化歸思想在三角函數問題中的運用

仇正權 李素英

摘 要： 化歸思想是一種重要的數學思想，本文總結歸納了三類三角函數問題的化歸策略，并給出了典型的例題解析，從而為解決三角函數問題提供一定的幫助.

關鍵詞： 三角函數 化歸 分式型

化歸思想是指在處理相關數學問題時，使用種種手段，將復雜、難解的問題轉化為簡單、易解的問題，其特點是將特殊問題一般化、復雜問題簡單化.三角函數這一章節由于包含的公式數量多、問題形式復雜，學生很多時候不能得心應手地選擇公式并靈活地使用.此時，化歸思想就成為解決該章節的重要手段，筆者對化歸思想在解決三角函數問題時的作用進行了適當的歸納，總結了三類三角函數的化歸策略，并給出了典型例題解析.

一、三角函數問題的化歸策略總結

（一）多個三角函數化歸為只含一個三角函數

1.y=asinx+bcosx=■sin（x+φ），其中tanφ=■.

2.y=asin■x+bsinxcosx+ccos■x+d=■sin2x+■+■+d=■sin2x+■cos2x+■=■■sin（2x+φ）+■，其中tanφ=■.

（二）三角函數化歸為一元二次函數

1.y=asin■+bsinx+c.

2.y=acos2x+bsinx=a（1-2sin■x）+bsinx=-2asin■x+bsinx+a.

3.y=a（sinx+cosx）+bsinxcosx，令t=sinx+cosx，則t∈[-■，■]，sinxcosx=■，則原函數可化為：y=at+b×■=■t■+at-■.此類型題目中，只要理解好sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之間的聯系即可.

（三）分式型三角函數的通性化歸策略

1.y=■，此式可轉化為sinx=■，接著|sinx|≤1？圯|d-by|≤|ay-c|

？圯（ay-c）■-（by-d）■≥0？圯[（a-b）y+d-c][（a+b）y-（c+d）]≥0.由此解出y的范圍

2.y=■，此式可轉化為aysinx-ccosx=d-by，

接著■sin（x+φ）=d-by？圯sin（x+φ）=■，其中tan（x+φ）=■，

由|sin（x+φ）|≤1？圯（d-by）■≤a■y■+c■，從而解出y的范圍.

二、典型例題解析

例1：已知函數f（x）=4cosxsin（x+■）-1，求f（x）的最小正周期.

解析：此函數可變形為只含一個三角函數的形式.

∵f（x）=4cosx（■sinx+■cosx）-1=■sin2x+2cos■x-1

=■sin2x+cos2x=2sin（2x+■），∴f（x）的最小正周期為π.

例2：已知函數f（x）=2sin■ωx+2■sinωxsin（■ -ωx）（ω>0）的最小正周期為π，求ω的值.

解析：把ωx看成一個整體，該函數仍可變形為只含一個三角函數的形式.

f（x）=1-cos2ωx+2■sinωxcosωx=1-cos2ωx+■sin2ωx

=■sin2ωx-cos2ωx+1=2sin（2ωx-■）+1，因為函數f（x）的最小正周期為π，且ω>0，所以■=π，得到ω=1.

例3：求函數f（x）=cos2x-8cosx+7（0≤x≤π）的值域.

解析：此函數形式可變形為一元二次函數的形式.

f（x）=2cos■x-1-8cosx+7=2cos■x-8cosx+6=2（cosx-2）■-2，

∵0≤x≤π，∴-1≤cosx≤1，∴f（x）■=2（1-2）■-2=0，

f（x）■=2（-1-2）■-2=16，即f（x）∈[0，16].

例4：求函數y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值.

解析：通過設元，可將此函數變形為一元二次函數的形式.

設sinx+cosx=t，則t=■sin（x+■），且t∈[-■，■].

∵1+2sinxcosx=t■，

∴sinxcosx=■，∴y=t+■=■（t+1）■-1，t∈[-■，■].

很明顯，當t=■時，有y■=■+■.

例5：已知x∈（0，■），求函數y=■的最小值.

解析：典型的分式型三角函數，借助正弦函數的取值范圍，能順利解決.

y=■=■，

∵x∈（0，■），∴5-3cos2x>0，sin2x>0，∴y>0.

上式可變形為ysin2x+3cos2x=5.■sin（2x+φ）=5，即sin（2x+φ）=■，其中tanφ=■，∵|sin（2x+φ）|≤1，∴y■+9≥25，∴y≥4，即y■=4.

化歸思想是一種重要的數學思想，若使用得當，則能為解決三角函數提供很多的幫助，同時，應注意不要生搬硬套，要注意方法的靈活多變，化歸并沒有統一的模式可以遵循.這就要求我們善于反思解題過程，并能不斷地總結、提高化歸能力.

參考文獻：

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