用問題鏈建構基于探究性理解的教學

何繼剛

【摘 要】“函數零點存在性定理”是函數的一個核心定理，它蘊涵了豐富的數學思想和思維方式，揭示了函數與方程的基本關系和轉化的路徑，是進一步研究函數問題的基礎，是判定函數零點、溝通方程與函數的重要工具。因此，對該定理的理解和應用的教學過程，不應是知識積累的線性過程，而應是數學思維方式和能力的“孕育”過程。

【關鍵詞】函數零點 存在性

數學理解有三種方式，即記憶性理解、解釋性理解和探究性理解。其中，記憶性理解的教學只要求學生記住事實材料，通過機械記憶、模仿與簡單套用，反復訓練學生的記憶能力。解釋性理解的教學通過教師對原理、理論的系統講解發展學生的理解能力，但學生得到的仍是教師傳授的內容，而不是學生自己的領悟。探究性理解的教學則是以問題為中心，引起學生對重要問題產生困惑，通過對話和交流引導學生獨立探索發現規律和建構知識的意義。

“函數零點存在性定理”是“函數與方程”單元的核心定理，該定理的教學常采用基于記憶性理解、解釋性理解的方式教學，這樣的教學缺乏對定理條件的賞析，顯得對該定理的教育價值挖掘不夠。筆者嘗試綜合運用三種數學理解，力求讓學生達到探究性理解的水準。

一、資源分析

1.教學目標。

教師應引導學生學習審視定理條件的科學方法。使學生理解函數零點的概念，能結合具體問題，理解方程的根、函數的零點、函數圖象與軸的交點三者之間的關系。從而讓學生初步應用函數零點存在性定理，解決方程根的存在性問題，悟出求近似解的方法。

2.教學重點。

了解函數零點的概念，通過函數圖象直觀感知函數零點存在性定理，初步了解應用定理估算方程根的范圍的方法。

3.教學難點。

對函數零點存在性定理的條件的探究性理解和定理的應用。

二、教學過程

1.通過展示與追問，引導學生深度參與探究性學習定理的過程。

為了探究性理解函數零點存在性定理，筆者安排了如下例題，讓學生板演展示，引發追問和思考。

判斷函數f（x）=x2-2x-1在區間（2，3）上是否存在零點。

設計意圖：通過對以上問題的探討，生成“函數零點存在性定理”的表象，激發學生產生尋找判定零點存在的動機，將函數零點存在的條件顯性化。

方法一：由x2-2x-1=0

得x1=1+■，x2=1-■，

∵2<1+■<3

∴函數f（x）=x2-2x-1在（2，3）上有零點。

方法二：∵f（2）=4-4-1=-1<0，f（3）=9-6-1=2>0

又∵y=f（x）在（2，3）上的圖象為不間斷的曲線。

∴y=f（x）在（2，3）上存在零點。

師：這兩種解法各有特色，方法一基于方程的求解運算，方法二基于函數思想，試問哪種方法更值得推廣？

生：許多方程難解，因此方法二值得推廣。

師：能否從上述方法二的思想中抽象出一般結論呢？

順理成章，引出如下問題。

函數y=f（x）在區間（a，b）上有f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在（a，b）上是否一定存在零點？請舉例說明。

