特殊方程組的簡捷解法反思

梁澤宏

摘 要：該文針對中職學生的特點，在中職數學教學中講解用簡捷解法來解答數學題或針對特殊方程組找到簡捷解法去解答。由此推出解答此類方程組的性質，其他類似的方程組也可以很容易的解答出來，這樣就可以達到事半功倍的效果，也能很好的提高學生的興趣，從而讓他們熱愛數學、喜歡數學。

關鍵詞：中職數學 解題 簡捷解法 反思

中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（b）-0207-01

對學生來說，中職數學習題課的教學他們相對很感興趣，他們特別感興趣的是能用簡便方法去解決復雜的試題或方程組，這樣對提高他們熱愛數學、喜歡數學有很大的幫助。下面就通過幾個例子的解答來看特殊方程組是怎樣用簡便方法求解的。

在中職數學教學中類似于方程組，我們通常用消元法求解，即從第一個方程中得到，代入第二個方程中解得，.但這種解法學生們在初中就學過了，對他們沒有吸引力，怎樣才能調動他們的積極性呢？筆者下面介紹一種簡捷的解法，讓學生們學到解題要領，培養學生在學習的過程中多觀察、多思考的能力，讓他們掌握學習的對自己一生都有用的東西。

先讓學生們觀察一下這個方程組，讓學生們思考，然后讓學生們說出他們的想法。老師最后才道出秘密。從這個方程組中可以很容易的看出，將其中一個方程中的與互換就得到了另一個方程，這也就是說，這兩個方程中與所表示出來的函數關系是互為反函數.我們知道，互為反函數的兩個函數的圖象是關于直線對稱的，它們的交點必在直線上，而二元一次方程組的解就是這兩個方程所對應的兩條曲線交點的坐標，因此，有如下性質：

方程組 是同解方程組。

根據這個性質，對于上述那樣的方程組只需將其中一個方程用代入求解就可以了。例如開始那個方程組，將第一個方程（或第二個方程）中的 （或）用（或）代入就很容易解得。

上述方法用于適合條件的二元高次方程組或其它方程組，就顯得更加簡捷。下面舉幾個實例讓同學們看看：

第一個實例：

解：在方程組中（1）或（2）式時用代入，得，，，解得

所以，方程組的解是

第二個實例：

解：在方程組中（1）或（2）式時用代入，得，，即，所以方程組的解是：

第三個實例：

分析：要解這樣的二次根式題，對中職學校的學生肯定很難，但把此等式變通一下，就能夠迎刃而解了。

解：首先令， ，，移項整理得：

，于是，就可以把方程組化為：

。根據剛才我們前面得出的性質，就得出，

即得 ，即

因為無論如何（在實數范圍內都不可能等于零），所以當且僅當，即方程的解是。

通過以上三個實例的講解，同學們應該學會了模仿，多做類似習題就能舉一反三，今后遇到類似的方程組，就可以用此方法去求解了。

解題反思：上面第一個例題是二元二次方程組，如果用其他方法去解答是很復雜的，這對中職學校的學生來講是一件困難的事，如果掌握了簡捷解法，則是一件輕松的事，對提高他們的興趣，增強他們的信心都有很大的幫助。第二題則是對數的二元二次方程組，比第一題更加復雜，如果學生們沒有掌握簡捷解法，根據他們所掌握的數學知識，他們是做不出來的。第三個實例是一元二次根式方程的求解，同樣對中職學生有很大的難度。

對中職學生講解數學習題，不能按對待普通高中生那種方法去講解。因為中職學生的數學基礎薄弱，在他們的心里早已認定數學是比較難學的科目，他們沒有信心，因此，中職數學教師在教學時應該多鼓勵他們。上課時盡量鼓勵學生到講臺上解答數學題，以增強學生信心。比如有一年的高職單考數學題是一道填空題：28-9= ，我就讓學生上講臺來做，學生發現居然如此簡單，都爭著上來做。很多學生都感嘆說，我能搞定數學這科。有了自信，學生學習數學的熱情、興趣倍增。

