新課程下導數的應用

摘 要：導數是高中數學的重要知識，它緊密聯系高等數學與初等數學，是解決相關問題的重要工具。通過探討導數在新課程中的地位以及在中學數學解題中的應用，提高學生分析問題和解決問題的能力。在教學解題過程中，可以利用導數處理函數（解析式、值域、最（極）值、單調區間等）問題、切線問題、不等式問題、數列問題以及實際應用等問題.

關鍵詞：導數；新課程；應用

導數是高中數學的重要知識，它緊密聯系高等數學與初等數學，是解決相關問題的重要工具。本文探討的這一部分導數知識，在新課程中有重要的意義。研究導數在中學數學解題中的應用，目的在于提高學生的能力，培養高中學生的數學素養。

一、導數在高中數學新課程中的地位

在新課程下的高中數學教材中，導數有極其重要的地位，在學生進入高中階段學習函數時，一般難以理解函數的性質，函數的這些性質如果通過函數的圖像來反映，就一目了然，非常容易學習。高中數學的導數知識，提供了研究函數問題的方法。

（一）有利于學生更好地理解函數

在高中階段學習函數時，學習函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、有界性等。函數的性質可以通過函數的圖像表示出來，作出函數的圖像，函數的性質就容易掌握。

簡單的函數，一般可以采用描點法作出圖像。復雜的函數，可以利用函數的一階導數和函數的二階導數判定函數的凹凸區間、拐點，由此作出函數的圖像。

（二）有利于學生更好地掌握函數思想

一些中學數學上用一般方法不好處理的、難以解決的問題，可以考慮函數思想。如果用導數來解決這些問題，往往方法簡潔明了，步驟清楚，容易了解。

（三）有利于學生弄清曲線的切線問題

學生學習立體幾何時，往往認為曲線的切線，只能是與曲線有一個公共點的直線，等到高中接觸到導數的幾何意義后，就知道了函數f在點x0的導數f（x0）是曲線y=f（x）在點（x0，y0）處的切線斜率。

（四）有利于學生學好其他學科

新課程下的高中課程，大多與數學有內在聯系，導數與物理、化學、生物等高中學科都有著深刻的邏輯關系。導數f（x）在高中物理中，可以很好地解釋做變速直線運動物體的運動方程：s=st，根據公式可以方便地算出物體的瞬時速度：V（t）=■，可以計算瞬時加速度：A（t）=■；高中化學中的反應速度，酶的催化反應，以及冷卻速度等問題，也都可以通過微積分的方法來解決。

（五）有利于發展學生的思維能力

高中數學學習導數，學生接觸到從平均變化到瞬時變化，了解、領悟和運用這種思想，對學生的邏輯思維能力是一次提高。可以樹立由整體到局部的思想方法，逐步體會有限與無限、直與曲的對立與統一。

二、導數在解題中的應用

導數成為新教材高考試題的熱點。導數與傳統內容相結合，試題貼近生活。舉例說明導數的應用。

（一）利用導數解決函數問題

1.利用導數求函數的解析式

可以用解析式表示函數關系，也可以利用導數求函數的解析式。

2.利用導數求函數的值域

采用導數來求函數的值域，較為容易。

3.利用導數求函數的最（極）值

用導數解決函數的最（極）值，解題過程簡化，容易掌握。

一般的，函數f（x）在閉區間[a，b]上可導，則f（x）在[a，b]上的最值求法：

（1）求函數的極值點；

（2）計算在極值點和端點的函數值；

（3）比較在極值點和端點的函數值，最大的是最大值，最小的是最小值。

4.利用導數求函數的單調區間

函數的單調性，是研究函數時經常要用到的。利用導數的幾何意義，只需考慮正負即可，當滿足什么條件時，函數單調遞增；當滿足什么條件時，函數單調遞減。

（二）利用導數解決切線問題

1.求過某一點的切線方程

切線方程的幾何意義就是曲線在某點處切線的斜率，就是過某點的切線方程。

2.求兩曲線切線方程

（三）利用導數解決不等式問題

在處理不等式問題時，根據函數的性質，我們就可以利用導數，作為工具很便捷地解決不等式問題。

（四）利用導數解決數列問題

數列是自變量為正整數的函數，可以運用導數來處理數列求和的相關問題。

（五）利用導數解決實際問題

導數有著豐富的實際背景，我們可以把幾個變量轉化成函數關系式，進而可以想方法去構造函數，然后用導數來解決問題，簡潔有效。

綜合以上內容，學習導數及其應用，拓展了解決中學數學問題的新視野。導數進入新教材后，顯示出強大的生命力，具有深刻的意義。

參考文獻：

李秋鳳.導數在函數問題中的應用[J].中國科技信息，2006（03）.

作者簡介：冶連寶，男，1978年12月出生，本科，就職于甘肅省會寧縣第一中學，研究方向：函數性質及應用。