設計意圖：引導學生通過舉反例，說明以上條件還不能確定函數y=f（x）在（a，b）上一定存在零點。

面對問題，很快就有學生舉出反例。

生：f（x）=■在區間（-1，1）上有f（-1）·f（1）<0，但是f（x）=0在（-1，1）上沒有實數根。

師：如何彌補條件的不足？

生：只要函數y=f（x）在區間（a，b）上的圖象連續不斷就可以了。

于是，題目可以往更深層次地進行派生。

函數y=f（x）在（a，b）上有f（a）·f（b）<0，且在（a，b）上的圖象不間斷，問y=f（x）在（a，b）上一定有零點嗎？

設計意圖：引導學生舉反例，說明以上條件還不能確定函數y=f（x）在（a，b）上一定存在零點。

面對這一問題，學生很難找到思維的切入點，根據提示，學生很快對區間（a，b）產生了質疑，但區間對結論會產生什么影響呢？

師：是否存在函數y=f（x）在[a，b]上有f（a）·f（b）<0且在（a，b）上的圖象不間斷，但y=f（x）在（a，b）上沒有零點呢？

請一名認為“確定存在”的學生在黑板上作出圖示，如圖。

師：不難發現，圖中的函數在[a，b]上的圖象是間斷的，而在（a，b）上不間斷，它導致函數y=f（x）在（a，b）上沒有零點。為了深化理解，師生互動又構造了如下圖所示的反例。

至此，該設計成功引導學生歸納出了如下“函數零點存在性定理”：

若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點。

針對函數y=f（x）在（a，b）上零點的個數，可將題目繼續派生。

函數y=f（x）在[a，b]上的曲線不間斷，且f（a）·f（b）<0，問y=f（x）在（a，b）上是否有且只有一個零點？

設計意圖：引導學生通過作圖舉例進行探究性理解，感知零點個數的不確定性。

經過師生互動，作出如圖所示的有5個零點和有無數個零點（圖象含有一線段在軸上）的實例。

問：在什么條件下，函數y=f（x）在（a，b）上有且只有一個零點？

設計意圖：引導學生對函數y=f（x）在（a，b）上有且只有一個零點的條件進行探究性理解。

基于以上的探究性理解，學生很快得到如下結論：

若函數y=f（x）在區間[a，b]上單調，其圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間上有且只有一個零點。

2.通過問題解決，引導學生深度感知定理的應用。

問題解決是基于探究性理解的教學的深化點，它能使學生加深對數學知識的理解，實現知識和方法的有效遷移。為此，本課安排如下的練習。

函數f（x）=lg x-3+x的零點有幾個？它所在大致區間是什么？

設f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有幾個解■函數f（x）=lg x-3+x有幾個零點。

至此，將學生帶入應用“函數零點存在性定理”解決問題的深度思考狀態，這讓學生經歷了“提出問題——分析問題——尋求理論依據——問題解決”的認知過程。

在經歷了探究性教學、解釋性教學后，我引導學生回顧反思，將預設與生成進行有機整合，發展學生調控自己學習數學認知過程的反思能力。本課捕捉了如下反思點，進行解釋性和記憶性的教學。

（1）知識與技能：①函數零點的概念；②函數零點的存在性定理。

（2）數學思想：①函數與方程的思想；②數形結合思想；③轉化思想；④構造的思想。

（3）幾個典型反例。

3.通過“做”與“診”，引導學生深度診斷對定理的理解。

“做”與“診”是相輔相成的，這兩個環節要完成兩項任務。其一，通過鞏固性作業，診斷和拓展對“函數零點存在性定理”的理解；其二，完成預習性作業，目的是為了下一課深入學習“函數零點存在性定理”的應用。

三、教學反思

1.用問題鏈深度引領學生開展對定理條件的理解性活動。

數學教學過程是數學活動的過程，是數學思維活動的過程。讓學生動起來是產生數學思維活動的關鍵，而學生活動的驅動力來源于問題。因此，設計有思維價值的問題鏈來深度引領學生開展對定理條件的理解性活動，是實施探究性理解教學的關鍵。

2.用問題鏈構建基于探究性理解的教學。

用問題鏈構建基于探究性理解的教學，促進知識有效生成。

（1）“導與學”中設計問題鏈的目的是深度引領，是為了激發學生探求“函數零點存在性定理”的欲望，讓學生對這些問題進行討論，參與尋找存在函數零點條件的過程，引導學生通過函數圖像，直觀感知、理性思考零點存在的條件，由此形成對定理的理解性活動，為學生深度學習審視定理的方法、教師進行深度教學創造條件。

