點擊帶電粒子在交變電場中的運動

陳強燕

帶電粒子在交變電場中的運動由于不同時間段受力情況的不同，往往使得運動情況比較復雜，題目的難度較大.這類題目主要考查對牛頓第二定律和運動學規律的應用，以及對公式、規律的理解能力、推理能力、分析綜合能力和應用數學解決物理問題的能力.本文選取1994年，2002年2個典型問題進行賞析，一方面試圖對此類問題的解法進行探討，另一方面直面高考命題的變化與延續，以期給讀者提供一些參考.

1.借助v-t圖像分析周期性運動的特征

v-t像是研究帶電粒子在交變電場中運動的比較常用的方法，通過v-t圖像能夠將復雜的運動過程通過時間軸同時展現出來，有助于對復雜運動過程的分析和理解.

例1 （1994年全國高考）如圖1所示，A、B是一對平行的金屬板，在兩板間加上一周期為T的交變電壓u.A板的電勢φA=0，B板的電勢φB隨時間的變化規律為：在0到T2的時間內，φB=φ0（正的常數）；在T2到T的時間內，φB=-φ0；在T到3T2的時間內φB=φ0；在3T2到2T的時間內，φB=-φ0……現有一電子從A板上的小孔進入兩板間的電場區內，設電子的初速度和重力對它的影響均可忽略，則（ ）.

A.若電子是在t=0時刻進入的，它將一直向B板運動

B.若電子是在t=T8時刻進入的，它可能時而向B板運動，時而向A板運動，最后打在B板上

C.若電子是在t=3T8時刻進入的，它可能時而向B板運動，時而向A板運動，最后打在B板上

D.若電子是在t=T2時刻進入的，它可能時而向B板，時而向A板運動

解析依據題意，A、B板間電場在0～T2，T～3T2，……時間內場強方向豎直向下；在T2～T，3T2～2T，……時間內場強方向豎直向上.

若電子無初速進入電場區，由于進入的時刻不同，將做不同種類的運動.為了認清運動過程，可借助電子的v-t圖像直觀地表示出來.由時刻對應關系，作出電子的v-t圖像如圖2所示.由圖像的特征可知，在0～T2，T～3T2，……時間內加速度豎直向上；在T2～T，3T2～2T，……時間內加速度豎直向下，且不論何時進入，加速度的大小均相同，所以速度圖線是平行的直線.

若電子在t=0時刻進入板間，則在0～T2時間內，將向B板加速運動，到T2時刻，電子已獲得一定的豎直向上的速度，在T2～T時間內（電子也可能在此前或此間到達B板），電子做勻減速運動.根據運動的對稱性，到T時刻，粒子速度減為零，此后重復上述運動，直到到達B板時止.故A對.

若電子在T8時刻進入，則電子在T8～T2時間內向B板加速運動，在T2～7T8時間內向B板減速運動，到7T8時刻速度為零；在7T8～T時間內反向向A板加速運動，在T～9T8時間內向A板減速運動，在9T8時刻速度為零；在9T8～3T2時間內又向B板運動.從v-t圖像可以判斷，正的位移比負的位移大，最終電子將到達B板.故B正確.類似的分析可以判斷C、D錯誤.

2.關注過程分析挖掘周期性運動的規律

此類問題通常需要分析開始幾個周期內的運動情況，找出粒子運動過程中所滿足的共同規律和特點，從而歸納出N個周期以后的運動情況.

例2 （2002年廣東高考）如圖3所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）.在兩板之間有一帶負電的質點P.已知若在A、B間加電壓U0，則質點P可以靜止平衡.

現在A、B 間加上如圖4所示的隨時間t變化的電壓U，在t=0時質點P位于A、B間的中點處且初速為0.已知質點P能在A、B之間以最大的幅度上下運動而不與兩板相碰，求圖4中U改變的各時刻t1、t2、t3及tn的表達式.（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次.）

解析設質點P的質量為m，電量大小為q.當A、B間的電壓為U0時， qU0d=mg；當兩板間的電壓為2U0時，q2U0d-mg=ma ，可知P的加速度向上，其大小為a=g.

