基于π定理推導(dǎo)的樁基最大地震附加彎矩計(jì)算公式

馬 亢，陳東霞，牛富生，孫 慶

（1.廈門大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，福建 廈門361005；2.同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

建筑物（含基底樁基）建造完成后，樁基即承擔(dān)一定的從上部結(jié)構(gòu)傳遞來的豎向荷載.它是樁體幾何設(shè)計(jì)和配筋的主要依據(jù)，與地震峰值加速度（PGA）、上部結(jié)構(gòu)傳至樁基的荷載水平、樁身剛／強(qiáng)度、地基土性等因素密切相關(guān)，準(zhǔn)確確定樁基最大彎矩及分布特征對(duì)樁基抗震設(shè)計(jì)尤為關(guān)鍵且必要.

目前，在國內(nèi)外諸多設(shè)計(jì)規(guī)范中仍未有統(tǒng)一明確的樁基抗震設(shè)計(jì)圖表或計(jì)算依據(jù)，如我國的《建筑樁基技術(shù)規(guī)范》（TGJ94－2008）、《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50011—2010）等，以及國外某些專業(yè)規(guī)范：如U－niform Building Code （ICBO—1997）、Eurocode（EN—1998）、Indian Seismic Code（IS1893—2002）等均未有嚴(yán)格意義上專門的樁基抗震計(jì)算規(guī)定.樁基抗震設(shè)計(jì)很大程度上仍采用擬靜力法（如動(dòng)力系數(shù)法，取靜力最大設(shè)計(jì)彎矩的1.1倍作保守設(shè)計(jì)）、簡(jiǎn)化數(shù)理模型計(jì)算和其他各類地震復(fù)核方法［1－3］；或者專門針對(duì)存在液化土層中的樁基，通過折減承載力或控制液化側(cè)擴(kuò)地基變形等做法作保守設(shè)計(jì)［4－5］.顯然，這些做法都是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模狈茖W(xué)性，以致地震中樁基損毀現(xiàn)象屢見不鮮，在實(shí)際樁基抗震設(shè)計(jì)時(shí)也不經(jīng)濟(jì).至今，關(guān)于樁－土動(dòng)力相互作用的研究很多，也出現(xiàn)了一批有意義的成果，但絕大多數(shù)仍集中于針對(duì)上部結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析上（如橋體結(jié)構(gòu)、建筑結(jié)構(gòu)等），均忽視了樁基本身的抗震研究，這對(duì)低層較輕的上部結(jié)構(gòu)可能影響不大，但對(duì)高層高重結(jié)構(gòu)，地震時(shí)樁基與地基土的相互作用強(qiáng)烈，樁基自身的安全穩(wěn)定性也是一個(gè)須重點(diǎn)關(guān)注的問題，并有待進(jìn)一步規(guī)范.

作者在既往研究中［6－8］對(duì)黏性土中樁基震害破壞機(jī)制及樁－土動(dòng)力相互作用機(jī)理已作較為深入地探討，并獲得一定認(rèn)識(shí).文獻(xiàn)［6］通過離心機(jī)地震模型試驗(yàn)得出：地震下樁－土間動(dòng)力相互作用迫使樁基產(chǎn)生地震附加彎矩，一定情況下（如樁基承受上部結(jié)構(gòu)較重、地震強(qiáng)度較大時(shí)）將十分顯著，在樁基配筋時(shí)須另計(jì)考慮；更因兩者動(dòng)力相互作用致使基礎(chǔ)與土表運(yùn)動(dòng)的非一致性，兩者在加速度時(shí)程、反應(yīng)譜特征、周期及放大效應(yīng)等方面均存在顯著差異，傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中采用自由場(chǎng)土表的地震動(dòng)參數(shù)直接作為基底參數(shù)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模晃墨I(xiàn)［7］對(duì)兩組剛度（EI）差異顯著的樁基（EI最大相差10.5倍，以剛性樁和柔性樁區(qū)分之）開展的離心機(jī)地震模型試驗(yàn)及工程模擬的有限元軟件ABAQUS計(jì)算得出：樁頭固定的樁基，其最大彎矩發(fā)生于樁筏聯(lián)結(jié)處；對(duì)于柔性樁，地震中周圍土體對(duì)樁基主要為約束效應(yīng)，致使樁基某個(gè)深度以下彎矩很小，可忽略不計(jì)；對(duì)于剛性樁，土體對(duì)樁基主要是施加附加慣性力作用，致使基礎(chǔ)周期明顯高于自由場(chǎng)土體，從而樁體在較深處彎矩仍十分顯著.文獻(xiàn)［8］通過研發(fā)黏土在地震作用下的軟化降強(qiáng)本構(gòu)模型，并串聯(lián)至ABAQUS程序而計(jì)算得到的樁基彎矩規(guī)律，與試驗(yàn)結(jié)果基本一致.本文將以此3篇文獻(xiàn)中既得成果及大量原始彎矩?cái)?shù)據(jù)為基礎(chǔ)（見表1示），繼續(xù)作深入研究，對(duì)實(shí)際樁基工程中最大地震附加彎矩的設(shè)計(jì)及計(jì)算提出判據(jù)，以為工程設(shè)計(jì)施工時(shí)借鑒、采用.