（2）“展與評”過程是引導學生深度參與問題探究的過程，通過舉反例，學生能直觀感知定理條件，學會一種學習定理的套路，體會函數“集形與數于一身”的特征的理論根源，這一互動過程使學習重點得到深化，形成互動式的多維度的深度學習過程。

（3）“練與思”是引導學生深度思考定理條件的過程，它是預設與生成結合的過程，借助這一過程可以展示一個應用定理，使學生學會函數與方程轉化，讓學生認識到“函數零點存在性定理”是溝通代數、幾何的一種工具，具有溝通函數與方程的作用。

（4）“做與診”的過程是深度拓展的過程，是課后練習鞏固的過程，這一過程使學生對“函數零點存在性定理”的理解得到深化，使學生在定理應用中產生深度學習的愿望。

【參考文獻】

徐彥輝，數學理解三種方式及其課堂教學特征[J].中國教育學刊，2012（1）.

（作者單位：江蘇省揚州大學附屬中學）

若函數y=f（x）在區間[a，b]上單調，其圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間上有且只有一個零點。

2.通過問題解決，引導學生深度感知定理的應用。

問題解決是基于探究性理解的教學的深化點，它能使學生加深對數學知識的理解，實現知識和方法的有效遷移。為此，本課安排如下的練習。

函數f（x）=lg x-3+x的零點有幾個？它所在大致區間是什么？

設f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有幾個解■函數f（x）=lg x-3+x有幾個零點。

至此，將學生帶入應用“函數零點存在性定理”解決問題的深度思考狀態，這讓學生經歷了“提出問題——分析問題——尋求理論依據——問題解決”的認知過程。

在經歷了探究性教學、解釋性教學后，我引導學生回顧反思，將預設與生成進行有機整合，發展學生調控自己學習數學認知過程的反思能力。本課捕捉了如下反思點，進行解釋性和記憶性的教學。

（1）知識與技能：①函數零點的概念；②函數零點的存在性定理。

（2）數學思想：①函數與方程的思想；②數形結合思想；③轉化思想；④構造的思想。

（3）幾個典型反例。

3.通過“做”與“診”，引導學生深度診斷對定理的理解。

“做”與“診”是相輔相成的，這兩個環節要完成兩項任務。其一，通過鞏固性作業，診斷和拓展對“函數零點存在性定理”的理解；其二，完成預習性作業，目的是為了下一課深入學習“函數零點存在性定理”的應用。

三、教學反思

1.用問題鏈深度引領學生開展對定理條件的理解性活動。

數學教學過程是數學活動的過程，是數學思維活動的過程。讓學生動起來是產生數學思維活動的關鍵，而學生活動的驅動力來源于問題。因此，設計有思維價值的問題鏈來深度引領學生開展對定理條件的理解性活動，是實施探究性理解教學的關鍵。

2.用問題鏈構建基于探究性理解的教學。

用問題鏈構建基于探究性理解的教學，促進知識有效生成。

（1）“導與學”中設計問題鏈的目的是深度引領，是為了激發學生探求“函數零點存在性定理”的欲望，讓學生對這些問題進行討論，參與尋找存在函數零點條件的過程，引導學生通過函數圖像，直觀感知、理性思考零點存在的條件，由此形成對定理的理解性活動，為學生深度學習審視定理的方法、教師進行深度教學創造條件。

（2）“展與評”過程是引導學生深度參與問題探究的過程，通過舉反例，學生能直觀感知定理條件，學會一種學習定理的套路，體會函數“集形與數于一身”的特征的理論根源，這一互動過程使學習重點得到深化，形成互動式的多維度的深度學習過程。

（3）“練與思”是引導學生深度思考定理條件的過程，它是預設與生成結合的過程，借助這一過程可以展示一個應用定理，使學生學會函數與方程轉化，讓學生認識到“函數零點存在性定理”是溝通代數、幾何的一種工具，具有溝通函數與方程的作用。

（4）“做與診”的過程是深度拓展的過程，是課后練習鞏固的過程，這一過程使學生對“函數零點存在性定理”的理解得到深化，使學生在定理應用中產生深度學習的愿望。

【參考文獻】

徐彥輝，數學理解三種方式及其課堂教學特征[J].中國教育學刊，2012（1）.