當兩板間的電壓為0時，P在重力作用下自由下落，加速度為g，方向向下.

在t=0時，兩板間的電壓為2U0，P自A、B間的中點向上做初速為0的勻加速運動，加速度為g.經過時間τ1，P的速度變為v1，此時使電壓變為0，P在重力作用下向上作勻減速運動，再經過τ1，P正好達到A板且速度變為0.依據運動學公式v1=gτ1；0=v1-gτ1′；12d=12gτ21+v1τ1′-12gτ′21可得τ1=τ1′=22dg.根據題意可知 t1=τ1，所以t1=22dg.

在重力作用下，P由A板處向下做勻加速運動，經過時間τ2，P的速度變為v2，方向向下.此時加上電壓使P向下做勻減速運動，再經過τ2′，P正好達到B板且速度變為0.依據運動學公式v2=gτ2；0=v2-gτ2′；d=12gτ22+v2τ2′-12 gτ′22，

可得τ2=τ2′=dg.

根據題意可知t2=t1+τ1′+τ2，所以t2=（2+1）dg.

在電場力和重力作用下，P又由B板向上作勻加速運動，經過時間τ3，速度變為v3，此時使電壓變為0，讓P在重力作用下向上作勻減速運動，經過τ3，P正好達到A板且速度變為0.

由運動學公式v3=τ3，0=v3-gτ3，d=12gτ23+v3τ3′-12gτ′23，可得τ3′=τ3=dg.

根據題意可知t3=t2+τ2′+τ3，所以t3=（2+3）dg.

根據上面的分析，粒子重復剛才的運動，因重力作用，P由A板向下做勻加速運動，經過τ2′，再加上電壓P向下做勻減速運動，經過τ2，P到達B且速度為0，所以t4=t3+τ3′+τ2，即t4=（2+5）dg.

同樣分析可歸納得tn=（2+2n-3）dg（n≥2）.

通過上述兩個問題的探討，可以清楚地感受到高考命題的一脈相承、推陳出新，變化與延續是高考命題永恒不變的脈絡.從延續的角度看，兩個問題都以勻變速直線運動規律和牛頓第二定律為基點，著重對學生的推理能力、分析綜合能力和應用數學解決物理問題的能力的考查，充分體現動力學問題在高中物理的基礎地位.從變化的角度看，近幾年來高考命題更強調理論與實踐的聯系，在分析和推理能力的基礎上進一步加大了數學方法處理物理問題能力的考查.平時的學習中如能加強這幾個方面的訓練，必將在高考中輕松應對，且事半功倍.

帶電粒子在交變電場中的運動由于不同時間段受力情況的不同，往往使得運動情況比較復雜，題目的難度較大.這類題目主要考查對牛頓第二定律和運動學規律的應用，以及對公式、規律的理解能力、推理能力、分析綜合能力和應用數學解決物理問題的能力.本文選取1994年，2002年2個典型問題進行賞析，一方面試圖對此類問題的解法進行探討，另一方面直面高考命題的變化與延續，以期給讀者提供一些參考.

1.借助v-t圖像分析周期性運動的特征

v-t像是研究帶電粒子在交變電場中運動的比較常用的方法，通過v-t圖像能夠將復雜的運動過程通過時間軸同時展現出來，有助于對復雜運動過程的分析和理解.

例1 （1994年全國高考）如圖1所示，A、B是一對平行的金屬板，在兩板間加上一周期為T的交變電壓u.A板的電勢φA=0，B板的電勢φB隨時間的變化規律為：在0到T2的時間內，φB=φ0（正的常數）；在T2到T的時間內，φB=-φ0；在T到3T2的時間內φB=φ0；在3T2到2T的時間內，φB=-φ0……現有一電子從A板上的小孔進入兩板間的電場區內，設電子的初速度和重力對它的影響均可忽略，則（ ）.