另外還要重視學生的反思能力。在用簡捷解法解答數學習題時，要引導學生多觀察、多類比，從而提高學生的數學素質，培養學生的數學能力。使學生學會“反思”。做完一道題后，要再問幾個為什么，并從中獲得對下次解題有用的經驗和教訓。搞清楚“為什么”，才能在以后的解題中知道“做什么”和“如何做”。

一道數學題，經過一番艱辛與苦思冥想解出答案后，我們應認真進行如下探索：命題的意圖是什么；考核哪些方面的知識和能力；驗證解題結論是否合理，命題所提供條件的應用是否完備；求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善；本題有無其他解法；眾多解法哪一種最簡捷；把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到普遍性結論，解此題的思路方法是什么等。

反思的目的在于深化對知識的理解，促進知識結構的不斷分解組合，使思維有一個正確可靠的基礎。長期進行反思，還可培養學生對試題的鑒賞能力，對那些知識容量大，各知識間結構聯系巧妙的試題產生美感，引起興趣。

參考文獻

[1] 崔佃金.試論高中數學解題課的教學[M].山東人民出版社，2008.

[2] 李宗俊.求線性方程組全部解的一種簡捷方法[J].宜賓學院學報，1991（1）.

[3] 楊立新，徐幸美.線性方程組解的討論[J].中國科技信息，2006（14）.

[4] 何芳麗.淺談齊次線性方程組基礎解系的一種簡單求法[J].科技資訊，2009（31）.endprint

摘 要：該文針對中職學生的特點，在中職數學教學中講解用簡捷解法來解答數學題或針對特殊方程組找到簡捷解法去解答。由此推出解答此類方程組的性質，其他類似的方程組也可以很容易的解答出來，這樣就可以達到事半功倍的效果，也能很好的提高學生的興趣，從而讓他們熱愛數學、喜歡數學。

關鍵詞：中職數學 解題 簡捷解法 反思

中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（b）-0207-01

對學生來說，中職數學習題課的教學他們相對很感興趣，他們特別感興趣的是能用簡便方法去解決復雜的試題或方程組，這樣對提高他們熱愛數學、喜歡數學有很大的幫助。下面就通過幾個例子的解答來看特殊方程組是怎樣用簡便方法求解的。

在中職數學教學中類似于方程組，我們通常用消元法求解，即從第一個方程中得到，代入第二個方程中解得，.但這種解法學生們在初中就學過了，對他們沒有吸引力，怎樣才能調動他們的積極性呢？筆者下面介紹一種簡捷的解法，讓學生們學到解題要領，培養學生在學習的過程中多觀察、多思考的能力，讓他們掌握學習的對自己一生都有用的東西。

先讓學生們觀察一下這個方程組，讓學生們思考，然后讓學生們說出他們的想法。老師最后才道出秘密。從這個方程組中可以很容易的看出，將其中一個方程中的與互換就得到了另一個方程，這也就是說，這兩個方程中與所表示出來的函數關系是互為反函數.我們知道，互為反函數的兩個函數的圖象是關于直線對稱的，它們的交點必在直線上，而二元一次方程組的解就是這兩個方程所對應的兩條曲線交點的坐標，因此，有如下性質：

