熱電子熱機最大功率運行時的效率特性研究

楊德成，張 龍

（1．海裝駐九江地區(qū)軍事代表室，江西 九江 332007;2．海裝駐哈爾濱汽輪機廠有限責(zé)任公司軍事代表室，黑龍江 哈爾濱 150046）

能量選擇性熱電子熱機（簡稱ESE熱機）是一種以電子作為工質(zhì)的微型能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，其性能的獨特之處在于如果穿過該系統(tǒng)能量過濾器的電子的能量調(diào)節(jié)到某一特殊的能量點處，ESE熱機的效率可以達到卡諾效率值[1～2]，正因為這一獨特性能及其對納米材料熱電裝置、半導(dǎo)體固態(tài)熱電和熱離子裝置實際電子機系統(tǒng)性能提升具有重要的指導(dǎo)意義，熱電子熱機系統(tǒng)的熱力學(xué)性能的研究也吸引了眾多學(xué)者的目光[3～7]。

近年來，能量系統(tǒng)功率最大時的效率（簡稱EMP）特性已經(jīng)成為其最優(yōu)性能相關(guān)研究的熱點問題之一。EMP特性是揭示系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換機制和效率的一個非常有效的指標(biāo)。對于各種理想能量系統(tǒng)，其效率最大時的輸出功率往往為零。因此研究其EMP特性更具實際意義。Novikov[8]、Chambadal[9]、Curzon和Ahlborn[10]等學(xué)者最早分別注意到了這一問題，并得到了著名的Curzon-Ahlborn（CA）效率。CA效率的導(dǎo)出突破了卡諾效率在實際能量系統(tǒng)應(yīng)用中的局限性，奠定了有限時間熱力學(xué)理論[11~18]的根基，同時也使得人們對于熱機系統(tǒng)功率最大時的效率這一性能指標(biāo)給予了更多的關(guān)注。

研究微型能量系統(tǒng)的EMP特性，有助于揭示微型能量系統(tǒng)的本質(zhì)機理和共性特征，明晰微型能量系統(tǒng)與宏觀系統(tǒng)在能量轉(zhuǎn)換機理上的異同點。Humphrey[2]研究了單通道熱電子熱機在最大輸出功率模式時的EMP特性；Luo等[19]研究了低溫ESE熱離子熱機的EMP特性，并討論了能量譜寬度對EMP特性的影響。本文擬基于單諧振通道的內(nèi)可逆能量選擇性電子熱機模型，導(dǎo)出熱電子熱機在中間運行模式和最大功率運行模式下的功率和效率的解析表達式，系統(tǒng)分析熱機在這兩種模式下的EMP特性，討論過濾器中心能量位置和能量寬度對EMP特性的影響，確定EMP的性能界限，從而進一步揭示熱電子機系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換的機理和特點。

1 單通道熱電子熱機模型

圖1 單諧振通道熱電子熱機模型

圖1給出了一維系統(tǒng)中包含單諧振通道的內(nèi)可逆熱電子熱機模型，它由兩個無限大的電子源和兩個能量過濾器構(gòu)成。兩電子源有不同的溫度TC和TH以及不同的化學(xué)勢μC和μH。兩電子源彼此熱絕緣，只通過兩個有限寬度的能量過濾器進行電子交換，過濾器僅允許特定能量范圍內(nèi)的電子在兩源之間自由傳輸。圖中，ER為過濾器的中心能量，ΔE為過濾器允許通過的電子的能量寬度，eV0為施加于高溫電子源的偏轉(zhuǎn)電壓。

對定溫和定壓的開放系統(tǒng)，由熱力學(xué)第一定律，同時聯(lián)立Landauer方程[20]，可以得到過濾器中心能量ER附近很小能量范圍δE內(nèi)電子通過過濾器時高溫電子源放出的熱量以及低溫電子源吸收的熱量：