1 π定理

人們?cè)谘芯磕骋蛔匀滑F(xiàn)象時(shí)，目標(biāo)是希望能將其本質(zhì)過程表達(dá)為一種定量的函數(shù)關(guān)系：

其中，x1，x2，…，xn表示與該過程有關(guān)的物理量及某些物理常數(shù).

由于自然現(xiàn)象的本質(zhì)是與測(cè)量單位制的選擇無關(guān)的，而描述某一自然現(xiàn)象各個(gè)物理量的數(shù)值卻與單位制有關(guān).當(dāng)函數(shù)關(guān)系式（1）改寫成無量綱形式時(shí)：

它才真正反映了自然過程的本質(zhì)，因?yàn)闊o量綱物理量的數(shù)值與單位制的選擇無關(guān).式（2）中π1，π2，…，πr是由n個(gè)變量x1，x2，…，xn組合而成的r個(gè)無量綱變量，不含任何與物理量的測(cè)量方法有關(guān)的系數(shù).此舉通過減少變量數(shù)目（r＜n），大大簡(jiǎn)化了研究工作.從式（1）到式（2）的處理過程實(shí)為量綱分析和相似性理論的方法.這個(gè)方法涉及各物理量之間存在的本質(zhì)上的深刻聯(lián)系，它在很多科學(xué)領(lǐng)域中都曾起過重大作用［9－11］.Buckingham 的π 定理是相似性原理及 量 綱 分析方法的成功應(yīng)用，可簡(jiǎn)述為：對(duì)某過程具有重要性的變量數(shù)目n減去基本變量的數(shù)目m（一般取長度l、質(zhì)量m和時(shí)間t，m＝3），就是獨(dú)立的無量綱組合變量的數(shù)目r（＝n－m）.本文將以此為理論基礎(chǔ)，對(duì)既往研究中取得的大量原始數(shù)據(jù)作進(jìn)一步分析歸納，即導(dǎo)出樁基最大地震彎矩計(jì)算公式.

2 π式的確定

2.1 研究問題

對(duì)于樁基地震彎矩的研究，以Nikolaou［12］為代表的研究者作了較好的工作.Nikolaou通過對(duì)長細(xì)比為20和40的兩類樁基開展的數(shù)值計(jì)算及數(shù)學(xué)分析，對(duì)雙層土中單樁的最大彎矩，最早提出計(jì)算公式如下：

式中，arock為基巖加速度峰值，lp為樁長，d為樁徑，Ep、E1分別為樁體與上層土的彈性模量；V1、V2分別為上下土層的剪切波速；h1為上層土的厚度.

由于式（1）未考慮上部結(jié)構(gòu)傳至樁基的荷載水平及地基域土體的慣性質(zhì)量效應(yīng)，后來，Nikolaou［13］經(jīng)過改進(jìn)又提出了一個(gè)計(jì)算公式：

式中，ρ1為上層土體的密度，這在一定程度上考慮了地基域土體的質(zhì)量（即慣性效應(yīng)），是對(duì)以前工作作了重要改進(jìn)，但仍未考慮從上部結(jié)構(gòu)傳至樁基的荷載效應(yīng).由相關(guān)研究可知，樁端所承受的荷載水平不僅對(duì)樁身彎矩峰值影響顯著，而且還決定著樁（筏）基結(jié)構(gòu)的自振頻率，是極為重要的工程因素之一.故此，本文針對(duì)包括樁承荷載水平在內(nèi)的最廣泛因素作用下樁基最大彎矩開展討論.

