拋物運動問題常見的幾種分解思路

吳含章

拋物運動指物體以一定的初速度拋出后，在地面附近不大的范圍內僅在重力作用下的運動.依據運動的獨立性和等時性，運動學中常將較為復雜的曲線運動分解為某兩個方向的直線運動.

分解思路一拋物運動僅受重力，拋物運動最常見的分解方法分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向a=g的勻變速直線運動.

例1在水平地面上將小球以與地面成θ角的初速度v斜向上拋出，求該小球上升的最大高度和水平射程分別是多少？

解析該小球的運動可以分解為水平方向以vx=vcosθ的勻速直線運動

豎直方向以vy0=vsinθ為初速度的豎直上拋運動

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

運行時間t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具體問題中根據題意的需要也可將拋物運動分解成豎直平面內相互垂直的任意兩個方向，加速度g、速度v等矢量均沿著兩個方向正交分解.

例2如圖2所示，在傾角為θ的斜面頂端A處，以水平速度v0拋出一小球，落在斜面上B處，求①小球在運動過程中離斜面的最大距離.②A、B兩點間的距離為多大？

解析題中所待求的最大距離是垂直于斜面方向的最大高度，應當分解為垂直于斜面和沿斜面兩個方向的分運動，由分運動的獨立性可知應當講初速度v0和加速度g分別沿這兩個方向分解，如圖2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos為初速度，以ax=gsinθ為加速度的勻加速直線運動；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ為初速度，以ay=-gcosθ為加速度的勻變速直線運動.

當運行時間t=vy0ax=vsinθgcosθ時小球垂直于斜面方向的速度減小為零，有離斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升過程和下落過程的對稱性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作拋物運動的物體的共同特點是加速度相同，其加速度恒為豎直向下的重力加速度.因此，當研究多個拋體的運動規律時，以自由下落的物體為參照物，則各物體的運動均為勻速直線運動，這種選擇參照物的方法，能大大簡化各物體運動學量之間的聯系，使許多看似復雜的問題簡單、直觀.

例3如圖4所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度拋出A、B兩個質點，問1s后A、B相距多遠？

解析這道題可以取一個初速度為零，加速度為g的參考系.在這個參考系中，A、B二個質點都做勻速直線運動，而且方向互相垂直，它們之間的距離

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空間某一點O，向三維空間的各個方向以相同的速度v0射出很多個小球，球t秒之后這些小球中離得最遠的二個小球之間的距離是多少（假設t秒之內所有小球都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個比較復雜的問題，要考慮向各個方向射出的小球的情況.但如果我們取一個在小球射出的同時開始自O點自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O點為球心的球面上，球的半徑是v0t，那么離得最遠的兩個小球之間的距離自然就是球的直徑2v0t.

例4如圖5，彈性小球自高出斜面A點h處自由下落，與斜面發生彈性碰撞后又彈起，已知斜面的傾角為θ，問第二次下落點到第一次下落點的距離AB為多大？

解析小球從高出A點h處自由下落，到A點的速度為vA=2gh，由彈性碰撞規律可知，小球將以原速率反彈，方向如圖6所示.

小球從A點反彈后的拋體運動可以看成沿反彈速度方向的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動的合成，由圖6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN為等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

結語解析拋物運動問題時，應對研究問題進行分析，選擇最合適的分解方法求解，實踐證明，掌握了上述幾種方法，會對解拋物運動問題有很大的幫助.endprint

拋物運動指物體以一定的初速度拋出后，在地面附近不大的范圍內僅在重力作用下的運動.依據運動的獨立性和等時性，運動學中常將較為復雜的曲線運動分解為某兩個方向的直線運動.

分解思路一拋物運動僅受重力，拋物運動最常見的分解方法分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向a=g的勻變速直線運動.

例1在水平地面上將小球以與地面成θ角的初速度v斜向上拋出，求該小球上升的最大高度和水平射程分別是多少？

解析該小球的運動可以分解為水平方向以vx=vcosθ的勻速直線運動

豎直方向以vy0=vsinθ為初速度的豎直上拋運動

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

運行時間t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具體問題中根據題意的需要也可將拋物運動分解成豎直平面內相互垂直的任意兩個方向，加速度g、速度v等矢量均沿著兩個方向正交分解.

例2如圖2所示，在傾角為θ的斜面頂端A處，以水平速度v0拋出一小球，落在斜面上B處，求①小球在運動過程中離斜面的最大距離.②A、B兩點間的距離為多大？

解析題中所待求的最大距離是垂直于斜面方向的最大高度，應當分解為垂直于斜面和沿斜面兩個方向的分運動，由分運動的獨立性可知應當講初速度v0和加速度g分別沿這兩個方向分解，如圖2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos為初速度，以ax=gsinθ為加速度的勻加速直線運動；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ為初速度，以ay=-gcosθ為加速度的勻變速直線運動.