A.若電子是在t=0時刻進入的，它將一直向B板運動

B.若電子是在t=T8時刻進入的，它可能時而向B板運動，時而向A板運動，最后打在B板上

C.若電子是在t=3T8時刻進入的，它可能時而向B板運動，時而向A板運動，最后打在B板上

D.若電子是在t=T2時刻進入的，它可能時而向B板，時而向A板運動

解析依據題意，A、B板間電場在0～T2，T～3T2，……時間內場強方向豎直向下；在T2～T，3T2～2T，……時間內場強方向豎直向上.

若電子無初速進入電場區，由于進入的時刻不同，將做不同種類的運動.為了認清運動過程，可借助電子的v-t圖像直觀地表示出來.由時刻對應關系，作出電子的v-t圖像如圖2所示.由圖像的特征可知，在0～T2，T～3T2，……時間內加速度豎直向上；在T2～T，3T2～2T，……時間內加速度豎直向下，且不論何時進入，加速度的大小均相同，所以速度圖線是平行的直線.

若電子在t=0時刻進入板間，則在0～T2時間內，將向B板加速運動，到T2時刻，電子已獲得一定的豎直向上的速度，在T2～T時間內（電子也可能在此前或此間到達B板），電子做勻減速運動.根據運動的對稱性，到T時刻，粒子速度減為零，此后重復上述運動，直到到達B板時止.故A對.

若電子在T8時刻進入，則電子在T8～T2時間內向B板加速運動，在T2～7T8時間內向B板減速運動，到7T8時刻速度為零；在7T8～T時間內反向向A板加速運動，在T～9T8時間內向A板減速運動，在9T8時刻速度為零；在9T8～3T2時間內又向B板運動.從v-t圖像可以判斷，正的位移比負的位移大，最終電子將到達B板.故B正確.類似的分析可以判斷C、D錯誤.

2.關注過程分析挖掘周期性運動的規律

此類問題通常需要分析開始幾個周期內的運動情況，找出粒子運動過程中所滿足的共同規律和特點，從而歸納出N個周期以后的運動情況.

例2 （2002年廣東高考）如圖3所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）.在兩板之間有一帶負電的質點P.已知若在A、B間加電壓U0，則質點P可以靜止平衡.

現在A、B 間加上如圖4所示的隨時間t變化的電壓U，在t=0時質點P位于A、B間的中點處且初速為0.已知質點P能在A、B之間以最大的幅度上下運動而不與兩板相碰，求圖4中U改變的各時刻t1、t2、t3及tn的表達式.（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次.）

解析設質點P的質量為m，電量大小為q.當A、B間的電壓為U0時， qU0d=mg；當兩板間的電壓為2U0時，q2U0d-mg=ma ，可知P的加速度向上，其大小為a=g.

當兩板間的電壓為0時，P在重力作用下自由下落，加速度為g，方向向下.

在t=0時，兩板間的電壓為2U0，P自A、B間的中點向上做初速為0的勻加速運動，加速度為g.經過時間τ1，P的速度變為v1，此時使電壓變為0，P在重力作用下向上作勻減速運動，再經過τ1，P正好達到A板且速度變為0.依據運動學公式v1=gτ1；0=v1-gτ1′；12d=12gτ21+v1τ1′-12gτ′21可得τ1=τ1′=22dg.根據題意可知 t1=τ1，所以t1=22dg.

在重力作用下，P由A板處向下做勻加速運動，經過時間τ2，P的速度變為v2，方向向下.此時加上電壓使P向下做勻減速運動，再經過τ2′，P正好達到B板且速度變為0.依據運動學公式v2=gτ2；0=v2-gτ2′；d=12gτ22+v2τ2′-12 gτ′22，

可得τ2=τ2′=dg.

根據題意可知t2=t1+τ1′+τ2，所以t2=（2+1）dg.

在電場力和重力作用下，P又由B板向上作勻加速運動，經過時間τ3，速度變為v3，此時使電壓變為0，讓P在重力作用下向上作勻減速運動，經過τ3，P正好達到A板且速度變為0.

