高中數學概念有意義學習的監控策略及案例

王小亮

高中數學知識的學習離不開“概念教學”，除了概念外，數學知識就是“命題”，不過從“數學命題”來看，概念還是其最基本的組份，因此，概念教學的優劣關系到整個高中數學教學的效果，學生是教學的主體，我們應該引導學生完成概念的有意義構建，而這個過程中教師的主導、監控作用不可忽視.本文就對學生數學概念學習過程的監控策略進行分析，望能有助于教學實踐.

一、數學概念的特點

了解數學概念的特點，是實現對概念教學監控不可或缺的環節，筆者在概念教學實踐中，將數學概念的特點總結如下：

1.抽象性.數學概念是對數學對象在數量關系與空間表現形式上的抽象，通常與現實的“脫離”度較大，概念用的是形式化、符號化的專業語言表示，與對象的物質性質無關，具有很強的抽象性，也恰是因為數學概念具有抽象性，才使得數學的應用領域越發廣泛.

2.相對具體性.抽象和理解上的難易程度是相對的，從概念體系上看，數學概念體系的建立是由簡到繁、逐層建立的，數學對象與低層次的概念是構成高層次概念的基礎.從另一個方面來看，數學概念相對于另兩種數學思維——數學判斷和推理來說，概念在數學學習過程中，是實實在在存在于知識體系中的、具體的知識.

3.邏輯聯系性.數學概念具有系統性，各個概念，尤其是高層次與低層次的概念邏輯上具有很強的聯系，建立新的概念必須以邏輯定義，而且固定為語言表征、符號表征，從概念體系來看，各個概念構成了嚴密的數學邏輯體系.

二、數學概念學習的兩種形式

理論研究和實踐表明，有意義的概念學習通常在形式上具有規律性，“概念形成”和“概念同化”是有意義構建概念的兩種形式.

1.什么是概念形成？這種學習形式，從大量的數學例子出發，引導學生在肯定例證的過程中，運用“歸納”的方法將一類數學對象最為本質的屬性提煉出來形成新概念，所以概念形成的學習方式，通常可稱之為“歸納法”.這種學習效率取決于學生對具體事物抽象的能力.

2.什么是概念同化？這種學習形式，是引導學生主動地、直接地用定義的形式對概念進行陳述，這是借助于學生頭腦中的認知表象，將新概念與認知結構中原有的相關概念進行有意義的聯系、作用，最后將新概念納入原有認知結構的過程，所以概念同化的學習方式，通常可稱之為“邏輯法”，這種學習效率取決于學生頭腦中原有概念體系的穩固度，以及學生遷移能力和邏輯思維能力.

三、數學概念學習的監控策略及實例

1.監控感性材料和知識經驗.概念學習是感性到理性逐漸深化的過程，沒有感性材料和知識經驗作為基礎，學生難以辨析數學對象最為本質的屬性，有意義的學習自然無從說起.為此，我們在概念教學時，要盡可能地將學生帶入熟悉的情境之中，或是用實物、模型、問題等來刺激學生的原有知識、經驗.

例如，筆者在和學生一起學習“映射”這個概念時，設計了問題串，激活學生的知識經驗，觸及概念的本質屬性.

問題1：奇數集與偶數集兩者相比，哪個元素更多？

問題2：奇數集與正數集兩者相比，哪個元素更多？

問題3：一個圓與一條線段兩者相比，哪個圖形上面的點更多？

問題4：無窮集合A與無窮集合B兩者相比，哪個元素更多？

讓學生通過對上述問題的思考，觸及：“在集合之間建立的某種對應關系”，這恰是概念的本質屬性.

2.挖掘新、舊概念的聯系.既然數學概念是成體系的，具有邏輯性和整體性，為此，我們在概念教學時，應該注重新、舊概念之間聯系的挖掘，促進概念的同化.例如，在和學生一起學習“并集”這個概念時，要善于挖掘概念與“交集”的聯系，將“交集、并集”的概念正向聯結，還將概念的建立與“且、或”的聯系.

3.注重數學概念的產生.數學概念從何而來？是數學家憑空想象、信手拈來的么？數學是自然科學，概念的產生源自于現實世界或數學內部的真實需求.我們在教學過程中要善于挖掘數學史，給學生提供材料揭示概念產生的內因和外因，豐富學生的感性認識，深化數學知識體系的系統性，切忌將數學概念學習簡單理解為“條文加例題”.

例如，在和學生一起學習“復數”這個概念時，筆者首先和學生回顧“實數”概念的發展史，讓學生感受到“數”這個數學概念是伴隨人類實際需要層次的不斷提升而發展起來的.從運算上來分析，自然數集、整數集、有理數集、實數集中運算實施情況，同時拋出問題：“實數集對負數開偶數次方則不可實施，怎么辦呢？”從數的發展角度來看，引進一種“新數”就順理成章了，那么對這種新數來說有什么要求呢？“加、減、乘、除、乘方、開方等運算都可實施”，在學生有了這樣的認識時，教學過程中引進虛數單位i，學生的心理上就有所準備，復數概念就落到了實處.

4.重視變式與比較.概念學習到內化為學生自己的知識和能力，需要一個反復的過程，變式與比較有利于學生掌握數學概念的本質特征.

（1）變式.所謂“變式”教學就是借助于概念正向的變化來幫助學生排除與概念無關的特征，突出概念的本質特征.例如，在和學生一起學習“復數”這個概念時，舉例不能僅僅舉2+3i，-5i，6-4i這樣的例子，因為上述幾個例子會導致有部分學生形成錯誤的抽象，誤認為復數a+bi（a，b∈R）的本質特征為b≠0，筆者在教學中除了上述幾個例子外，還同時舉了2-32，5，0等例子，引導學生對無關特征進行排除，順利建立復數這個概念.

（2）比較.所謂“比較”，包括正向例子之間的比較，也包括正、反兩方向例子之間的比較，前者以發現其共同本質特征，后者以加深對本質特征與非本質特征的理解.例如，筆者在復習時和學生一起梳理了7種空間“距離”概念的比較（即兩點間的距離、點到直線的距離，兩平行線間的距離，點到平面的距離，兩平行平面的距離，異面直線間的距離，球面上兩點間的距離），從共性與區別角度進行區分，促進對這些個體概念更好的理解，同時也建立了空間距離這個整體概念.

5.強化訓練.為了使學生牢固地掌握數學概念，并能靈活運用，除了通過實例引進和講清概念、揭示本質外，還應當在得出概念之后，加強練習，舉例說明如何用它們來解決問題.到了適當的階段，對學過的概念進行歸納、分類、概括、提高，引導學生深入思考，使學生對學過的概念真正系統掌握，融會貫通.endprint