表1 已完成樁基的特性參數(shù)及研究工況Tab.1 Properties parameters and study cases of piles in finished research

本文研究的樁（筏）基型式，單一土層底部為基巖，土層厚度與樁長相等；樁底支立于基巖上，樁端承受一定的從上部結(jié)構(gòu)傳遞的荷載（以分擔(dān)筏板重量計(jì)）.這是樁－筏－土體系在地震下的動(dòng)力相互作用研究的典型問題，即作者在以往研究中（試驗(yàn)及ABAQUS計(jì)算分析）采用的同一數(shù)理模型.影響樁身最大彎矩Mmax的因素繁多，其中最具代表性的可由式（5）表達(dá)如下：

其中，最大彎矩：Mmax；樁長為lp；樁的直徑為d；樁彈性模量為Ep；筏板質(zhì)量為mraft；土體剪切模量為Gs；基巖加速度（輸入）為ab；樁的密度為ρpile；土體密度為ρs.

2.2 π式的確定

由于式（5）中l(wèi)p、mraft及ab包含有l(wèi)、m、t這3個(gè)基本量綱，故選取其作為基本量.根據(jù)π定理，式（5）中9個(gè)物理量可組合成6個(gè)無量綱π式，因此，根據(jù)樁－筏結(jié)構(gòu)與地基土體系各自的地震屬性，及其與地震工程中各因素間的內(nèi)在聯(lián)系，分別提出并推導(dǎo)如下：

1）無量綱彎矩：

該式可由樁（直徑為d和彈性模量為Ep）的應(yīng)變?chǔ)舖（無量綱）與相應(yīng)彎矩M之間的關(guān)系導(dǎo)得：

此項(xiàng)主要表達(dá)兩者慣性質(zhì)量效應(yīng)之比（樁基本身質(zhì)量及其所承擔(dān)的從上部結(jié)構(gòu)傳遞至筏板，并進(jìn)而傳遞至樁端的慣性質(zhì)量），即誰占主導(dǎo)或程度大小.由于，地震中樁基彎矩只主要發(fā)生于一定深度范圍內(nèi)，即可采用此深度范圍（lα）樁基質(zhì)量即mpile，可計(jì)為：

其中，lα可根據(jù)一個(gè)普用公式（Poulos［14］；Randolph［15］）確定：

4）樁（筏）基結(jié)構(gòu)與自由場(chǎng)土體的自振頻率之比：

當(dāng)π3＝1時(shí)，即為共振效應(yīng)，是工程中極力回避的.樁（筏）基結(jié)構(gòu)可按單自由度系統(tǒng)（SDOF）考慮，在上述3）中，樁基質(zhì)量已有考慮，此處視樁為無重柱，EpIp為樁體剛度，樁（筏）基結(jié)構(gòu)剛度k可表達(dá)為：

其中，a為常數(shù)，其值取決于樁端約束條件.

因此，樁筏基礎(chǔ)的共振頻率可表達(dá)為：

對(duì)于與樁長（lp）等厚的土體，其主周期理論解為：

其中，Vs為土體的剪切波波速，且有：

因此土體的頻率為：

由式（16）～（18）可得到兩者的頻率比：

5）等效地基域的質(zhì)量與基礎(chǔ)質(zhì)量（包括上部結(jié)構(gòu)傳至基礎(chǔ)的荷載）之比：

此項(xiàng)主要表達(dá)地基域與基礎(chǔ)體系的慣性質(zhì)量之比，即表達(dá)地基域與基礎(chǔ)體系的慣性強(qiáng)弱表征.假設(shè)樁在土體的延伸深度決定著其所影響的地基域范圍，即樁在土體內(nèi)的延伸越長，其所影響的地基域范圍也越廣，因此：

6）地震峰值加速：

其中，g為重力加速度.

3 π式的優(yōu)化組合

根據(jù)量綱分析原理，各π式可表示成冪積關(guān)系［16］.因此，無量綱彎矩π0可由其他5個(gè)無量綱π式表達(dá)如下：

式中，a′0、a1～a5、ab為常數(shù).

對(duì)于地震條件下的軟黏土，滲透系數(shù)較小，且因地震時(shí)間較短，不易排水，故：

將式（13）代入式（12），得：

即：

將表1中所有彎矩?cái)?shù)據(jù)繪于圖1中，可見：極其分散且毫無規(guī)律.逐次引入上述推導(dǎo)所得“π式冪”（如先引入π0，見圖2），并不斷動(dòng)態(tài)試探和誤差控制可將這些原始數(shù)據(jù)點(diǎn)壓縮至一個(gè)最小范圍的線性窄帶中（見圖3），經(jīng)數(shù)學(xué)分析可確定式（24）中待定參數(shù)a″0，a′1，a2，a″2，a′3，a4和a5的最佳值，見式（25）、（26）.

