用c表示，是復雜網絡研究中的一個重要的統計性質，也是網絡研究中的重要概念，用來表示網絡中某一節點的鄰點之間聯系的緊密程度。一般地，假設網絡中的一個節點i有條邊將它和其他節點相連，顯然，在這個節點之間最多可能有（-1）/2條邊，我們將它們之間實際存在的邊數記為Ei。則節點i的集群系數定義為：

整個網絡的集群系數c就是網絡中所有節點的集群系數的平均值，即：

其中，N為該網絡的節點總數。很明顯，0≤c≤1。c=0時，說明網絡中所有節點均為孤立節點，即沒有任何連邊；c=1時，說明網絡中的任意兩個節點都直接相連。通常情況下，c的取值是介于0～1之間的某個中間值。

2 度同類性

頂點度，是復雜網絡研究中的另一個基本又重要的統計性質。節點i的度定義為與該節點相連接的其他節點的數目，即節點i的鄰點個數。從直觀上看，一個節點的度越大意味著這個節點在某種意義上越“重要”。

同類性，可以分為群落同類性和度同類性。與群落同類性相比度同類性是較常用的，也稱為度相關性，用r表示，定義為：

其中，表示連接剩余度（）為j、k頂點的邊的概率，，。由r的定義式可知，r的值介于-1～1之間。若r>0，則說明網絡中度的連接是正相關的，即度大的節點傾向于和度大的節點相連，度小的則和度小的相連。反之，若r<0，則說明度是負相關的，即度大的節點傾向于和度小的節點相連。

3 一些實際網絡的集群系數c與度同類性r之間的依賴關系

集群系數c和度同類性r都是網絡研究中的重要統計量，從不同的角度反映節點之間的連接情況，那么我們很容易聯想到這兩個統計量之間是否也存在一定的依賴關系？我們做了大量的實證調研，得到了十九個實際系統的集群系數c和度同類性r的值。

表1列出了各實際系統的節點、項目定義及數據來源，表1第5、6列為各系統的度同類性值、平均集群系數。由表1可知，度同類性最大的是物理圖書借閱網，說明在該網中，度大的節點在很大程度上傾向于和度大的節點相連，這是符合實際情況的。（見表1）

圖1為這十九個實際系統的集群系數與度同類性之間的依賴關系，在單對數坐標上呈一條較好的直線，說明對于相當一部分網絡，集群系數對頂點度是指數衰減的關系，即近似為。直觀地說，網絡的集群系數越大，其度同類性反而越小。（見圖1）

4 小結與討論

該文主要研究了集群系數與度同類性之間的依賴關系，通過大量的實證統計我們發現集群系數對度同類性的依賴關系滿足指數函數關系，至少對于相當一部分網絡是成立的。我們期望能通過構造合適的模型，來解析的解釋我們得到的結論，這將是我們下一步工作的目標。

參考文獻

[1] Fu C-H，Zhang Z-P， Chang H，Tao J-R，Chen Z-H，Dai Y-L，Zhang W，He D-R.A kind of collaboration–competition networks[J].Physica A，2008（387）： 1411-1420.

[2] 張培培，侯威，何閱，等.復雜系統與復雜性科學[J].淮揚菜系的網絡描述，2005，2（2）：9-53.

[3] 何閱，張培培，唐繼英，等.中藥方劑的合作網絡描述[J].科技導報，2005，23（11）：36-39.

[4] 劉愛芬，付春花，張增平，等.中國大陸電影網絡的實證統計研究[J].復雜系統與復雜性科學，2007，4（3）：10-16.endprint

摘 要：復雜網絡已經成為研究復雜系統的強有力工具。該文主要探討了網絡的兩個重要統計性質集群系數與度同類性之間的依賴關系，通過大量的實證統計發現，集群系數與度同類性滿足指數衰減關系，即網絡的集群系數越大，其度同類性反而越小。