式中，

h為Planck常數(shù)，

fC和fH分別為低溫和高溫電子源的費米分布

式中，

kB為Boltzmann常數(shù)。

由文獻[2]可知，對于中心能量為ER、寬度為ΔE的過濾器，電子機系統(tǒng)存在兩種不同的運行模式：中間模式和最大輸出功率模式。

2 中間模式下的EMP性能特性

所謂的中間運行模式是熱電子熱機介于最大輸出功率和可逆運行這兩種狀態(tài)之間的一種運行方式[2]。在中間模式下，只有能量在中心能量ER附近寬度ΔE范圍內(nèi)的電子才能夠通過過濾器進行傳輸。相比前兩種理想狀態(tài)，中間模式對于電子機系統(tǒng)的設(shè)計和運行運行來說更具實際意義。由圖1可知，在中間模式下，如果系統(tǒng)作為熱機工作，過濾器中電子的能量并非要求全部高于E0，只需保證中心ER>E0能量即可。

由式（1）和式（2），可得中間模式下高溫電子源的放熱率和低溫電子源的吸熱率分別為

聯(lián)立式（4）和式（5）可得中間模式下ESE熱機的功率Pi為

在式（4）至式（6）的基礎(chǔ)上，通過引入以下積分函數(shù)

可以得到單位時間放熱量Q觶H和功率Pi的解析表達式，分別為

式中rH+/-=（ER±ΔE/2-μH）/（kBTH），rC+/-=（ER±ΔE/2-μC）/（kBTC），f（x）=ln（x）·ln（1+x），f（x）=PolyLog（2，-x）為 Nielsen方程。

由式（10）和式（11）可得到中間模式下內(nèi)可逆ESE熱機的效率為

式中，τ=TC/TH為電子源的溫比。式（11）和式（12）為中間模式下電子機的主要性能參數(shù)。在給定TH、μH、μC等參數(shù)的情況下，中間模式下單諧振通道熱電子熱機的功率Pi、效率ηi是過濾器中心能量ER、能量寬度ΔE和低溫電子源溫度TC的函數(shù)。

由式（11），通過方程組[（墜P/墜ER）TC=0；（墜P/墜TC）ER=0]、[（墜P/墜ER）ΔE=0；（墜P/墜TC）ER=0]、[（墜P/墜ER）TC

=0；（墜P/墜TC）ΔE=0]可以求解出 ESE熱機功率最大時 ΔE、ER和TC的最優(yōu)值，將其代入式（12）可以得到功率最大時的效率特性。由于式（11）存在非線性的指數(shù)項，對功率求最大值所得到的方程組無法得到解析解，因此必須通過數(shù)值計算進行求解。取TH=0.5k、μC/kB=12k、μH/kB=10k，本節(jié)將通過數(shù)值計算進一步分析單通道ESE熱機中間模式下的EMP特性以及設(shè)計參數(shù)的影響。

圖2 最大功率Pi，max與能量寬度ΔE的特性關(guān)系

圖3 中間模式下EMPηi，EMP與能量寬度ΔE的特性關(guān)系

圖2 和3分別給出了單通道ESE熱機的最大功率 Pi，max和 EMPηi，EMP隨能量寬度 ΔE 的特性關(guān)系。由圖可知，最大功率Pi，max隨ΔE的增加而單調(diào)增大，而功率最大時的效率ηi，EMP隨ΔE的增加而單調(diào)減小。在ESE熱機系統(tǒng)中，只有能量高于E0的電子通過過濾器傳輸才有助于系統(tǒng)對外做功。ΔE增大時，更多能量高于E0的電子通過過濾器在電子源之間傳輸，使得電子機整體的輸出功率增大。最大功率和EMP的不同變化特征表明在實際設(shè)計和運行中，ΔE需要合理取值以得到功率和效率折衷優(yōu)化。

圖4 中間模式下EMP與卡諾效率的特性關(guān)系

為了更進一步分析電子機系統(tǒng)的EMP特性，圖4給出了單通道ESE熱機中間模式下的EMP特性與卡諾效率η（CηC=1-TC/TH）的特性關(guān)系，如圖4中曲線1所示。圖4中曲線4的點劃線代表CA效率ηCA=，曲線5代表卡諾效率。通常，ESE熱機過濾器中心能量和能量寬度的取值都在特定范圍之內(nèi)，系統(tǒng)在中間模式下運行，曲線1就代表了ESE熱機功率最大時效率的一般特性。對比曲線1和4可以發(fā)現(xiàn)，卡諾效率ηC較小（TC較大）時，ηEMP高于熱機的 CA效率 ηCA；而當(dāng) ηC增大（TC減小）時，ηEMP會小于ηCA。圖4中同時給出了費曼棘輪模型[21]和隨機熱機模型[22]功率最大時的效率特性曲線，如圖中曲線2和3所示。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，中間模式下電子機的EMP特性與費曼棘輪和隨機熱機EMP特性的變化趨勢不同，隨著ηC的增加，曲線1與曲線2和3會相交，且不同類型EMP的大小會發(fā)生變化，這一差異體現(xiàn)了ESE熱機與其他熱機在運行機制上的差別。