方程組 是同解方程組。

根據這個性質，對于上述那樣的方程組只需將其中一個方程用代入求解就可以了。例如開始那個方程組，將第一個方程（或第二個方程）中的 （或）用（或）代入就很容易解得。

上述方法用于適合條件的二元高次方程組或其它方程組，就顯得更加簡捷。下面舉幾個實例讓同學們看看：

第一個實例：

解：在方程組中（1）或（2）式時用代入，得，，，解得

所以，方程組的解是

第二個實例：

解：在方程組中（1）或（2）式時用代入，得，，即，所以方程組的解是：

第三個實例：

分析：要解這樣的二次根式題，對中職學校的學生肯定很難，但把此等式變通一下，就能夠迎刃而解了。

解：首先令， ，，移項整理得：

，于是，就可以把方程組化為：

。根據剛才我們前面得出的性質，就得出，

即得 ，即

因為無論如何（在實數范圍內都不可能等于零），所以當且僅當，即方程的解是。

通過以上三個實例的講解，同學們應該學會了模仿，多做類似習題就能舉一反三，今后遇到類似的方程組，就可以用此方法去求解了。

解題反思：上面第一個例題是二元二次方程組，如果用其他方法去解答是很復雜的，這對中職學校的學生來講是一件困難的事，如果掌握了簡捷解法，則是一件輕松的事，對提高他們的興趣，增強他們的信心都有很大的幫助。第二題則是對數的二元二次方程組，比第一題更加復雜，如果學生們沒有掌握簡捷解法，根據他們所掌握的數學知識，他們是做不出來的。第三個實例是一元二次根式方程的求解，同樣對中職學生有很大的難度。

對中職學生講解數學習題，不能按對待普通高中生那種方法去講解。因為中職學生的數學基礎薄弱，在他們的心里早已認定數學是比較難學的科目，他們沒有信心，因此，中職數學教師在教學時應該多鼓勵他們。上課時盡量鼓勵學生到講臺上解答數學題，以增強學生信心。比如有一年的高職單考數學題是一道填空題：28-9= ，我就讓學生上講臺來做，學生發現居然如此簡單，都爭著上來做。很多學生都感嘆說，我能搞定數學這科。有了自信，學生學習數學的熱情、興趣倍增。

另外還要重視學生的反思能力。在用簡捷解法解答數學習題時，要引導學生多觀察、多類比，從而提高學生的數學素質，培養學生的數學能力。使學生學會“反思”。做完一道題后，要再問幾個為什么，并從中獲得對下次解題有用的經驗和教訓。搞清楚“為什么”，才能在以后的解題中知道“做什么”和“如何做”。

一道數學題，經過一番艱辛與苦思冥想解出答案后，我們應認真進行如下探索：命題的意圖是什么；考核哪些方面的知識和能力；驗證解題結論是否合理，命題所提供條件的應用是否完備；求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善；本題有無其他解法；眾多解法哪一種最簡捷；把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到普遍性結論，解此題的思路方法是什么等。

反思的目的在于深化對知識的理解，促進知識結構的不斷分解組合，使思維有一個正確可靠的基礎。長期進行反思，還可培養學生對試題的鑒賞能力，對那些知識容量大，各知識間結構聯系巧妙的試題產生美感，引起興趣。

參考文獻

[1] 崔佃金.試論高中數學解題課的教學[M].山東人民出版社，2008.

[2] 李宗俊.求線性方程組全部解的一種簡捷方法[J].宜賓學院學報，1991（1）.

[3] 楊立新，徐幸美.線性方程組解的討論[J].中國科技信息，2006（14）.

[4] 何芳麗.淺談齊次線性方程組基礎解系的一種簡單求法[J].科技資訊，2009（31）.endprint

摘 要：該文針對中職學生的特點，在中職數學教學中講解用簡捷解法來解答數學題或針對特殊方程組找到簡捷解法去解答。由此推出解答此類方程組的性質，其他類似的方程組也可以很容易的解答出來，這樣就可以達到事半功倍的效果，也能很好的提高學生的興趣，從而讓他們熱愛數學、喜歡數學。

關鍵詞：中職數學 解題 簡捷解法 反思

中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）06（b）-0207-01

對學生來說，中職數學習題課的教學他們相對很感興趣，他們特別感興趣的是能用簡便方法去解決復雜的試題或方程組，這樣對提高他們熱愛數學、喜歡數學有很大的幫助。下面就通過幾個例子的解答來看特殊方程組是怎樣用簡便方法求解的。

在中職數學教學中類似于方程組，我們通常用消元法求解，即從第一個方程中得到，代入第二個方程中解得，.但這種解法學生們在初中就學過了，對他們沒有吸引力，怎樣才能調動他們的積極性呢？筆者下面介紹一種簡捷的解法，讓學生們學到解題要領，培養學生在學習的過程中多觀察、多思考的能力，讓他們掌握學習的對自己一生都有用的東西。