圖1 各種工況下樁基的原始最大彎矩值Fig.1 Original maximum bending moment of pile with different slender ratio under different cases

圖2 π0與樁基長細(xì)比π1的關(guān)系Fig.2 Relation betweenπ0and slender ratio

圖3可得，數(shù)據(jù)群“窄帶”線性方程：Y＊＝0.147 X＊，Y＊與X＊分別代表引入π式冪變量后的復(fù)合指標(biāo)，因此：通過還原各π式冪，即：

圖3 最終壓縮得到的線性窄帶Fig.3 Final condensed plot after a series of linearization

由于本研究中（試驗(yàn)及ABAQUS計(jì)算分析）上部結(jié)構(gòu)傳至筏板荷載由4根樁共同承擔(dān)，故有：

mload為每根樁基單獨(dú)承擔(dān)的荷載，因此式（28）可進(jìn)一步改寫為一般形式：

式（30）導(dǎo)出了多因素下樁基最大彎矩的最終計(jì)算公式，它考慮了包括上部結(jié)構(gòu)傳至樁基荷載水平在內(nèi)的最廣泛影響因素.該式是基于試驗(yàn)和ABAQUS計(jì)算數(shù)據(jù)導(dǎo)得［17－18］.通過對(duì)式中各參數(shù)的逐一敏性分析，可知其符合既往研究和工程實(shí)際的因素變化趨勢(shì)（如：Mmax∝E1.12P最大彎矩隨樁基剛度而增大，樁基剛度越大，產(chǎn)生的彎矩也越大；Mmax∝a0.9b最大彎矩隨地震強(qiáng)度增大而增大等）.

4 預(yù)測(cè)公式與權(quán)威設(shè)計(jì)圖表對(duì)比

Tabesh和Poulos［19］基于 Winkler地基梁的理論分析和數(shù)值計(jì)算，提出了在地震作用下樁身最大彎矩的幾類工程設(shè)計(jì)圖表.該研究假設(shè)線彈性均質(zhì)土體中單樁受到從基巖輸出的地震波作用，峰值加速度（PGA）均為0.1 g；樁基包括木樁和混凝土樁兩類型，彈性模量分別設(shè)為10和30GPa；樁徑范圍為0.2～1.5m；土的彈性模量包括25，50和100MPa 3種；樁頭承受的荷載采用極限承載力安全系數(shù)來表達(dá)，分別為2，2.5和3.

圖4 式（30）確定的最大彎矩值與 Tabesh［19］對(duì)比Fig.4 Comparison of maximum bending moments between Eq（30）of this study and the design charts by Tabesh［19］

圖4為本文式（30）與 Tabesh［19］計(jì)算得出的樁身最大彎矩對(duì)比，可見，在樁徑較小情況下，兩者計(jì)算的樁基最大彎矩基本相符，在樁徑較大時(shí)差異較大.因式（30）和在 Tabesh和Poulos［19］的研究思路與方法完全不同，但總體上言，量值和變化趨勢(shì)兩者基本一致，說明本文導(dǎo)出的式（30）是合理正確的，在目前尚無成熟的樁基抗震規(guī)范情況下是具有一定參考價(jià)值的.

5 總 結(jié)

本文運(yùn)用π定理，在既往研究獲取的大量原始樁基彎矩的基礎(chǔ)之上，通過充分考慮影響樁基彎矩的諸多因素，提出并推導(dǎo)出6個(gè)無量綱π式，通過數(shù)學(xué)分析為樁基（樁筏固定聯(lián)接）在地震作用下產(chǎn)生的最大附加彎矩理論推導(dǎo)得出的計(jì)算公式，符合權(quán)威工程設(shè)計(jì)圖表規(guī)律，具有一定工程應(yīng)用性.本文所討論的是黏性土中樁基，對(duì)于砂性土，其地震破壞模式主要是液化及其導(dǎo)致的大變形，這在國內(nèi)外有較多研究成果可以借鑒；對(duì)于多層土中樁基彎矩計(jì)算，可按最不利土層參數(shù)或各層土參數(shù)的加權(quán)平均取值.

本文為樁基抗震研究提供了一種新的研究思路，當(dāng)原始研究數(shù)據(jù)足夠多（試驗(yàn)及數(shù)值計(jì)算）時(shí)，導(dǎo)出的計(jì)算彎矩公式更為準(zhǔn)確，并力求在工程設(shè)計(jì)實(shí)踐中得到檢驗(yàn)、修正并積累經(jīng)驗(yàn).

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