（作者單位：江蘇省揚州大學附屬中學）

若函數y=f（x）在區間[a，b]上單調，其圖象是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間上有且只有一個零點。

2.通過問題解決，引導學生深度感知定理的應用。

問題解決是基于探究性理解的教學的深化點，它能使學生加深對數學知識的理解，實現知識和方法的有效遷移。為此，本課安排如下的練習。

函數f（x）=lg x-3+x的零點有幾個？它所在大致區間是什么？

設f（x）=lg x-3+x，方程lg x=3-x有幾個解■函數f（x）=lg x-3+x有幾個零點。

至此，將學生帶入應用“函數零點存在性定理”解決問題的深度思考狀態，這讓學生經歷了“提出問題——分析問題——尋求理論依據——問題解決”的認知過程。

在經歷了探究性教學、解釋性教學后，我引導學生回顧反思，將預設與生成進行有機整合，發展學生調控自己學習數學認知過程的反思能力。本課捕捉了如下反思點，進行解釋性和記憶性的教學。

（1）知識與技能：①函數零點的概念；②函數零點的存在性定理。

（2）數學思想：①函數與方程的思想；②數形結合思想；③轉化思想；④構造的思想。

（3）幾個典型反例。

3.通過“做”與“診”，引導學生深度診斷對定理的理解。

“做”與“診”是相輔相成的，這兩個環節要完成兩項任務。其一，通過鞏固性作業，診斷和拓展對“函數零點存在性定理”的理解；其二，完成預習性作業，目的是為了下一課深入學習“函數零點存在性定理”的應用。

三、教學反思

1.用問題鏈深度引領學生開展對定理條件的理解性活動。

數學教學過程是數學活動的過程，是數學思維活動的過程。讓學生動起來是產生數學思維活動的關鍵，而學生活動的驅動力來源于問題。因此，設計有思維價值的問題鏈來深度引領學生開展對定理條件的理解性活動，是實施探究性理解教學的關鍵。

2.用問題鏈構建基于探究性理解的教學。

用問題鏈構建基于探究性理解的教學，促進知識有效生成。

（1）“導與學”中設計問題鏈的目的是深度引領，是為了激發學生探求“函數零點存在性定理”的欲望，讓學生對這些問題進行討論，參與尋找存在函數零點條件的過程，引導學生通過函數圖像，直觀感知、理性思考零點存在的條件，由此形成對定理的理解性活動，為學生深度學習審視定理的方法、教師進行深度教學創造條件。

（2）“展與評”過程是引導學生深度參與問題探究的過程，通過舉反例，學生能直觀感知定理條件，學會一種學習定理的套路，體會函數“集形與數于一身”的特征的理論根源，這一互動過程使學習重點得到深化，形成互動式的多維度的深度學習過程。

（3）“練與思”是引導學生深度思考定理條件的過程，它是預設與生成結合的過程，借助這一過程可以展示一個應用定理，使學生學會函數與方程轉化，讓學生認識到“函數零點存在性定理”是溝通代數、幾何的一種工具，具有溝通函數與方程的作用。

（4）“做與診”的過程是深度拓展的過程，是課后練習鞏固的過程，這一過程使學生對“函數零點存在性定理”的理解得到深化，使學生在定理應用中產生深度學習的愿望。

【參考文獻】

徐彥輝，數學理解三種方式及其課堂教學特征[J].中國教育學刊，2012（1）.

（作者單位：江蘇省揚州大學附屬中學）