由運動學公式v3=τ3，0=v3-gτ3，d=12gτ23+v3τ3′-12gτ′23，可得τ3′=τ3=dg.

根據題意可知t3=t2+τ2′+τ3，所以t3=（2+3）dg.

根據上面的分析，粒子重復剛才的運動，因重力作用，P由A板向下做勻加速運動，經過τ2′，再加上電壓P向下做勻減速運動，經過τ2，P到達B且速度為0，所以t4=t3+τ3′+τ2，即t4=（2+5）dg.

同樣分析可歸納得tn=（2+2n-3）dg（n≥2）.

通過上述兩個問題的探討，可以清楚地感受到高考命題的一脈相承、推陳出新，變化與延續是高考命題永恒不變的脈絡.從延續的角度看，兩個問題都以勻變速直線運動規律和牛頓第二定律為基點，著重對學生的推理能力、分析綜合能力和應用數學解決物理問題的能力的考查，充分體現動力學問題在高中物理的基礎地位.從變化的角度看，近幾年來高考命題更強調理論與實踐的聯系，在分析和推理能力的基礎上進一步加大了數學方法處理物理問題能力的考查.平時的學習中如能加強這幾個方面的訓練，必將在高考中輕松應對，且事半功倍.

帶電粒子在交變電場中的運動由于不同時間段受力情況的不同，往往使得運動情況比較復雜，題目的難度較大.這類題目主要考查對牛頓第二定律和運動學規律的應用，以及對公式、規律的理解能力、推理能力、分析綜合能力和應用數學解決物理問題的能力.本文選取1994年，2002年2個典型問題進行賞析，一方面試圖對此類問題的解法進行探討，另一方面直面高考命題的變化與延續，以期給讀者提供一些參考.

1.借助v-t圖像分析周期性運動的特征

v-t像是研究帶電粒子在交變電場中運動的比較常用的方法，通過v-t圖像能夠將復雜的運動過程通過時間軸同時展現出來，有助于對復雜運動過程的分析和理解.

例1 （1994年全國高考）如圖1所示，A、B是一對平行的金屬板，在兩板間加上一周期為T的交變電壓u.A板的電勢φA=0，B板的電勢φB隨時間的變化規律為：在0到T2的時間內，φB=φ0（正的常數）；在T2到T的時間內，φB=-φ0；在T到3T2的時間內φB=φ0；在3T2到2T的時間內，φB=-φ0……現有一電子從A板上的小孔進入兩板間的電場區內，設電子的初速度和重力對它的影響均可忽略，則（ ）.

A.若電子是在t=0時刻進入的，它將一直向B板運動

B.若電子是在t=T8時刻進入的，它可能時而向B板運動，時而向A板運動，最后打在B板上

C.若電子是在t=3T8時刻進入的，它可能時而向B板運動，時而向A板運動，最后打在B板上

D.若電子是在t=T2時刻進入的，它可能時而向B板，時而向A板運動

解析依據題意，A、B板間電場在0～T2，T～3T2，……時間內場強方向豎直向下；在T2～T，3T2～2T，……時間內場強方向豎直向上.

若電子無初速進入電場區，由于進入的時刻不同，將做不同種類的運動.為了認清運動過程，可借助電子的v-t圖像直觀地表示出來.由時刻對應關系，作出電子的v-t圖像如圖2所示.由圖像的特征可知，在0～T2，T～3T2，……時間內加速度豎直向上；在T2～T，3T2～2T，……時間內加速度豎直向下，且不論何時進入，加速度的大小均相同，所以速度圖線是平行的直線.

若電子在t=0時刻進入板間，則在0～T2時間內，將向B板加速運動，到T2時刻，電子已獲得一定的豎直向上的速度，在T2～T時間內（電子也可能在此前或此間到達B板），電子做勻減速運動.根據運動的對稱性，到T時刻，粒子速度減為零，此后重復上述運動，直到到達B板時止.故A對.