關鍵詞：復雜網絡 集群系數 度同類性 依賴關系 指數衰減

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（c）-0055-02

復雜網絡的研究和發展以圖論作為重要基礎，圖論的大量知識在網絡研究過程中得到了廣泛的應用。如在復雜網絡研究中，提出了各種描述和表征網絡特性的統計量，包括網絡的距離分布、集群系數、度與度分布、同類性、群落、層次等。

1 集群系數

集群系數，用c表示，是復雜網絡研究中的一個重要的統計性質，也是網絡研究中的重要概念，用來表示網絡中某一節點的鄰點之間聯系的緊密程度。一般地，假設網絡中的一個節點i有條邊將它和其他節點相連，顯然，在這個節點之間最多可能有（-1）/2條邊，我們將它們之間實際存在的邊數記為Ei。則節點i的集群系數定義為：

整個網絡的集群系數c就是網絡中所有節點的集群系數的平均值，即：

其中，N為該網絡的節點總數。很明顯，0≤c≤1。c=0時，說明網絡中所有節點均為孤立節點，即沒有任何連邊；c=1時，說明網絡中的任意兩個節點都直接相連。通常情況下，c的取值是介于0～1之間的某個中間值。

2 度同類性

頂點度，是復雜網絡研究中的另一個基本又重要的統計性質。節點i的度定義為與該節點相連接的其他節點的數目，即節點i的鄰點個數。從直觀上看，一個節點的度越大意味著這個節點在某種意義上越“重要”。

同類性，可以分為群落同類性和度同類性。與群落同類性相比度同類性是較常用的，也稱為度相關性，用r表示，定義為：

其中，表示連接剩余度（）為j、k頂點的邊的概率，，。由r的定義式可知，r的值介于-1～1之間。若r>0，則說明網絡中度的連接是正相關的，即度大的節點傾向于和度大的節點相連，度小的則和度小的相連。反之，若r<0，則說明度是負相關的，即度大的節點傾向于和度小的節點相連。

3 一些實際網絡的集群系數c與度同類性r之間的依賴關系

集群系數c和度同類性r都是網絡研究中的重要統計量，從不同的角度反映節點之間的連接情況，那么我們很容易聯想到這兩個統計量之間是否也存在一定的依賴關系？我們做了大量的實證調研，得到了十九個實際系統的集群系數c和度同類性r的值。

表1列出了各實際系統的節點、項目定義及數據來源，表1第5、6列為各系統的度同類性值、平均集群系數。由表1可知，度同類性最大的是物理圖書借閱網，說明在該網中，度大的節點在很大程度上傾向于和度大的節點相連，這是符合實際情況的。（見表1）

圖1為這十九個實際系統的集群系數與度同類性之間的依賴關系，在單對數坐標上呈一條較好的直線，說明對于相當一部分網絡，集群系數對頂點度是指數衰減的關系，即近似為。直觀地說，網絡的集群系數越大，其度同類性反而越小。（見圖1）

4 小結與討論

該文主要研究了集群系數與度同類性之間的依賴關系，通過大量的實證統計我們發現集群系數對度同類性的依賴關系滿足指數函數關系，至少對于相當一部分網絡是成立的。我們期望能通過構造合適的模型，來解析的解釋我們得到的結論，這將是我們下一步工作的目標。

參考文獻

[1] Fu C-H，Zhang Z-P， Chang H，Tao J-R，Chen Z-H，Dai Y-L，Zhang W，He D-R.A kind of collaboration–competition networks[J].Physica A，2008（387）： 1411-1420.

[2] 張培培，侯威，何閱，等.復雜系統與復雜性科學[J].淮揚菜系的網絡描述，2005，2（2）：9-53.

[3] 何閱，張培培，唐繼英，等.中藥方劑的合作網絡描述[J].科技導報，2005，23（11）：36-39.

