三角函數圖像的應用

張久霞

摘 要：三角函數是高中數學中的一種很重要的常用函數，與其他常用函數一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調性以及奇偶性。而三角函數的一個特殊性質—— 周期性使得三角函數變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規律性和數學美感。

關鍵詞：三角函數 規律性 特殊性

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A 文章編號1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函數是高中數學中的一種很重要的常用函數，與其他常用函數一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調性以及奇偶性。而三角函數的一個特殊性質—— 周期性使得三角函數變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規律性和數學美感。以下是正弦函數圖象、余弦函數圖像、正切函數圖象的簡圖，讓我們先來欣賞一下如圖1～3。

而隨著新一輪教材改革的實施，高中數學教材三角函數這一章的教學重點已由以前的三角函數式的恒等變形轉變為三角函數的圖像與性質，而三角函數的作圖和圖像的平移、求值和最值、求周期與判斷函數的單調性是三角函數性質中的重點內容，因而在數學教學中我們更看重三角函數的圖像在解題中的應用。三角函數圖像主要由以下幾方面的應用。

1 比較三角函數值的大小

在三角函數一章中比較兩個或多個三角函數值的大小是一種常見題型，這種題往往采取界值法或把幾個三角函數值化同名，進而再轉化到同一段單調區間上，結合圖像的特征得出函數值的大小關系。實例分析：

例1. 已知：

，比較、、的大小。

解析：根據兩角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又結合圖像知正弦函數在區間上單調遞增，

又，

所以，即。

2 求三角函數在某個區間的值域、最值

用整體代換法，比如求sin（2x+6）在某個區間的值域，把2x+6看做一個整體t，再求sint的值域。實例分析如圖4。

例2：已知函數f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（1）求ω的值。

（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因為f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依題意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

當0≤x≤π16時，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在區間0，π16上的最小值為1.

3 求三角函數的表達式

題目一般給定圖象的一部分，由圖象中表達出的各種信息，得出解析式中的待求參數，進而可求出函數的解析式。

例3.已知函數f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分圖象如圖所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由圖象可知，此正切函數的半周期等于π-π=π=π，即周期為π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint

摘 要：三角函數是高中數學中的一種很重要的常用函數，與其他常用函數一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調性以及奇偶性。而三角函數的一個特殊性質—— 周期性使得三角函數變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規律性和數學美感。

關鍵詞：三角函數 規律性 特殊性

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A 文章編號1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函數是高中數學中的一種很重要的常用函數，與其他常用函數一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調性以及奇偶性。而三角函數的一個特殊性質—— 周期性使得三角函數變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規律性和數學美感。以下是正弦函數圖象、余弦函數圖像、正切函數圖象的簡圖，讓我們先來欣賞一下如圖1～3。

而隨著新一輪教材改革的實施，高中數學教材三角函數這一章的教學重點已由以前的三角函數式的恒等變形轉變為三角函數的圖像與性質，而三角函數的作圖和圖像的平移、求值和最值、求周期與判斷函數的單調性是三角函數性質中的重點內容，因而在數學教學中我們更看重三角函數的圖像在解題中的應用。三角函數圖像主要由以下幾方面的應用。

1 比較三角函數值的大小

在三角函數一章中比較兩個或多個三角函數值的大小是一種常見題型，這種題往往采取界值法或把幾個三角函數值化同名，進而再轉化到同一段單調區間上，結合圖像的特征得出函數值的大小關系。實例分析：

例1. 已知：

，比較、、的大小。

解析：根據兩角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又結合圖像知正弦函數在區間上單調遞增，

又，

所以，即。

2 求三角函數在某個區間的值域、最值

用整體代換法，比如求sin（2x+6）在某個區間的值域，把2x+6看做一個整體t，再求sint的值域。實例分析如圖4。

例2：已知函數f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（1）求ω的值。

（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因為f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依題意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

當0≤x≤π16時，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在區間0，π16上的最小值為1.

3 求三角函數的表達式

題目一般給定圖象的一部分，由圖象中表達出的各種信息，得出解析式中的待求參數，進而可求出函數的解析式。

例3.已知函數f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分圖象如圖所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由圖象可知，此正切函數的半周期等于π-π=π=π，即周期為π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint

摘 要：三角函數是高中數學中的一種很重要的常用函數，與其他常用函數一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調性以及奇偶性。而三角函數的一個特殊性質—— 周期性使得三角函數變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規律性和數學美感。

關鍵詞：三角函數 規律性 特殊性

中圖分類號：G633.64 文獻標識碼：A 文章編號1674-098X（2014）06（b）-0211-01

三角函數是高中數學中的一種很重要的常用函數，與其他常用函數一樣，我們要研究他的定義域、值域、單調性以及奇偶性。而三角函數的一個特殊性質—— 周期性使得三角函數變得與眾不同，尤其使其圖像具有了周而復始的規律性和數學美感。以下是正弦函數圖象、余弦函數圖像、正切函數圖象的簡圖，讓我們先來欣賞一下如圖1～3。

而隨著新一輪教材改革的實施，高中數學教材三角函數這一章的教學重點已由以前的三角函數式的恒等變形轉變為三角函數的圖像與性質，而三角函數的作圖和圖像的平移、求值和最值、求周期與判斷函數的單調性是三角函數性質中的重點內容，因而在數學教學中我們更看重三角函數的圖像在解題中的應用。三角函數圖像主要由以下幾方面的應用。

1 比較三角函數值的大小

在三角函數一章中比較兩個或多個三角函數值的大小是一種常見題型，這種題往往采取界值法或把幾個三角函數值化同名，進而再轉化到同一段單調區間上，結合圖像的特征得出函數值的大小關系。實例分析：

例1. 已知：

，比較、、的大小。

解析：根據兩角和的正弦公式，=

由二倍角公式，又結合圖像知正弦函數在區間上單調遞增，

又，

所以，即。

2 求三角函數在某個區間的值域、最值

用整體代換法，比如求sin（2x+6）在某個區間的值域，把2x+6看做一個整體t，再求sint的值域。實例分析如圖4。

例2：已知函數f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（1）求ω的值。

（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[0，π16]上的最小值。

解析： （1）因為f（x）=sin（π-ωx）cos ωx+cos2ωx，所以f（x）=sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2。

=12sin 2ωx+12cos 2ωx+12=22sinrc2ωx+π4+12。

由于ω>0，依題意得2π2ω=π，所以ω=1。

（2）由（1）知f（x）=22sinrc2x+π4+12，所以g（x）=f（2x）=22sinrc4x+π4+12.

當0≤x≤π16時，π4≤4x+π4≤π2，所以22≤sinrc4x+π4≤1.因此1≤g（x）≤1+22。

故g（x）在區間0，π16上的最小值為1.

3 求三角函數的表達式

題目一般給定圖象的一部分，由圖象中表達出的各種信息，得出解析式中的待求參數，進而可求出函數的解析式。

例3.已知函數f（x）=Atan（ωx+φ）（ω>0，|φ|<），y=f（x）的部分圖象如圖所示，求f（x）的解析式，并求f 。

【解析】由圖象可知，此正切函數的半周期等于π-π=π=π，即周期為π，∴ω=2。

由2×π+φ=kπ，k∈Z，|φ|<，知φ=。

由f（0）=1，知A=1。

因此f（x）=tan，故f=tan=tan=。endprint