類比推理在高中數學教學實踐中的應用研究

幸垂燕

一、類比推理的概念及現實意義

類比推理是一種認知活動，它能夠根據兩個或兩類對象之間的相似屬性進行推理和判斷，是人類認知的核心.它能夠幫助人們形成新的概念，將已學過的知識和概念遷移到新的情境中，形成適合當下情景需要的理論概念、問題和解決問題的方式.在數學知識的學習中主要是依賴歸納和類比推理來得出結論、證明思路.目前我國很多高中生在歸納和類比推理能力方面還很欠缺，不能很好地根據前提條件預測結果，也不能很好地根據結果推出原因.在新一輪數學課改中，合情推理第一次作為專題內容——“推理與證明”進入高中新課程教材中（選修系列1-2和選修系列2-2）.對學生進行類比推理能力的培養，有助于提高學生創新能力的發展，適應當下國家發展對創新性人才的需求.因此，將推理能力融入到高中數學教學過程中就具有了十分重要的現實意義.

二、類比推理在高中數學教學中的具體應用

（一）數學概念形成過程中的應用

數學概念是數學知識體系的基礎，是理論性的數學知識，需要學生理解并記憶.雖然數學概念并不是數學知識的全部，在教材中的分布也比較分散，但是它們之間也存在一定的相似性和內在聯系.因此，教師應該積極地引入類比推理，在教學過程中，幫助學生掌握和區分不同概念，形成完整的數學理論知識體系.比如在二面角概念的教學中教師就可以引入角的概念類比推理出二面角的概念，如表1.

在高中數學等比數列相關知識的教學時，教師可以先帶領學生復習等差數列的相關知識，然后將“差”和“比”的概念進行對比，幫助學生了解兩者之間的區別，再鼓勵學生將等差數列替換為等比數列，鼓勵學生根據自己的理解給出等比數列的概念.在充分了解學生對等比數列的理解以后，再根據學生理解的不足和疑問，進行分析，給出科學的等比數列的概念，然后給學生足夠的時間去思考這兩類數列的聯系與區別，明白“差”與“比”概念的區別，從而掌握等比數列的相關知識.在這個舊知識-類比-新知識的過程中，建立起學生類比推理的思維，實現類比推理能力的提高.

（二） 知識整合中的應用

數學知識中有很多概念系統，即一類概念中存在多個子概念，它們之間既相互聯系又相互區別，這時教師就可以教運用類比推理來進行知識的歸納整合.比如在學習向量知識的時，教師就可以從共線向量、共面向量和空間向量這三個知識點入手，采用循序漸進的教學方法，先介紹共線向量的相關知識；再運用類比推理，幫助學生學習和掌握平面向量；最后再推及空間向量，在這個過程中尤其要注意三種向量之間的區別.在完成這樣的類比過程之后，教師還要幫助學生進行共線向量、平面向量、空間向量三者之間的對比歸納異同和聯系，整合大腦中有關向量的所有知識，形成一個較完整的向量知識體系.另外，在更大范圍和更高層面的數學知識整合過程中，類比推理也能起到非常重要的作用，提高知識整合的效率.比如，在高中幾何有關扇形面積公式學習之后，要注意總結多種空間幾何體面積計算相關知識的復習和總結，比如圓柱、棱錐的表面積就是各個面的面積之和，圓柱就需要知道上下兩個面的面積公式（S=πr2，r為圓的半徑）以及圓周的面積計算公式（圓周面積為S=L·h，圓周長L=2πR，h為圓柱體高），圓柱面積就是兩者之和.同上，棱錐就要知道底面積和周圍各個面的面積.采用類比教學的方法帶領學生復習棱柱、圓柱、圓錐、圓臺、球體的表面積，將它們的計算公式進行歸納總結，加深學生的理解和聯想記憶，用類比的方式強化對知識的整合.

（三） 提出問題中的應用

高中數學新課標要求學生不僅要掌握知識還要善于思考，在思考中發現自己所掌握的知識中存在的聯系、問題和疑惑，這樣學生就能向老師提出問題，幫助加深對知識的理解和內化程度.比如在集合概念的學習中，將子集和空集的概念都交給學生以后，讓學生去思考集合、子集、空集三者之間的關系，然后組織學生進行討論，有學生就會思考空集是不是集合的子集呢？當學生提出這樣的問題的時候，教師就可以教學生運用類比推理解決疑惑了.同時，向學生提出有關生活中的集合概念，讓學生進行思考解答，比如以學校為例，采用年級、班級、學生性別進行分類，分別找出這幾個集合中的相關子集，這樣才能夠加深對知識點的區分和理解，幫助形成課堂與生活實際有機結合的完整知識體系.