當運行時間t=vy0ax=vsinθgcosθ時小球垂直于斜面方向的速度減小為零，有離斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升過程和下落過程的對稱性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作拋物運動的物體的共同特點是加速度相同，其加速度恒為豎直向下的重力加速度.因此，當研究多個拋體的運動規律時，以自由下落的物體為參照物，則各物體的運動均為勻速直線運動，這種選擇參照物的方法，能大大簡化各物體運動學量之間的聯系，使許多看似復雜的問題簡單、直觀.

例3如圖4所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度拋出A、B兩個質點，問1s后A、B相距多遠？

解析這道題可以取一個初速度為零，加速度為g的參考系.在這個參考系中，A、B二個質點都做勻速直線運動，而且方向互相垂直，它們之間的距離

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空間某一點O，向三維空間的各個方向以相同的速度v0射出很多個小球，球t秒之后這些小球中離得最遠的二個小球之間的距離是多少（假設t秒之內所有小球都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個比較復雜的問題，要考慮向各個方向射出的小球的情況.但如果我們取一個在小球射出的同時開始自O點自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O點為球心的球面上，球的半徑是v0t，那么離得最遠的兩個小球之間的距離自然就是球的直徑2v0t.

例4如圖5，彈性小球自高出斜面A點h處自由下落，與斜面發生彈性碰撞后又彈起，已知斜面的傾角為θ，問第二次下落點到第一次下落點的距離AB為多大？

解析小球從高出A點h處自由下落，到A點的速度為vA=2gh，由彈性碰撞規律可知，小球將以原速率反彈，方向如圖6所示.

小球從A點反彈后的拋體運動可以看成沿反彈速度方向的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動的合成，由圖6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN為等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

結語解析拋物運動問題時，應對研究問題進行分析，選擇最合適的分解方法求解，實踐證明，掌握了上述幾種方法，會對解拋物運動問題有很大的幫助.endprint

拋物運動指物體以一定的初速度拋出后，在地面附近不大的范圍內僅在重力作用下的運動.依據運動的獨立性和等時性，運動學中常將較為復雜的曲線運動分解為某兩個方向的直線運動.

分解思路一拋物運動僅受重力，拋物運動最常見的分解方法分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向a=g的勻變速直線運動.

例1在水平地面上將小球以與地面成θ角的初速度v斜向上拋出，求該小球上升的最大高度和水平射程分別是多少？

解析該小球的運動可以分解為水平方向以vx=vcosθ的勻速直線運動

豎直方向以vy0=vsinθ為初速度的豎直上拋運動

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

運行時間t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具體問題中根據題意的需要也可將拋物運動分解成豎直平面內相互垂直的任意兩個方向，加速度g、速度v等矢量均沿著兩個方向正交分解.

例2如圖2所示，在傾角為θ的斜面頂端A處，以水平速度v0拋出一小球，落在斜面上B處，求①小球在運動過程中離斜面的最大距離.②A、B兩點間的距離為多大？

解析題中所待求的最大距離是垂直于斜面方向的最大高度，應當分解為垂直于斜面和沿斜面兩個方向的分運動，由分運動的獨立性可知應當講初速度v0和加速度g分別沿這兩個方向分解，如圖2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos為初速度，以ax=gsinθ為加速度的勻加速直線運動；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ為初速度，以ay=-gcosθ為加速度的勻變速直線運動.

當運行時間t=vy0ax=vsinθgcosθ時小球垂直于斜面方向的速度減小為零，有離斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升過程和下落過程的對稱性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作拋物運動的物體的共同特點是加速度相同，其加速度恒為豎直向下的重力加速度.因此，當研究多個拋體的運動規律時，以自由下落的物體為參照物，則各物體的運動均為勻速直線運動，這種選擇參照物的方法，能大大簡化各物體運動學量之間的聯系，使許多看似復雜的問題簡單、直觀.

例3如圖4所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度拋出A、B兩個質點，問1s后A、B相距多遠？

解析這道題可以取一個初速度為零，加速度為g的參考系.在這個參考系中，A、B二個質點都做勻速直線運動，而且方向互相垂直，它們之間的距離

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空間某一點O，向三維空間的各個方向以相同的速度v0射出很多個小球，球t秒之后這些小球中離得最遠的二個小球之間的距離是多少（假設t秒之內所有小球都未與其它物體碰撞）？這道題初看是一個比較復雜的問題，要考慮向各個方向射出的小球的情況.但如果我們取一個在小球射出的同時開始自O點自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O點為球心的球面上，球的半徑是v0t，那么離得最遠的兩個小球之間的距離自然就是球的直徑2v0t.

例4如圖5，彈性小球自高出斜面A點h處自由下落，與斜面發生彈性碰撞后又彈起，已知斜面的傾角為θ，問第二次下落點到第一次下落點的距離AB為多大？

解析小球從高出A點h處自由下落，到A點的速度為vA=2gh，由彈性碰撞規律可知，小球將以原速率反彈，方向如圖6所示.

小球從A點反彈后的拋體運動可以看成沿反彈速度方向的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動的合成，由圖6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN為等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

結語解析拋物運動問題時，應對研究問題進行分析，選擇最合適的分解方法求解，實踐證明，掌握了上述幾種方法，會對解拋物運動問題有很大的幫助.endprint