由圖2可知，功率最大時的效率ηi，EMP隨的增加而減小。這意味著當(dāng)在[0，∞]之間變化時，電子機的EMP會取得相應(yīng)的上限和下限值[19]。當(dāng)過濾器能量寬度 ΔE→0時，電子機的 EMP 達到上限值 ηi，EMP+。此時，過濾器中心能量ER附近很小能量范圍內(nèi)電子通過過濾器時高溫和低溫電子源熱量的變化由式（1）和式（2）確定。此時，熱機的功率和效率分別為

由式（13），令dPi/dER=0可得到功率最大時的值滿足以下關(guān)系

式中 rH/C=（ER-μH/C）/kBTH/C。式（15）無法求得解析結(jié)果，通過數(shù)值求解出功率最大時的ER值，將其代入式（14），即可得到此時的EMP特性，即中間模式下ESE熱機EMP特性的上限值ηEMP+。

3 最大功率模式下EMP性能特性

由文獻[2]可知，在能量范圍E0

在最大功率模式下，ESE熱機的輸出功率和效率分別為[2]

式中 r0、a和函數(shù) h（x）分別定義為

給定TH、μH、μC等參數(shù)時，最大功率模式下電子機的功率和效率是r0和卡諾效率ηC的函數(shù)。

由式（16），令dPm/dr0=0可以得到功率最大時的最優(yōu)r0值，其為如下方程的解[2]：

求解式（19）可得的取值為r0=1.144 6。將r0=1.144 6代入式（17）即得到功率最大時的效率的表達式[2]

圖5 ESE熱機EMP與卡諾效率的特性關(guān)系

式中b=1.068 5。由式（20）不難看出，在該模式下，功率最大時的效率特性只與熱源溫比有關(guān)，而與系統(tǒng)的其他設(shè)計參數(shù)無關(guān)。這一特性表明，最大輸出功率模式是不同與中間模式的一種極限運行方式，而中間模式是一種常態(tài)化的運行方式。

通過數(shù)值計算，可以得到最大輸出功率模式下的EMP隨卡諾效率變化的特性曲線，如圖5中的曲線2所示。由前文的分析可知，EMP隨ΔE的增加而減小，因此，最大功率模式下的EMP，即圖5中的曲線2就代表了電子機EMP的下限取值范圍。電子機常態(tài)化運行，也就是在中間模式運行時，其EMP總要高于下限值ηEMP-。

到目前為止，我們確定了電子機在中間模式下的EMP一般特性線，如圖5中曲線1。同時，基于能量寬度的變化特性和運行模式情況，得到了EMP的ηEMP-。ηEMP+和ηEMP-兩條特性線所圍成的區(qū)域即是ESE熱機功率最大時效率的有效區(qū)域。為便于對比，圖5中還給出了文獻[23]所得到的低耗散卡諾熱機功率最大時效率的上下取值界限，如圖5中曲線4和5所示。由圖可知，ESE熱機的下限值ηEMP-僅在卡諾效率ηC較大（TC較小）時才高于低耗散卡諾熱機EMP的下限值，這與文獻[19]的結(jié)論相似。而電子機的一般特性線變化范圍較大，與低耗散卡諾熱機的EMP特性有著明顯的差異。

4 結(jié)束語

本文基于單諧振通道的內(nèi)可逆熱電子熱機模型，導(dǎo)出了熱電子熱機在中間運行模式和最大功率運行模式下輸出功率和效率的解析表達式，系統(tǒng)分析了熱機在這兩種模式下的功率最大時的效率特性，得到了EMP的一般特性關(guān)系曲線，并與費曼棘輪和隨機熱機的EMP特性進行了比較；確定了過濾器中心能量位置和能量寬度對EMP特性的影響特點，發(fā)現(xiàn)ESE熱電子熱機功率最大時的效率都隨過濾器中心能量和能量寬度的增加而減小，并由此確定了EMP的上下取值界限。分析表明電子機EMP特性具有獨特性，變化范圍較較廣。

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