（四）解決問題中的應用

在數學解題中教師通常會讓學生總結題型和解題方法，以達到舉一反三的目的，這就是類比推理在數學問題解決中的運用.類比推理不僅是概念到概念間的推理，也是解題思路和解題方法間的推理.比如在幾何學習中，教師可以將對平面數學問題的解題思路展示給學生，并逐步將解題思路引入到空間問題的解決中，并在這個過程中不斷地進行類比，幫助學生理解和形成空間問題解決的思路和方法.鼓勵學生運用類比推理來解決高中數學問題，不僅可以突出問題的本質，幫助學生找到解決問題的方法和途徑，還可以培養學生的發散思維和創造能力.

比如在學習圓錐體的體積時，教師在分析了圓柱體和圓錐體的關系后，再帶領學生復習圓柱體體積運算公式：圓柱體體積=底面積×高（即V=S·h，S：圓柱體底面積；h：圓柱體高），由此引導學生分析得出圓錐體體積公式：V=1/3S·h，S：圓椎體底面積，h：圓錐體高.最后給出一個圓錐體的模型，要求學生根據已知數據求解該圓錐體的體積，并鼓勵學生在現實生活中尋找圓錐體的事物，通過實際的測量圓的半徑和圓錐體的高，運用所學公式進行體積計算，這樣將學生的課堂學習與實際生活充分聯系起來，提高學生解決實際問題的能力，增強數學學習的興趣.

一、類比推理的概念及現實意義

類比推理是一種認知活動，它能夠根據兩個或兩類對象之間的相似屬性進行推理和判斷，是人類認知的核心.它能夠幫助人們形成新的概念，將已學過的知識和概念遷移到新的情境中，形成適合當下情景需要的理論概念、問題和解決問題的方式.在數學知識的學習中主要是依賴歸納和類比推理來得出結論、證明思路.目前我國很多高中生在歸納和類比推理能力方面還很欠缺，不能很好地根據前提條件預測結果，也不能很好地根據結果推出原因.在新一輪數學課改中，合情推理第一次作為專題內容——“推理與證明”進入高中新課程教材中（選修系列1-2和選修系列2-2）.對學生進行類比推理能力的培養，有助于提高學生創新能力的發展，適應當下國家發展對創新性人才的需求.因此，將推理能力融入到高中數學教學過程中就具有了十分重要的現實意義.

二、類比推理在高中數學教學中的具體應用

（一）數學概念形成過程中的應用

數學概念是數學知識體系的基礎，是理論性的數學知識，需要學生理解并記憶.雖然數學概念并不是數學知識的全部，在教材中的分布也比較分散，但是它們之間也存在一定的相似性和內在聯系.因此，教師應該積極地引入類比推理，在教學過程中，幫助學生掌握和區分不同概念，形成完整的數學理論知識體系.比如在二面角概念的教學中教師就可以引入角的概念類比推理出二面角的概念，如表1.

在高中數學等比數列相關知識的教學時，教師可以先帶領學生復習等差數列的相關知識，然后將“差”和“比”的概念進行對比，幫助學生了解兩者之間的區別，再鼓勵學生將等差數列替換為等比數列，鼓勵學生根據自己的理解給出等比數列的概念.在充分了解學生對等比數列的理解以后，再根據學生理解的不足和疑問，進行分析，給出科學的等比數列的概念，然后給學生足夠的時間去思考這兩類數列的聯系與區別，明白“差”與“比”概念的區別，從而掌握等比數列的相關知識.在這個舊知識-類比-新知識的過程中，建立起學生類比推理的思維，實現類比推理能力的提高.

（二） 知識整合中的應用

數學知識中有很多概念系統，即一類概念中存在多個子概念，它們之間既相互聯系又相互區別，這時教師就可以教運用類比推理來進行知識的歸納整合.比如在學習向量知識的時，教師就可以從共線向量、共面向量和空間向量這三個知識點入手，采用循序漸進的教學方法，先介紹共線向量的相關知識；再運用類比推理，幫助學生學習和掌握平面向量；最后再推及空間向量，在這個過程中尤其要注意三種向量之間的區別.在完成這樣的類比過程之后，教師還要幫助學生進行共線向量、平面向量、空間向量三者之間的對比歸納異同和聯系，整合大腦中有關向量的所有知識，形成一個較完整的向量知識體系.另外，在更大范圍和更高層面的數學知識整合過程中，類比推理也能起到非常重要的作用，提高知識整合的效率.比如，在高中幾何有關扇形面積公式學習之后，要注意總結多種空間幾何體面積計算相關知識的復習和總結，比如圓柱、棱錐的表面積就是各個面的面積之和，圓柱就需要知道上下兩個面的面積公式（S=πr2，r為圓的半徑）以及圓周的面積計算公式（圓周面積為S=L·h，圓周長L=2πR，h為圓柱體高），圓柱面積就是兩者之和.同上，棱錐就要知道底面積和周圍各個面的面積.采用類比教學的方法帶領學生復習棱柱、圓柱、圓錐、圓臺、球體的表面積，將它們的計算公式進行歸納總結，加深學生的理解和聯想記憶，用類比的方式強化對知識的整合.