[4] 劉愛芬，付春花，張增平，等.中國大陸電影網絡的實證統計研究[J].復雜系統與復雜性科學，2007，4（3）：10-16.endprint

摘 要：復雜網絡已經成為研究復雜系統的強有力工具。該文主要探討了網絡的兩個重要統計性質集群系數與度同類性之間的依賴關系，通過大量的實證統計發現，集群系數與度同類性滿足指數衰減關系，即網絡的集群系數越大，其度同類性反而越小。

關鍵詞：復雜網絡 集群系數 度同類性 依賴關系 指數衰減

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）08（c）-0055-02

復雜網絡的研究和發展以圖論作為重要基礎，圖論的大量知識在網絡研究過程中得到了廣泛的應用。如在復雜網絡研究中，提出了各種描述和表征網絡特性的統計量，包括網絡的距離分布、集群系數、度與度分布、同類性、群落、層次等。

1 集群系數

集群系數，用c表示，是復雜網絡研究中的一個重要的統計性質，也是網絡研究中的重要概念，用來表示網絡中某一節點的鄰點之間聯系的緊密程度。一般地，假設網絡中的一個節點i有條邊將它和其他節點相連，顯然，在這個節點之間最多可能有（-1）/2條邊，我們將它們之間實際存在的邊數記為Ei。則節點i的集群系數定義為：

整個網絡的集群系數c就是網絡中所有節點的集群系數的平均值，即：

其中，N為該網絡的節點總數。很明顯，0≤c≤1。c=0時，說明網絡中所有節點均為孤立節點，即沒有任何連邊；c=1時，說明網絡中的任意兩個節點都直接相連。通常情況下，c的取值是介于0～1之間的某個中間值。

2 度同類性

頂點度，是復雜網絡研究中的另一個基本又重要的統計性質。節點i的度定義為與該節點相連接的其他節點的數目，即節點i的鄰點個數。從直觀上看，一個節點的度越大意味著這個節點在某種意義上越“重要”。

同類性，可以分為群落同類性和度同類性。與群落同類性相比度同類性是較常用的，也稱為度相關性，用r表示，定義為：

其中，表示連接剩余度（）為j、k頂點的邊的概率，，。由r的定義式可知，r的值介于-1～1之間。若r>0，則說明網絡中度的連接是正相關的，即度大的節點傾向于和度大的節點相連，度小的則和度小的相連。反之，若r<0，則說明度是負相關的，即度大的節點傾向于和度小的節點相連。

3 一些實際網絡的集群系數c與度同類性r之間的依賴關系

集群系數c和度同類性r都是網絡研究中的重要統計量，從不同的角度反映節點之間的連接情況，那么我們很容易聯想到這兩個統計量之間是否也存在一定的依賴關系？我們做了大量的實證調研，得到了十九個實際系統的集群系數c和度同類性r的值。

表1列出了各實際系統的節點、項目定義及數據來源，表1第5、6列為各系統的度同類性值、平均集群系數。由表1可知，度同類性最大的是物理圖書借閱網，說明在該網中，度大的節點在很大程度上傾向于和度大的節點相連，這是符合實際情況的。（見表1）

圖1為這十九個實際系統的集群系數與度同類性之間的依賴關系，在單對數坐標上呈一條較好的直線，說明對于相當一部分網絡，集群系數對頂點度是指數衰減的關系，即近似為。直觀地說，網絡的集群系數越大，其度同類性反而越小。（見圖1）

4 小結與討論

該文主要研究了集群系數與度同類性之間的依賴關系，通過大量的實證統計我們發現集群系數對度同類性的依賴關系滿足指數函數關系，至少對于相當一部分網絡是成立的。我們期望能通過構造合適的模型，來解析的解釋我們得到的結論，這將是我們下一步工作的目標。

參考文獻

[1] Fu C-H，Zhang Z-P， Chang H，Tao J-R，Chen Z-H，Dai Y-L，Zhang W，He D-R.A kind of collaboration–competition networks[J].Physica A，2008（387）： 1411-1420.

[2] 張培培，侯威，何閱，等.復雜系統與復雜性科學[J].淮揚菜系的網絡描述，2005，2（2）：9-53.

[3] 何閱，張培培，唐繼英，等.中藥方劑的合作網絡描述[J].科技導報，2005，23（11）：36-39.

[4] 劉愛芬，付春花，張增平，等.中國大陸電影網絡的實證統計研究[J].復雜系統與復雜性科學，2007，4（3）：10-16.endprint