先讓學生們觀察一下這個方程組，讓學生們思考，然后讓學生們說出他們的想法。老師最后才道出秘密。從這個方程組中可以很容易的看出，將其中一個方程中的與互換就得到了另一個方程，這也就是說，這兩個方程中與所表示出來的函數關系是互為反函數.我們知道，互為反函數的兩個函數的圖象是關于直線對稱的，它們的交點必在直線上，而二元一次方程組的解就是這兩個方程所對應的兩條曲線交點的坐標，因此，有如下性質：

方程組 是同解方程組。

根據這個性質，對于上述那樣的方程組只需將其中一個方程用代入求解就可以了。例如開始那個方程組，將第一個方程（或第二個方程）中的 （或）用（或）代入就很容易解得。

上述方法用于適合條件的二元高次方程組或其它方程組，就顯得更加簡捷。下面舉幾個實例讓同學們看看：

第一個實例：

解：在方程組中（1）或（2）式時用代入，得，，，解得

所以，方程組的解是

第二個實例：

解：在方程組中（1）或（2）式時用代入，得，，即，所以方程組的解是：

第三個實例：

分析：要解這樣的二次根式題，對中職學校的學生肯定很難，但把此等式變通一下，就能夠迎刃而解了。

解：首先令， ，，移項整理得：

，于是，就可以把方程組化為：

。根據剛才我們前面得出的性質，就得出，

即得 ，即

因為無論如何（在實數范圍內都不可能等于零），所以當且僅當，即方程的解是。

通過以上三個實例的講解，同學們應該學會了模仿，多做類似習題就能舉一反三，今后遇到類似的方程組，就可以用此方法去求解了。

解題反思：上面第一個例題是二元二次方程組，如果用其他方法去解答是很復雜的，這對中職學校的學生來講是一件困難的事，如果掌握了簡捷解法，則是一件輕松的事，對提高他們的興趣，增強他們的信心都有很大的幫助。第二題則是對數的二元二次方程組，比第一題更加復雜，如果學生們沒有掌握簡捷解法，根據他們所掌握的數學知識，他們是做不出來的。第三個實例是一元二次根式方程的求解，同樣對中職學生有很大的難度。

對中職學生講解數學習題，不能按對待普通高中生那種方法去講解。因為中職學生的數學基礎薄弱，在他們的心里早已認定數學是比較難學的科目，他們沒有信心，因此，中職數學教師在教學時應該多鼓勵他們。上課時盡量鼓勵學生到講臺上解答數學題，以增強學生信心。比如有一年的高職單考數學題是一道填空題：28-9= ，我就讓學生上講臺來做，學生發現居然如此簡單，都爭著上來做。很多學生都感嘆說，我能搞定數學這科。有了自信，學生學習數學的熱情、興趣倍增。

另外還要重視學生的反思能力。在用簡捷解法解答數學習題時，要引導學生多觀察、多類比，從而提高學生的數學素質，培養學生的數學能力。使學生學會“反思”。做完一道題后，要再問幾個為什么，并從中獲得對下次解題有用的經驗和教訓。搞清楚“為什么”，才能在以后的解題中知道“做什么”和“如何做”。

一道數學題，經過一番艱辛與苦思冥想解出答案后，我們應認真進行如下探索：命題的意圖是什么；考核哪些方面的知識和能力；驗證解題結論是否合理，命題所提供條件的應用是否完備；求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善；本題有無其他解法；眾多解法哪一種最簡捷；把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到普遍性結論，解此題的思路方法是什么等。

反思的目的在于深化對知識的理解，促進知識結構的不斷分解組合，使思維有一個正確可靠的基礎。長期進行反思，還可培養學生對試題的鑒賞能力，對那些知識容量大，各知識間結構聯系巧妙的試題產生美感，引起興趣。

參考文獻

[1] 崔佃金.試論高中數學解題課的教學[M].山東人民出版社，2008.

[2] 李宗俊.求線性方程組全部解的一種簡捷方法[J].宜賓學院學報，1991（1）.

[3] 楊立新，徐幸美.線性方程組解的討論[J].中國科技信息，2006（14）.

[4] 何芳麗.淺談齊次線性方程組基礎解系的一種簡單求法[J].科技資訊，2009（31）.endprint