（三） 提出問題中的應用

高中數學新課標要求學生不僅要掌握知識還要善于思考，在思考中發現自己所掌握的知識中存在的聯系、問題和疑惑，這樣學生就能向老師提出問題，幫助加深對知識的理解和內化程度.比如在集合概念的學習中，將子集和空集的概念都交給學生以后，讓學生去思考集合、子集、空集三者之間的關系，然后組織學生進行討論，有學生就會思考空集是不是集合的子集呢？當學生提出這樣的問題的時候，教師就可以教學生運用類比推理解決疑惑了.同時，向學生提出有關生活中的集合概念，讓學生進行思考解答，比如以學校為例，采用年級、班級、學生性別進行分類，分別找出這幾個集合中的相關子集，這樣才能夠加深對知識點的區分和理解，幫助形成課堂與生活實際有機結合的完整知識體系.

（四）解決問題中的應用

在數學解題中教師通常會讓學生總結題型和解題方法，以達到舉一反三的目的，這就是類比推理在數學問題解決中的運用.類比推理不僅是概念到概念間的推理，也是解題思路和解題方法間的推理.比如在幾何學習中，教師可以將對平面數學問題的解題思路展示給學生，并逐步將解題思路引入到空間問題的解決中，并在這個過程中不斷地進行類比，幫助學生理解和形成空間問題解決的思路和方法.鼓勵學生運用類比推理來解決高中數學問題，不僅可以突出問題的本質，幫助學生找到解決問題的方法和途徑，還可以培養學生的發散思維和創造能力.

比如在學習圓錐體的體積時，教師在分析了圓柱體和圓錐體的關系后，再帶領學生復習圓柱體體積運算公式：圓柱體體積=底面積×高（即V=S·h，S：圓柱體底面積；h：圓柱體高），由此引導學生分析得出圓錐體體積公式：V=1/3S·h，S：圓椎體底面積，h：圓錐體高.最后給出一個圓錐體的模型，要求學生根據已知數據求解該圓錐體的體積，并鼓勵學生在現實生活中尋找圓錐體的事物，通過實際的測量圓的半徑和圓錐體的高，運用所學公式進行體積計算，這樣將學生的課堂學習與實際生活充分聯系起來，提高學生解決實際問題的能力，增強數學學習的興趣.

一、類比推理的概念及現實意義

類比推理是一種認知活動，它能夠根據兩個或兩類對象之間的相似屬性進行推理和判斷，是人類認知的核心.它能夠幫助人們形成新的概念，將已學過的知識和概念遷移到新的情境中，形成適合當下情景需要的理論概念、問題和解決問題的方式.在數學知識的學習中主要是依賴歸納和類比推理來得出結論、證明思路.目前我國很多高中生在歸納和類比推理能力方面還很欠缺，不能很好地根據前提條件預測結果，也不能很好地根據結果推出原因.在新一輪數學課改中，合情推理第一次作為專題內容——“推理與證明”進入高中新課程教材中（選修系列1-2和選修系列2-2）.對學生進行類比推理能力的培養，有助于提高學生創新能力的發展，適應當下國家發展對創新性人才的需求.因此，將推理能力融入到高中數學教學過程中就具有了十分重要的現實意義.

二、類比推理在高中數學教學中的具體應用

（一）數學概念形成過程中的應用

數學概念是數學知識體系的基礎，是理論性的數學知識，需要學生理解并記憶.雖然數學概念并不是數學知識的全部，在教材中的分布也比較分散，但是它們之間也存在一定的相似性和內在聯系.因此，教師應該積極地引入類比推理，在教學過程中，幫助學生掌握和區分不同概念，形成完整的數學理論知識體系.比如在二面角概念的教學中教師就可以引入角的概念類比推理出二面角的概念，如表1.