若電子在T8時刻進入，則電子在T8～T2時間內向B板加速運動，在T2～7T8時間內向B板減速運動，到7T8時刻速度為零；在7T8～T時間內反向向A板加速運動，在T～9T8時間內向A板減速運動，在9T8時刻速度為零；在9T8～3T2時間內又向B板運動.從v-t圖像可以判斷，正的位移比負的位移大，最終電子將到達B板.故B正確.類似的分析可以判斷C、D錯誤.

2.關注過程分析挖掘周期性運動的規律

此類問題通常需要分析開始幾個周期內的運動情況，找出粒子運動過程中所滿足的共同規律和特點，從而歸納出N個周期以后的運動情況.

例2 （2002年廣東高考）如圖3所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）.在兩板之間有一帶負電的質點P.已知若在A、B間加電壓U0，則質點P可以靜止平衡.

現在A、B 間加上如圖4所示的隨時間t變化的電壓U，在t=0時質點P位于A、B間的中點處且初速為0.已知質點P能在A、B之間以最大的幅度上下運動而不與兩板相碰，求圖4中U改變的各時刻t1、t2、t3及tn的表達式.（質點開始從中點上升到最高點，及以后每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次.）

解析設質點P的質量為m，電量大小為q.當A、B間的電壓為U0時， qU0d=mg；當兩板間的電壓為2U0時，q2U0d-mg=ma ，可知P的加速度向上，其大小為a=g.

當兩板間的電壓為0時，P在重力作用下自由下落，加速度為g，方向向下.

在t=0時，兩板間的電壓為2U0，P自A、B間的中點向上做初速為0的勻加速運動，加速度為g.經過時間τ1，P的速度變為v1，此時使電壓變為0，P在重力作用下向上作勻減速運動，再經過τ1，P正好達到A板且速度變為0.依據運動學公式v1=gτ1；0=v1-gτ1′；12d=12gτ21+v1τ1′-12gτ′21可得τ1=τ1′=22dg.根據題意可知 t1=τ1，所以t1=22dg.

在重力作用下，P由A板處向下做勻加速運動，經過時間τ2，P的速度變為v2，方向向下.此時加上電壓使P向下做勻減速運動，再經過τ2′，P正好達到B板且速度變為0.依據運動學公式v2=gτ2；0=v2-gτ2′；d=12gτ22+v2τ2′-12 gτ′22，

可得τ2=τ2′=dg.

根據題意可知t2=t1+τ1′+τ2，所以t2=（2+1）dg.

在電場力和重力作用下，P又由B板向上作勻加速運動，經過時間τ3，速度變為v3，此時使電壓變為0，讓P在重力作用下向上作勻減速運動，經過τ3，P正好達到A板且速度變為0.

由運動學公式v3=τ3，0=v3-gτ3，d=12gτ23+v3τ3′-12gτ′23，可得τ3′=τ3=dg.

根據題意可知t3=t2+τ2′+τ3，所以t3=（2+3）dg.

根據上面的分析，粒子重復剛才的運動，因重力作用，P由A板向下做勻加速運動，經過τ2′，再加上電壓P向下做勻減速運動，經過τ2，P到達B且速度為0，所以t4=t3+τ3′+τ2，即t4=（2+5）dg.

同樣分析可歸納得tn=（2+2n-3）dg（n≥2）.

通過上述兩個問題的探討，可以清楚地感受到高考命題的一脈相承、推陳出新，變化與延續是高考命題永恒不變的脈絡.從延續的角度看，兩個問題都以勻變速直線運動規律和牛頓第二定律為基點，著重對學生的推理能力、分析綜合能力和應用數學解決物理問題的能力的考查，充分體現動力學問題在高中物理的基礎地位.從變化的角度看，近幾年來高考命題更強調理論與實踐的聯系，在分析和推理能力的基礎上進一步加大了數學方法處理物理問題能力的考查.平時的學習中如能加強這幾個方面的訓練，必將在高考中輕松應對，且事半功倍.