在高中數學等比數列相關知識的教學時，教師可以先帶領學生復習等差數列的相關知識，然后將“差”和“比”的概念進行對比，幫助學生了解兩者之間的區別，再鼓勵學生將等差數列替換為等比數列，鼓勵學生根據自己的理解給出等比數列的概念.在充分了解學生對等比數列的理解以后，再根據學生理解的不足和疑問，進行分析，給出科學的等比數列的概念，然后給學生足夠的時間去思考這兩類數列的聯系與區別，明白“差”與“比”概念的區別，從而掌握等比數列的相關知識.在這個舊知識-類比-新知識的過程中，建立起學生類比推理的思維，實現類比推理能力的提高.

（二） 知識整合中的應用

數學知識中有很多概念系統，即一類概念中存在多個子概念，它們之間既相互聯系又相互區別，這時教師就可以教運用類比推理來進行知識的歸納整合.比如在學習向量知識的時，教師就可以從共線向量、共面向量和空間向量這三個知識點入手，采用循序漸進的教學方法，先介紹共線向量的相關知識；再運用類比推理，幫助學生學習和掌握平面向量；最后再推及空間向量，在這個過程中尤其要注意三種向量之間的區別.在完成這樣的類比過程之后，教師還要幫助學生進行共線向量、平面向量、空間向量三者之間的對比歸納異同和聯系，整合大腦中有關向量的所有知識，形成一個較完整的向量知識體系.另外，在更大范圍和更高層面的數學知識整合過程中，類比推理也能起到非常重要的作用，提高知識整合的效率.比如，在高中幾何有關扇形面積公式學習之后，要注意總結多種空間幾何體面積計算相關知識的復習和總結，比如圓柱、棱錐的表面積就是各個面的面積之和，圓柱就需要知道上下兩個面的面積公式（S=πr2，r為圓的半徑）以及圓周的面積計算公式（圓周面積為S=L·h，圓周長L=2πR，h為圓柱體高），圓柱面積就是兩者之和.同上，棱錐就要知道底面積和周圍各個面的面積.采用類比教學的方法帶領學生復習棱柱、圓柱、圓錐、圓臺、球體的表面積，將它們的計算公式進行歸納總結，加深學生的理解和聯想記憶，用類比的方式強化對知識的整合.

（三） 提出問題中的應用

高中數學新課標要求學生不僅要掌握知識還要善于思考，在思考中發現自己所掌握的知識中存在的聯系、問題和疑惑，這樣學生就能向老師提出問題，幫助加深對知識的理解和內化程度.比如在集合概念的學習中，將子集和空集的概念都交給學生以后，讓學生去思考集合、子集、空集三者之間的關系，然后組織學生進行討論，有學生就會思考空集是不是集合的子集呢？當學生提出這樣的問題的時候，教師就可以教學生運用類比推理解決疑惑了.同時，向學生提出有關生活中的集合概念，讓學生進行思考解答，比如以學校為例，采用年級、班級、學生性別進行分類，分別找出這幾個集合中的相關子集，這樣才能夠加深對知識點的區分和理解，幫助形成課堂與生活實際有機結合的完整知識體系.

（四）解決問題中的應用

在數學解題中教師通常會讓學生總結題型和解題方法，以達到舉一反三的目的，這就是類比推理在數學問題解決中的運用.類比推理不僅是概念到概念間的推理，也是解題思路和解題方法間的推理.比如在幾何學習中，教師可以將對平面數學問題的解題思路展示給學生，并逐步將解題思路引入到空間問題的解決中，并在這個過程中不斷地進行類比，幫助學生理解和形成空間問題解決的思路和方法.鼓勵學生運用類比推理來解決高中數學問題，不僅可以突出問題的本質，幫助學生找到解決問題的方法和途徑，還可以培養學生的發散思維和創造能力.

比如在學習圓錐體的體積時，教師在分析了圓柱體和圓錐體的關系后，再帶領學生復習圓柱體體積運算公式：圓柱體體積=底面積×高（即V=S·h，S：圓柱體底面積；h：圓柱體高），由此引導學生分析得出圓錐體體積公式：V=1/3S·h，S：圓椎體底面積，h：圓錐體高.最后給出一個圓錐體的模型，要求學生根據已知數據求解該圓錐體的體積，并鼓勵學生在現實生活中尋找圓錐體的事物，通過實際的測量圓的半徑和圓錐體的高，運用所學公式進行體積計算，這樣將學生的課堂學習與實際生活充分聯系起來，提高學生解決實際問題的能力，增強數學學習的興趣.